Appunti prima lezione Analisi 1

Insiemi numerici

N = {1, 2, 3, ...} Numeri naturali (Interi positivi dopo lo zero)

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, ...} Numeri interi relativi

Q = {P/q, p, q ∈ Z, q ≠ 0} Numeri razionali

Con la convenzione che due fraz. "equivalenti" rappr. lo stesso numero

Definizione

P₁/q₁ e P₂/q₂ si dicono equivalenti se P₁q₂ = P₂q₁

Es 2/3 = -4/6 Sì → 2(-6) = 3(-4) = -12

Definizione

Un insieme X con 2 operazioni (+ somma, prodotto) si dice campo numerico, se valgono le seguenti proprietà:

1. Pr. associativa: se x, y, z ∈ X allora (x + y) + z = x + (y + z) (N.B. La divisione non ha questa proprietà)
2. Pr. commutativa: se x, y ∈ X allora x + y = y + x
3. Esiste almeno unoUn elemento di X, detto elemento neutro per la somma, o zero, ed è indicato con il simbolo 0, tale che ∀x ∈ X si ha x + 0 = x
4. ∀x ∈ X, ∃ un elemento -x, detto opposto di x, tale che x + (-x) = 0

Insiemi numerici

N = {1, 2, 3, ...} NUMERI NATURALI (INTERI POSITIVI DOPO LO ZERO)

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, ...} NUMERI INTERI RELATIVI

Q = {_p/_q, p, q ∈ Z, q ≠ 0} NUMERI RAZIONALI

CON LA CONVENZIONE CHE DUE FRAZ. "EQUIVALENTI" RAPPR. LO STESSO NUMERO

DEFINIZIONE

_p1/_q1 e _p2/_q2 SI DICONO EQUIVALENTI SE _p1q₂ = _p2q₁

ES. ²/₃ = ^-4/_-6 SÌ → 2(-6) = 3(-4) = -12

DEFINIZIONE

UN INSIEME X CON 2 OPERAZIONI (+ SOMMA, × PRODOTTO) SI DICE CAMPO NUMERICO, SE VALGONO LE SEGUENTI PROPRIETA':

1. PR. ASSOCIATIVA: SE x, y, z ∈ X ALLORA (x+y)+z = x+(y+z) (N.B. LA DIVISIONE NON HA QUESTA PROPRIETA')
2. PR. COMMUTATIVA: SE x, y ∈ X ALLORA x+y = y+x ALMENO UNO
3. ∃ UN ELEMENTO di X, DETTO ELEMENTO NEUTRO PER LA SOMMA, O ZERO, ED E' INDICATO CON IL SIMBOLO 0, TALE CHE ∀x ∈ X SI HA x+0 = x
4. ∀x ∈ X, ∃ UN ELEMENTO -x, DETTO OPPOSTO DI x, TALE CHE x+(-x) = 0

1) Pr. Associativa se x, y, z ∈ X allora (x · y) · z = x (y · z)

2) Pr. Commutativa se x, y ∈ X allora x · y = x · y

3) ∃ un elemento di X, detto elemento neutro del prodotto, 1, tale che ∀ x ∈ X

x · 1 = x

4) ∀ x ∈ X, x ≠ 0, ∃ un elemento di X, detto inverso di x, indicato con x^-1

tale che x · (x^-1) = 1

5) Pr. Distributiva se x, y, z ∈ X allora x (y + z) = x · y + x · z

Es Clasi di resto modulo 7

Z₇ = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}

4 + 5 = 9 │₇ ≡ 2

4 + 5 = 2

3 · 6 = 4

3 · 6 = 18 │₇ ≡ 4

Elemento neutro della somma → 0

" " del prodotto → 1

3 · 1 =3

Oposto di 3? → 3 = 4

3 + 4 = 7 │₇ ≡ 0

Inverso 2?

2 · 1 = 1

2 · 2 = 4

2 · 3 = 6

2 · 4 = 8 │₇ ≡ 1

2^-1 = 4

Si dimostra che Z₇ è un campo

Es Z₆ e' un campo?

Z₆ = {0,1,2,3,4,5}

Opposto

• 2 = 4
• 3 = 3 ...

