Appunti prima lezione Analisi 1

Insiemi numerici

N = {1; 2; 3...} Numeri naturali (interi positivi dopo lo zero).

Z = {..., -3; -2; ..., 0; 1 ...} Numeri interi relativi.

Q = {p/q; p, q ∈ Z; q != 0;} Numeri razionali.

Con la convenzione che due fraz. "equivalenti" rappr. lo stesso numero.

Definizione di frazioni equivalenti

p₁/q₂ e p₂/q₂ si dicono equivalenti se p₁q₂ = p₂q₁.

Es. 2/3 = -4/-6 sì -> 2(-6) = 3(-4) = -12.

Definizione di campo numerico

Un insieme X con 2 operazioni (+ somma, ; prodotto) si dice campo numerico, se valgono se seguenti proprietà:

R1 (somma)

1. Pr. associativa: se x, y, z ∈ X allora (x + y) + z = x + (y + z).

(N.B. la divisione non ha questa proprietà).

2. Pr. commutativa: se x, y ∈ X allora x + y = y + x.
3. Es. un elemento di X, detto elemento neutro per la somma, o zero, ed è indicato con il simbolo 0, tale che ||x ∈ X si ha x + 0 = x.
4. ||x ∈ X, è un elemento -x, detto opposto di x, tale che x + (-x) = 0.

Insiemi numerici

N = {1; 2; 3...} numeri naturali (interi positivi dopo lo zero).

Z = {...; -3; -2; ...; 0; 1 ...} numeri interi relativi.

Q = {p/q; p, q E Z; q != 0,} numeri razionali.

Con la convenzione che due fraz. "equivalenti" rappr. lo stesso numero.

Definizione

p1/q2 e p2/q2 si dicono equivalenti se p1q2 = p2q1.

Es. 2/3 = -4/-6 sì -> 2(-6) = 3(-4) = -12.

Definizione di campo numerico

Un insieme X con 2 operazioni (+ somma, . prodotto) si dice campo numerico, se valgono se seguenti proprietà:

R1 (somma)

1. Pr. associativa: se x, y, z E X allora (x + y) + z = x + (y + z).
2. Pr. commutativa: se x, y E X allora x + y = y + x.
3. Un elemento di X, detto elemento neutro per la somma, 0 zero, ed è indicato con il simbolo 0, tale che Vx E X si ha x + 0 = x.
4. Vx E X, è un elemento -x, detto opposto di x, tale che x + (-x) = 0.

(N.B. la divisione non ha questa proprietà).

R2 (prodotto)

1. Pr. associativa se x, y, z E X allora (x . y) . z = x (y . z).
2. Pr. commutativa se x, y E X allora x . y = x . y.
3. Es. un elemento di X, detto elemento neutro del prodotto, 1, tale che x E X x . 1 = x.
4. x E X, x != 0, es. un elemento di X, detto inverso del X, indicato con x^-1 tale che x . (x^-1) = 1.
5. Pr. distributiva: se x, y, z E X allora x (y+z) = x . y + x . z.

Esempi: classi di resto modulo 7

Es. classi di resto modulo 7.

Z₇ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

4 + 5 = 9 | 7 2 1.

4 + 5 = 2.

3 . 6 = 4.

3 . 6 = 18 | 7 4 2.

Elemento neutro della somma -> 0, 6 + 0 = 6.

Del prodotto -> 1, 3 . 1 = 3.

Opposto di 3?

-3 = 4.

3 + 4 = 7 | 7 0 1.

Inverso 2?

2 . 1 = 1.

2 . 2 = 4.

2 . 3 = 6.

2 . 4 = 8 | 7 1 1.

2^-1 = 4.

Si dimostra che Z₇ è un campo.

Esempio: Z6 è un campo?

Es. Z₆ è un campo?

Z₆ = {0; 1; 2; 3; 4; 5}.

Opposto -2 = 4.

-3 = 3 ...

Inverso.

2 . 0 = 0.

2 . 1 = 2.

2 . 2 = 4.

2 . 3 = 6 = 0.

2 . 4 = 8 = 2.

2 . 5 = 10 = 4.

2 non ha inverso.

Vz₆ non è un campo.

Teorema in Q

Teorema: in Q si definiscono 2 operazioni somma e prodotto:

p/q + a/b := (pb + aq)/qb.

p/q . a/b := pa/qb.

Che rendono Q un campo numerico.

0 = 0/1 ; 1 = 1/1 ; -p/q = -p/q, (p/q)^-1 = q/p (q != 0, p != 0).

Osservazione

Non facciamo la dimostrazione di questo teorema ma osserviamo che prima ancora di verificare la prop. R1 e R2 occorre:

Verificare che la def. della somma e prodotto è "ben posta", cioè non dipende dal rappresentante.

2P/2Q . a/b = 2P.a/2Q.b.

Es. supponiamo di inventare una def. di somma diversa.

p/q + a/b := (p+a)/(q+b).

1/2 + 1/3 = 2/5.

3/6 + 1/3 = 4/9.

Non è "ben posta" (dipende dal rappresentante).

Relazione d'ordine

Definizione.

Sia X un insieme: una relazione in X si dice:

Relazione d'ordine se gode della proprietà:

• Riflessiva _{∀x ∈ X} x ~ x.
• (X è in relazione con sé stesso).
• Antisimmetrica se x, y C X e x ~ y e y ~ x allora x = y.
• Transitiva se x, y, z E X e se x ~ y e y ~ z allora x ~ z.

Relazione in X: "predicato con 2 variabili libere in X".

Es. a è più alto di b.

Proprietà in X: "predicato con 1 variabile libera in X".

Es. a è biondo.

Es. X = {persona} a~b <=> a è più alto di b.

È riflessiva? No "a è più alto che b" falsa.

Insieme delle parti

Es. sia sia un insieme e sia X l'insieme delle parti di S, cioè la collezione di S, X = P(S).

S = {1,2,3}.

X = P(S) = {φ, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, S}.

8 = 2³.

La relazione di inclusione è una relazione d'ordine in X.

a ⊆ b (significa ∀ elemento di a è a b):

• Riflessiva ∀a e X a ⊆ a vero.
• Antisimmetrica ∀a,b e X se a ⊆ b e b ⊆ a.

a ⊆ b (significa ∀ elemento di a e b).

b ⊆ a (" " " " b e a).

Definizione di insiemi uguali.

Transitiva a,b,c e X e a ⊆ b, b ⊆ c => a ⊆ c.

Se un elemento w e a è vero che w e c?

Poiché w e a => w e b (poiché a ⊆ b).

Poiché w e b => w e c (poiché b ⊆ c).

{1,2,3}.

{1,2} {1,3} {2,3}.

{1} {2} {3}.

O.

{2} not {1,3}.

{1,3} not {2}.

L'inclusione non è una rel. d'ordine totale.

Definizione di ordine totale

Definizione.

Una rel. d'ordine in un insieme X si dice totale se presi comunque 2 elementi x e y e X si ha che x~y oppure y~x.

Campo numerico ordinato

Definizione.

Un campo numerico X si dice ordinato se è definita in X una rel. d'ordine totale " " tale che:

R3

1. V x,y,z e X se x