Appunti Analisi matematica 1

Indice dei contenuti

• Funzioni p.2
• Dominio di funzione p.3
• Gli asintoti p.6
• I logaritmi p.11
• I limiti p.13
• Limite notevole (senx/x) p.20
• Limite notevole (Numero di Nepero) p.26
• Limite Notevole ((a^x-1)/x) p.28
• Limite Notevole (loga(1+x)/x) p.29
• Limite Notevole (((1+x)^b-1)/x) p.30
• Limite Notevole(1-cosx)/x p.31
• Forme indeterminate p.33
• Altre forme indeterminate p.37
• Infinitesimi p.39
• Le derivate p.41
• Derivate Notevoli p.44
• Derivata di una somma/prodotto/rapporto p.45
• Derivata di Funzioni Composte p.46
• Punti di non derivabilità p.47
• Teorema di Rolle p.53
• Teorema di Lagrange p.55
• I Differenziali p.57
• Formula di Taylor p.59
• Studio di funzione esponenziale p.61
• Studio di Funzione radice quadrata p.63
• Studio di funzione Arcsen p.65
• Studio di funzione Logaritmo p.66
• Studio di funzione arctan p.68
• Studio di funzione con 2 asintoti obliqui p.69
• Funzioni goniometriche p.71
• Circonferenza trigonometrica p.72
• Funzioni iperboliche p.73
• Gli integrali p.76
• Integrali definiti p.77
• Metodi di risoluzione degli integrali p.78
• Integrale di funzioni razionali fratte p.82
• Integrale fratto con denominatore non scomponibile p.84
• Criteri di integrabilità p.87
• Le Progressioni p.91
• Successioni di numeri reali p.93
• Serie numerica (Geometrica) p.96
• Serie Armonica p.97
• Criterio del confronto (Gauss) p.100
• Criterio del confronto asintotico p.101
• Criterio del Rapporto p.102
• Criterio della Radice p.103
• Serie a Termini Alterni p.104
• L'Assoluta Convergenza p.105
• Equazioni Differenziali p.106
• Esercizio Integrale Improprio p.109
• Formula di Eulero p.111

Funzioni

Funzioni f: X → Y ⊆ R
f(x) = x² + x - 2

Funzione iniettiva

x₁ ≠ x₂ → y₁ ≠ y₂

Funzione suriettiva

∀y ∈ Y ∃x ∈ X | y = f(x)

Funzione biettiva o biunivoca

Dominio di funzione
j(x)      ∀x∈ℝ      ]-∞, +∞[
Se nell'espressione non compaiono:

• x ai denominatori
• x all'interno di radici con indice pari
• log contenenti x alla base o all'argomento
• funzioni arcsen o arccosen contenenti x
• esponenziali a base variabile

il dominio è      ℝ
exj(x) = x³ - 3x² + 1      X = ℝ      = ]-∞, +∞[
j(x) = x²/2 + √5 x + ln 3      X = ℝ      = ]-∞, +∞[

Se nel denominatore compaia x, bisogna mettere ∖0 e risolgere l'equazione, isolando poi l'insieme.

j(x) = A(x)/B(x) = B(x) ∖0
exj(x) = x/(x-3)      x - 3 ∖0      x ∖3      X = ]- ∞, 3[ ∪ ]3, +∞[
j(x) = (x+1)/(x² - 3x + 2)      x² - 3x + 2 ∖0      x ∖1      x ∖2
X = ]-∞, 1[ ∪ ]1, 2[ ∪ ]2, +∞[

Integrali

∫(x) = √ⁿA(x) A(x) ≥ 0
ex ∫(x) = √1-x 1-x ≥ 0 x ≤ 1 X = ]-∞, 1]
∫(x) = √⁴9-x² 9-x² ≥ 0 -3 ≤ x ≤ 3 X = [-3, 3]
∫(x) = √1│x-3│+ 3 |x-3|+ 3 ≥ 0 X = ]-∞, +∞[

R∫(x) = log_A(x)(B(x)) A(x) > 0 B(x) > 0 B(x) ≠ 1
ex ∫(x) = log_x(1-x) 1-x > 0 x > 0 x ≠ 1 x ≤ 1 X = ]0, 1[
∫(x) = ln x² x² > 0 x ≠ 0 X = ]-∞, 0[ ∪ ]0, +∞[
∫(x) = arcsen A(x) |A(x)| ≤ 1 A(x) ≤ 1 A(x) ≥ -1
ex ∫(x) = arcsen (x - 3) |x - 3| ≤ 1 x - 3 ≤ 1 x - 3 ≥ -1 X = [2, 4]