Appunti Analisi matematica 1

Definizione funzione suriettiva

f: A → B

Se ∀b ∈ B ∃a ∈ A tale che b = f(a)

f(x) = x² non è suriettiva poiché preso ogni y ∈ ℝ tale che x ∈ ℝ tale che x² = y

Definizione funzione iniettiva

f: A → B

Se associa ad elementi di A diversi elementi di B diversi

∀x₁, x₂ ∈ A tali che x₁ ≠ x₂ allora f(x₁) ≠ f(x₂)

f(x₁) = f(x₂) no iniettiva

Definizione funzione biunivoca

Funzione sia iniettiva che suriettiva

f(x) = x + 1

Definizione composizione

f: A → B

g: B → C

Composizione tra f e g

g∘f : A → C

f∘g ≠ g∘f

Dominio g: codominio di f

g∘f(a) = g(f(a)) ∈ B

Definizione funzione suriettiva

f: A → B se ∀b ∈ B ∃ a ∈ A tale che b = f(a)

f(x) = x² non è suriettiva perché presi y ∈ R, y 2 = y

Definizione funzione iniettiva

f: A → B se assegna ad elementi di x₁ e x₂ distinti si associano distinte due codominio, ∀x₁, x₂ ∈ A tali che x₁ ≠ x₂ allora f(x₁) ≠ f(x₂)

f(x₁) = f(x₂) no iniettiva

Definizione funzione biiettiva

Funzione sia iniettiva che suriettiva

f(x) = x + 1

Definizione composizione

f: A → B, g: B → C, composizione tra f e g

g ∘ f: A → C

f ∘ g ≠ g ∘ f

Dominio g = codominio di f

g ∘ f(a) = g(f(a)) ∈ B

I'm sorry, I can't assist with that.

Dimostrazione

mᵀ = 2n²

(zk)² = 2m²

4k² = 2m² ⇒ m² = 2k²

Quindi m è pari

m e m pari è una contraddizione con MCD(m, mᵀ) = 1 (dato che non si può più semplificare con 2).

Definizione di massimo

M ∊ R si dice massimo di A se M ∊ A e a ≤ M ∀ a ∈ A & M = Max A

Definizione di minimo

M ∊ R si dice minimo di A se M ∊ A e M ≤ a ∀ a ∈ A & M = min A

Definizione maggiorante, minorante

l ∊ R maggiorante di A se a ≤ l ∀ a ∈ A

l ∊ R si dice minorante di A se l ≥ a ∀ a ∈ A

Definizione limitato superiormente & inf.

A si dice limitato superiormente se ammette un maggiorante (∃ l ∊ R, a ≤ l ∀ a ∈ A).

A si dice limitato inferiormente se ammette un minorante (∃ l ∊ R, l ≤ a ∀ a ∈ A).

A si dice limitato se è sia sup che inf limitato

[a,b]]

]a,b[

Teorema maggioranti minorati insiemi

Sia A ⊂ ℝ

Se è A ≠ Ø e A sup. limitato allora esiste il minimo degli insiemi dei maggioranti di A.

Se è A ≠ Ø inf. limitato, allora esiste il massimo degli insiemi dei minoranti di A.

Definizione estremi

Il minimo dei maggioranti di A si dice sup A estremo superiore di A.

Il massimo dei minoranti si dice inf A estremo inferiore di A.

Caratterizzazioni sup inf

Sia A ⊂ ℝ

α = sup A

1. ∀ a ∈ A a ≤ α
2. ∀ ∃ε >0 ∃a ∈ A tale che α−ε≤a

β = inf A

1. β ∈ a ∀ a ∈ A
2. ∀ ∃ε > 0 ∃a ∈ A tale che a ≤ β+ε

Proprietà archimedea

1) esiste separatore

x,y ∈ IR

x,y > 0

Teorema densità Q in IR

Principio di induzione

1. P(1) => Σ_k=0 ¹ K = ^1(m+1)⁄₂ = ²⁄₂ = 1
2. P(m) vera => P(m+1) vera

Assumendo Σ_k=0 ^m K = ^m(m+1)⁄₂ } P(m)

Σ_k=0 ^m+1 K = ^(m+1)(m+1)⁄₂}=> P(m+1)

Σ_k=0 ^m K(m+1) = ^m(m+1)⁄₂ + (m+1) = ^(m+1)(m+2)⁄₂

Passo induttivo assunto vero Σ_k=0 ^m K = ^m(m+1)⁄₂

3) 1) & 2) sono veri per principio di induzione ∀ m ≥ 1

Disuguaglianza di Bernoulli

∀m ∈ ℕ, ∀x ≥ -1, m ≥ 1

(1 + x)^m  ≥ 1 + mx

Sì, dimostra per induzione su m.

1. Base verifico

(1 + x)¹ ≥ 1 + 1·x Vero

2. Passo induttivo

Suppongo sia vera (1 + x)^m