Prima parte appunti Analisi 1

Il concetto di insieme

Il concetto di insieme è primitivo

A, B, C, ... insiemi

a, b, e, x, y, ... elementi

a ∈ A → "a appartiene ad A"

a ∉ A → "a non appartiene ad A"

Esempio: L'insieme degli interi naturali

Esempio: L'insieme degli interi naturali

N = {0, 1, 2, 3, ...}

1 ∈ A ; -2 ∉ A

Simboli

• ∀ - "per ogni"
• ∃ - "esiste"
• ∄ - "non esiste"
• ∃! - "esiste uno ed uno solo"
• ⇒ - "implica"
• ⟺ - "se e solo se"

Inclusione tra insiemi

Inclusione tra insiemi:

A, B insiemi

A ⊆ B ⟺ ∀ x ∈ A ; x ∈ B

A = B ⟺ A ⊆ B e B ⊆ A

A ⊂ B ⟺ A ⊆ B e A ≠ B esiste almeno 1 elemento di B che ∉ A

∅ - insieme vuoto

∅ ⊆ A: A è un insieme qualunque

Esempio:

A = {1, 3, 5, 18}

Il concetto di insieme e simboli

Il concetto di insieme è primitivo

A, B, C, ... insiemi

a, b, c, x, y, ... elementi

a ∈ A → "a appartiene ad A"

a ∉ A → "a non appartiene ad A"

Esempio: L'insieme degli interi naturali

Esempio: L'insieme degli interi naturali

N = {0, 1, 2, 3, ...}

1 ∈ A ; -2 ∉ A

Simboli

• ∀ - "per ogni"
• ∃ - "esiste"
• ∄ - "non esiste"
• ∃! - "esiste uno ed uno solo"
• ⇒ - "implica"
• ⇔ - "se e solo se"

Inclusione tra insiemi

Inclusione tra insiemi:

A, B insiemi

A ⊂ B ⇔ ∀ x ∈ A ; x ∈ B

A = B ⇔ A ⊂ B e B ⊂ A

A ⊊ B ⇔ A ⊂ B e A ≠ B esiste almeno 1 elemento di B che ∉ A

∅ - insieme vuoto

∅ ⊂ A; A è un insieme qualunque

Esempio:

A = {3, 5, 7, 3, 5, 8}

Unione tra insiemi

Unione tra insiemi:

U insieme universo

A, B ⊂ U

A ∪ B := {x ∈ U: x ∈ A ∨ x ∈ B}

unione di A e B

A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B

Esempio:

A = {2, 7, 24}

B = {3, 5, 17, 18}

A ∪ B = {2, 3, 5, 7, 17, 18, 24}

Intersezione tra insiemi

Intersezione tra insiemi:

A, B ⊂ U

A ∩ B := {x ∈ U: x ∈ A ∧ x ∈ B}

A ∩ B ⊆ A

Se A ∩ B = ∅ si dice che A e B sono disgiunti.

Esempio:

A = {2, 3, 7}

B = {1, 3}

A ∩ B = {3}; I = {5, 6, 9}

B ∩ I = ∅

Insieme differenza

Insieme differenza:

A, B ⊂ U

B \ A := {x ∈ B; x ∉ A}

A ⊆ B

B\A complemento di A in B

Se B = U; C (A) complemento di A

A ∩ C(A) = ∅ ; A ∪ C(A) = U

Numeri pari e dispari

P = {2 ⋅ m ; m ∈ ^* } numeri pari

2, 4, 6, ...

2 ⋅ 1, 2 ⋅ 2; 2 ⋅ 3, ...

P ⊆ ^*, 3 ∉ P, P ⊂ ^*

D = {2 ⋅ m + 1 ; m ∈ ^* } insieme dei dispari

1, 3, 5, ...

0 ⋅ 1 + 1, 2 ⋅ 1 + 1, 3 ⋅ 1 + 1, ...

D ⊆ ^*, 2 ∉ D ; D ⊂ ^*

P ∩ D = ∅; P ∪ D = ^*

Rappresentazione geometrica di ⁺:

0 1 2 3 4

Proprietà dell'unione

Proprietà dell’unione:

U universo, A, B, C ⊆ U

• A ∪ A = A idempotenza
• A ∪ B = B ∪ A commutativa
• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C - associativa

Dim. 3:

x ∈ A ∪ (B ∪ C) => x ∈ A o x ∈ B ∪ C =>

=> x ∈ A o x ∈ B o x ∈ C =>

=> x ∈ A ∪ B o x ∈ C => x ∈ (A ∪ B) ∪ C

Abbiamo provato: A ∪ (B ∪ C) ⊂ (A ∪ B) ∪ C

Analogamente: (A ∪ B) ∪ C ⊂ A ∪ (B ∪ C)

e quindi la 3. è vera.

4. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) - distributiva (Unione con intersez.)

Proprietà dell'intersezione

Proprietà dell'intersezione:

• A ∩ A = A - idempotenza
• A ∩ B = B ∩ A - commutativa
• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C - associativa
• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) - distributiva

Leggi di De Morgan

Leggi di De Morgan:

• C_v (A ∪ B) = C_v (A) ∩ C_v (B)
• C_v (A ∩ B) = C_v (A) ∪ C_v (B)

∀ A, B ∈ U

Dim. 1:

x ∈ C (A ∪ B) => x ∈ A ∪ B =>

x ∉ A e x ∉ B =>

x ∈ C (A) e x ∈ C (B) => x ∈ C (A) ∩ C (B)

di conseguenza:

C (A ∪ B) = C (A) ∩ C (B) {Analogamente: { => 1. è vera

c(A) ∉ c(B) ⊂ c(A ∪ B)

Prodotto cartesiano di insiemi

Prodotto cartesiano di insiemi:

A, B insiemi

coppia ordinata:

(a, b) a ∈ A, b ∈ B

Ossia: (a, b) ≠ (b, a)

{a, b} = {b, a}

(a, b) = (a', b') ⟺ a = a' e b = b'

Prodotto cartesiano di A e B

Prodotto cartesiano di A e B:

A × B := {(a, b): a ∈ A e b ∈ B}

in generale: A × B ≠ B × A non vale propr. commu.

B = A²; A² = A × A

Esempio:

A = {2, 3}, B = {0, 1}

A × B = {(2, 0), (2, 1), (3, 0), (3, 1)}

B × A = {(0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3)}

B² = B × B = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}

Rappresentazione geometrica di ℕ² - ℕ × ℕ:

Terna ordinata

Terna Ordinata:

A₁, A₂, A₃ insiemi

(a