Inverso

• 2 . 0 = 0
• 2 . 1 = 2
• 2 . 2 = 4
• 2 . 3 = 6 = 0
• 2 . 4 = 8 = 2
• 2 . 5 = 10 = 4

2 non ha inverso → Z₆ non e' un campo

Teorema

In Q si definiscono 2 operazioni somma e prodotto:

(p/q) + (a/b) := (pb + aq) / qb

(p/q) · (a/b) := pa / qb

Che rendono Q un campo numerico

0 = 0/1, 1 = 1/1, -p/q = -p/q, (p/q)^-1 = q/p (q≠0) (p≠0)

Osservazione

Non facciamo la dimostrazione di questo teorema ma osserviamo che prima ancora di verificare le prop R1 e R2 occorre:

Verificare che la def. della somma e prodotto e' "ben posta", cioe' non dipende dal rappresentante

2/9 · a/b = 2/9 · 2·p.a

ES SUPPONIAMO DI INVENTARE UNA DEF DI SOMMA DIVERSA

^p/₉ + ^a/₆ = ^{p + a}/_{9 + b}

non è “ben posta”

(dipende dal rappresentante)

¹/₂ + ¹/₃ = ²/₅

³/₆ + ³/₃ = ⁴/₉

DEFINIZIONE

SIA X UN INSIEME : UNA RELAZIONE IN X SI DICE :

RELAZIONE D'ORDINE SE GODE DELLA PROPRIETA’:

RIFLESSIVA

∀ x ∈ X x ~ x

(x è in relazione con se stesso)

ANTISIMMETRICA

SE x, y ∈ X e x ~ y e y ~ x

allora x = y

TRANSITIVA

SE x, y, z ∈ X e se x ~ y e y ~ z

allora x ~ z

RELAZIONE IN X : “PREDICATO CON 2 VARIABILI LIBERE IN X”

ES a è più alto di b

PROPRIETA’ IN X : “PREDICATO CON 1 VARIABILE LIBERA IN X”

ES a è biondo

Es X = {persona}

a ∼ b ⟺ "a è più alto di b"

È riflessiva? NO "a è più alto che b" falsa

Es sia Ω un insieme e sia X l'insieme delle parti di Ω, cioè la collezione di Ω, X = P(Ω)

Ω = {1;2;3}

X = P(Ω) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, Ω}

8 = 2³

La relazione di inclusione

è una relazione d'ordine in X

a ⊆ b (significa ∀ elemento di a ∈ b):

Riflessiva

∀a ∈ X a ⊆ a vero

Antisimmetrica

∀a, b ∈ X se a ⊆ b e b ⊆ a

a ⊆ b (significa ∀ elemento di a ∈ b)

b ⊆ a ( " " " " b ∈ a)

Definizione di insiemi uguali

Transitiva

a, b, c ∈ X e a ⊆ b, b ⊆ c ⟹ ?

a ⊆ c

Se un elemento w ∈ a è vero che w ∈ c?

Poiché w ∈ a ⟹ w ∈ b (poiché a ⊆ b)

Poiché w ∈ b ⟹ w ∈ c (poiché b ⊆ c)

{1, 2, 3}

{1, 2}

{1, 3}

{2, 3}

{1}

{2}

{3}

∅

{2} ⊂ {1, 3}

{1, 3} ⊂ {2}

L'inclusione non è una rel. d'ordine totale

Definizione

Una rel. d'ordine in un insieme X si dice totale se presi comunque 2 elementi x e y ∈ X si ha che x ~ y oppure y ~ x

Definizione

Un campo numerico χ si dice ordinato se è definita in X una rel. d'ordine totale "≤" tale che:

□

1. ∀ x, y, z ∈ X se x ≤ y allora x + z ≤ y + z
2. ∀ x, y, z ∈ X se z è positivo (z positivo significa 0 ≤ z ∈ z ≠ 0) e se x ≤ y allora x ⋅ z ≤ y ⋅ z

Teorema

Q è un campo ordinato rispetto alla seguente relazione d'ordine "≤":

x ≤ y se e solo se y - x := y + (-x) è una fraz. con numeratore e denominatore concordi, oppure y - x = 0

ES ³/₈ ≤ ⁵/₂ ?

SÌ

⁵/₂ - ³/₈ = ⁵/₂ + ( - ³/₈ ) = ⁵/₂ + ^-3/₈ =

= ^{5·8 + (-3)·2}/_2·8 = ¹⁷/₈ (CONCORDI)

ES ℤ₁ NON È UN CAMPO ORDINATO PERCHÈ?

Rappr. numeri razionali

• FRAZIONI: COMODA PER LE OPERAZIONI SCOMODA PER ≤
• ALLINEAMENTI DECIMALI: ¹/₂ = 0,5 ; ⁷/₈ = 0,875 ;
• ⁸/₁₉ = 0,421052631578

PROPOSIZIONE

OGNI NUMERO RAZIONALE SI PUÒ SCRIVERE IN MODO UNICO COME ALLINEAMENTO DECIMALE :

• LIMITATO
• ILLIMITATO PERIODICO (CON PERIODO ≠ DA 999...)

ES 1,7 = ¹⁷/₁₀

32,94532 = X

⯆ ⯆

1000 X = 32945,32

100’000 X = 3294532,32

100’000 X - 1000 X = 3294532 - 32945 =

99000 X = 3261587

X = ^3261587/₉₉₀₀₀