Appunti Analisi matematica 1

1) Irrazionalità di √2

• Formula de Moivre
• Radici n-esime in ℂ
• Teorema densità
• Teo Cantor
• Teo completezza
• Teo fondam algebra

2) Limiti & continuità

• Unicità del limite
• Teo del limite delle successioni
• Teo limitatezza
• Teo permanenza del segno
• Algebra limiti
• Teo confronto
• Teo monotonia
• Teo Bolzano-Weierstrass
• Teo asintotici
• Forme indeterminate
• Numero Nepero
• Teo rapporto
• Teo radice
• Teo limite successionale
• Teo continuità funzione composta
• Teo Weierstrass
• Teo valori intermedi
• Teo zeri

3) Derivate

• Concetto derivata
• Continuità funzioni derivabili
• Algebra (somma, prodotto, composta, inversa)
• Teo Fermat
• Teo Lagrange
• Teo Rolle
• Teo di monotonia
• Teo L'Hospital
• Formula Taylor
• Teo Taylor-Peano
• Teo Taylor-Lagrange
• Dim ∂f |ℝ
• Concavità/convessità

4) Integrali

• Calcolo funzioni primitive
• Regola di Leibniz
• Integrale di Riemann
• Teo media integrale
• 1° e 2° teo fondamentale del calcolo integrale
• Funzione integrale
• Integrali impropri
• Teo confronto, modulo, asintotici

5) Eq differenziali

• Problema Cauchy
• Formula risolutiva equazioni differenziali lineari e variabili separabili

6) Geom analitica nello spazio

• Operazioni varie
• Retta
• Piano
• Sfera
• Distanza punto-piano punto-sfera

7) Curve nello spazio

• Classe e lunghezza curve
• Teo rettificabilità
• Integrali curvilinei
• Curve equivalenti
• Teo delle curve equivalenti
• Parametro d'arco

1) Irrazionalità di √2

Pag 1

• Formula de Moivre
• Radici n-esime in ℂ
• Teorema densità
• Teo Cantor
• Teo completezza
• Teo fondam algebra

2) Limiti & continuità

Pag 5

• Unicità del limite
• Teo del limite delle succ
• Teo limitatezza
• Teo perm segno
• Algebra limiti
• Teo confronto
• Teo monotonia
• Teo Bolzano-Weierstrass
• Teo asintotici
• Forme indecisione
• Numero Nepero
• Teo rapporto
• Teo radice
• Teo limite successionale
• Teo continuità funz composta
• Teo Weierstrass
• Teo valori intermedi
• Teo zeri

3) Derivate

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• Concetto derivata
• Continuità funz derivabili
• Algebra (somma, prodotto, composta, inversa)
• Teo Fermat
• Teo Lagrange
• Teo Rollé
• Teo di monotonia
• Teo L'Hospital
• Formula Taylor
• Teo Taylor-Peano
• Teo Taylor-Lagrange
• Dim e IR √ℤ
• Concavità/convessità

4) Integrali

Pag 33

• Calcolo funzioni primitive
• Regola di Leibniz
• Integrale di Riemann
• Teo media integrale
• 1^o e 2^o teo fondamentale del calcolo integrale
• Funzione integrale
• Integrali impropri
• Teo confronto, modulo, asintoto

5) Eq differenziali

Pag 45

• Problema Cauchy
• Formula risolutiva eq differenziali lineari e variabili separabili

6) Geom analitica nello spazio

Pag 49

• Operazioni varie
• Retta
• Piano
• Sfera
• Distanza punto-piano punto-sfera

7) Curve nello spazio

Pag 58

• Classe e lunghezza curve
• Teo rettificabilità
• Integrali curvilinei
• Curve equivalenti
• Teo delle curve equivalenti
• Parametro d'arco

Teorema densità

Pr: ∀ p q ∈ Q se p < q

Th: ∃ r ∈ Q tc p < r < q

Teo Cantor

Hp: A finito n elem

Th: ∃ P(A) = 2ⁿ elem

Asseriamo A ~ P(A)

Equipotenze tra insiemi

N ~ Z

f(0) = 0

f(n) = -n

f(n) = 1

ecc

N ~ Q

m / n → Z 2 3 ♁ n

1 → 2 → 2/2 → m / n

2 → 3 → 2/3

3 → 2/2

m / n

× transitività

Z ~ Q

Teo completezza

A ⊆ R

a sup limitato → ∃ sup A ( < +∞ )

inf limitato → ∃ inf A ( > -∞ )

Teo approssimazione

q ∈ R p ∈ Q

|q - p| < ε ∀ ε > 0

Irrazionalità di √2

∃ q ∈ ℤ TC q² = 2 con q = m/n, m, n ∈ ℕ

DIM: m, n primi tra loro

→ m² / n² = 2 → m² = 2n²

PARI ⇒ m PARI

SE m PARI ALLORA:

m = 2k

m² = 4k²

4k² = 2n²

2k² = n²

→ n PARI

IMPOSSIBILE CHE m, n PARI E PRIMI TRA LORO, CUD

√2 ∉ ℤ

Irrazionalità di √2 (2)

A: { q ∈ ℤ⁺ TC q² ≤ 2 }

B: { q ∈ ℤ⁺ TC q² ≥ 2 }

q² < 2 < ❑²

⇒ q² < ❑²

q < ❑

ESSENDO FUNZIONI MONOTONE CRESCENTI ALLORA: