Analisi matematica 1b (parte 2)

Funzioni e integrabilità

A B siano separati a Ex SIGEA Allora sono equivalenti I elemento B tra 1 A separatore e INABSUP A2 R Ne fa 7 che e5 R segue integrati hanno All B f gli insiemi ed uno un solo elemento separatore 67 è che proprio funzione.

Esempio di funzione non integrabile

Non una R integrabile se te fogna a fa Sia 7 IR 0,1 Dirichlet funzione sedi fao io x egì usata come esempio funzione di infiniti con Punti di discontinuità A READ infatti Ogo p Dentro IK ogni fr XDC i irrazionali Che dei Sono razionali sia allora inf f 1 ma III o 6 Fo 7 allora ama eo EPIKSCI 8 E è copiKi I 1O An to f Gesto I fo Ne su place segue 6 che Gesto 517,611 Jaba e sup iR 7 è integrabile non ha Si fa ER teorema bl 9,5 ossia fa funzione è b continua su compatto ogni R Lo Lunedì integrabile dimostriamo funzioni Dimostreremo tutte le che anche monotone se R anche sono integrabili non integrabili a è integrabile.

Classe di funzioni C1

µa 5 CI Def Classe Sia IR 7 derivabile Aer Se la IR funzione 7 è A si continua f AC dice è su classe di che Si A Rif C 7A C di classe pone SE VI SENTO DIRE CHE LE FUNZIONI C1 SONO LE FUNZIONI “CONTINUE E DERIVABILI” L’ORALESI INTERROMPE ALL’ISTANTE!

Esempio importante

Set ESEMPIO importante x o I sin fa Sex IR o sui derivabile 7 dunque t` ma continua o in non 7 è C classe derivabile di ma non Barrow Torricelli Teorema III III Io fondamentale del Af Sia B valori reali derivabile a su b tutto a Supponiamo B integrabil Rf sia fac he b su fa b allora vale fa 7 lb Gpf In C' fa 7 b allora particolare e per sede f Cs di è su 9,5 continua l'IIR dal precedente segue che e integrali formulala di sopra cuivalee è 715 f fa Notazione Si pone Quindi TB dai le ipotesi tanti è 7 f T.B Dim Sia 6 qualunque una focaia In scomposizione Cadi 7 lb 7 f fan FAO a fai flat Xa 7 AH 742 FCX FGD fan XD atelescopio per etc FIFA AAK A lecito applicare è il teorema del valore di Lagrange medio frogni Degni su i 7 derivabile è cui su segue Ice che ne XK xke LICK FCX FAK D XK XK i I' C CKA D vale ora XKK mise inff l' C f Sup E e Aki XD XK x Di sollecito moltiplica Per summo Xk Xk ei su K I ne seguen É IKHAK DEEEEICK.it EIAIIHK.ie XK detta somma Acf saio g di Riemann Cauchy Sta in mezzo costante vista scelta di CK la 7 lb f a Riassumendo 7 lb 76117 E fa a Fo 15171,612715 76.

Proprietà dell'integrale

Passando dalla sup al prima rispetto segue che 9,5 fb fla EL aff seconda passando dalla all'inf rispetto L segue che fà 1 7 cal 7 s e Riassumendo Ef Ff 7 ff flotta R integrabile dall'ipotesi f è che allora sono Ma da Cates tutte cui uguaglianze ES cosa 'ax IB Isin x dx Et COSE ICOSI COSTI ICOS St ole Se Sinai ipotesi Oss valgono gelata ha BT di che si 7 lb fla fetide In Fx b vale la particolare e Liff è un non da cui It fai at b It afa EE 7 funzione la è la ricostruita con teorema del derivata ipotesi le sua stanti T.B tramite l'integrale 7103 Banfi Proprietà dell'integrale generali 1 Linearità Rfa b è dim infinita vettoriale uno disp ERGA 5 funzioni IR delle IRS su ossia VI Ka 47 GERLA IRAR b EB EBGIRIA un'applicazione b IR è If lineare 1 B f go ff att B g additività Sia qualunque fissato ceja.bg2 ha FERIA Si 5 che ERA Rgb tipa 171 g Ec In valetal If fy caso Additiva by If If DELL integrale Positività 3 negatività monotonia none 7 RCA se 74 Fx la b e eoud per ex somme superiori f z inferiori eo 17 6 720 0f Re ff a se b Vxe agg la beg x e Life Cosa positiva alla g ex differenza linearità ef IN fab I o fg la Eo 5 fsin x dx sin x noo o J lx zo F o Iggy o fa R provedremo che e 2 eg ga fa ff che z o not a che oo It op oiché f Ioma FI OCE Integrale 4 Disuguaglianza triangolare Rca Le Re ab b vale 111 E el'salata 7171 DTI 171 vale E Dim Monotonia labiale lati 7,171 erga linearità l'f là Ale Rca 7 b Rca completa 17 ile e ragionamento Dirichlet f s E7 EI È f Rea E è 53 non E Rea Igf be poiché costante Continua RCA b ET eorema teorema dal di 5 riduzione seguirà II di anno Tonelli Sia 7 Rea 720 be poniamo TIE PICI 04448419,534 E EX µ epigrafe f di epigrafico hogg questo intende di Epik Gif area di revuoicosa di teorema dovremo Misura IRino TEI EI IEE S Pta EE Lb Es a ad a fa ER aff ax l'Aiax lab acx a Cb aa Teorema Criterio di Integrabilità Riemann di limitata Sia 7 IR ba Allora equivalenti sono J Ria bi e LI VE 517 E 76 119,5 Ge ACFo e G In Foer generale 9,5 Oss È SCI misti 6 117,6 ftp.f ig ff XK XK i À chiamata oscillazione Se quantità queste III Ferlasono piccole bga 7 it Rfa Dim b Ii E così ragioniamo.