Analisi 1 - appunti seconda parte del programma

Name: Analisi 1 - appunti seconda parte del programma
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Author: mazzock23

Revisionato il 03/09/2026

di mazzock23

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Appunti di analisi matematica 1 sulla seconda parte basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni della prof.ssa Marcelli dell’università degli Studi del Politecnico …

Esame Analisi matematica I

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Marcelli Cristina

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

A.A. 2016-2017

132 pagine

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Appunto

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Estratto del documento

Funz. derivabile ⇒ continua

Derivata funz ⇒ non è detto che è continua.

f(x) = x²sen¹/_x x ≠ 00 x = 0

∃ f'(0) = 0

f(x) = 2x sen 1/x + cos 1/x (- 1/x²) = 2x sen 1/x x cos 1/x xx ≠ 00

f' ∃ ∈ lim_x→0⁺ f'(x) e ∈ lim_x→0^- f'(x)

Massimo e minimo locale

Sia f: D → R e x₀ ∈ I max o min locale se ∃ δ > 0. f(x₀) ≤ f(x₀) ∀x ∈ D se è il minimo di una funzione ristretta nell'I centrato in x₀.

Esempio di come min o max non corrisponde a cambio immediato di monotonia.

f(x) = x² sen¹/_x x ≠ 00 x = 0

f(x) ≥ f(0) ∀ x

Funzione derivabile e continuità

Funz. derivabile → continua.

Derivata funz → non è detto che è continua.

f(x) = x² sen¹, x ≠ 00, x = 0

∀ f′(0) = 0

f′(x) = 2x sen¹ + cos ₁ - (₁) = 2x sen¹ + cos ₁, x ≠ 0

∀ f′(≟ lim x → 0⁺ f′(x) ∉ lim x → 0^- f′(x)

Sia f: D ⊆ R. Se x₀ ⊂ ∈ Dx₀ si dica pto di minimo locale se ∃ d > 0. f(x₀) se ˜ ⊂ il minimo di una funzione ristretta nell'l centrale in x₀.

f(x) = x₂sen¹, x ≠ 00, x = 0

∀x ⇒ caso di come min o max non corrispondo a cambio minuto di monotonia.

f(x) ≥ f(0) ∀x

Teorema di Fermat

Sia f: I → ℝ tale che x₀ interno ad I ammette massimo o minimo locale. Se f è derivabile in x₀, allora f'(x₀) = 0.

Se pto di minimo.

Studiano il segno di num. e denom. f'(x₀) = 0.

Non vale il contrario → se f' = 0 non è detto che sia max o min.

f'(x₀) condiz. necessaria max non suffic. x vedere max. o min.

Teorema di Rolle

Sia f: [a, b] → ℝ continua in [a, b] derivabile in (a, b) f(a) = f(b).

Allora ∃ x₀ ∈ (a, b), f'(x₀) = 0.

m = min f e M = max f (× Weierstrass).

Se m = M tesi ovvia (funz. costante).

Se m ≠ M almeno uno dei due valori è assunto in un punto interno f'(x₀) = 0 (× Fermat).

Teorema di Lagrange

Sia f: [a, b] → ℝ continua in [a, b] derivabile in (a, b).

Allora ∃ x₀ ∈ (a, b) ⇒ f'(x₀) = ^{f(b) - f(a)}⁄_{b - a}

Dimostrazione

Dim g'(x) = f'(x) - ^{f(b) - f(a)}⁄_{b - a}

g(a) = f(a) - f(a)

g(b) = f(b) - f(b)

g'(x) = f'(x) - ^{[f(b) - f(a)]}⁄_{b - a}

g'(b) = 0

∃ x₀ ∈ (a, b) | g'(x₀) = 0 (Rolle)

g'(x) = f'(x) - ^{f(b) - f(a)}⁄_{b - a} ⇒ f'(x) = ^{f(b) - f(a)}⁄_{b - a}

x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂) monotona crescente.

Criterio di monotonia

Sia f: [a, b] → ℝ continua in [a, b], derivabile in (a, b).

F è crescente in [a, b] ⇔ f'(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a, b)
F è decrescente in [a, b] ⇔ f'(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a, b)
F è costante in [a, b] ⇔ f'(x) = 0 ∀ x ∈ (a, b)

Sia x₀ ∈ (a, b).

f'(x₀) = lim_{x → x₀⁺} ^{f(x) - f(x₀)}⁄_{x - x₀} > 0

Siano x₁, x₂ ∈ (a, b), con x₁ < x₂.

Per Lagrange ∃ x₀ ∈ (x₁, x₂), f'(x₀) = ^{f(x₂) - f(x₁)}⁄_{x₂ - x₁} ≥ 0 (per tesi) ⇒ f(x₂) ≥ f(x₁) (funz. crescente).

Perché x₂ > x₁.

Corollario

Se f, I → ℝ è derivabile ∀️x ∈ I, x ≠ x₀, f'(x) ≥ 0 ∀x < x₀ f'(x) < 0 ∀x > x₀ allora x₀ è pto di massimo.

f'(x) ≤ 0 ∀x < x₀ f

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