Analisi 2 - Appunti parte 2

Revisionato il 27/07/2026

di Mariao

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Appunti Analisi matematica 2 - Parte 2.Presi con cura a lezione, con esempi ed esercizi svolti a lezione.Appunti divisi e ridotti leggermente di qualità a causa del vincolo sulla massima …

Esame Analisi 2

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Giannazza Ugo

Università Università degli Studi di Pavia

A.A. 2019-2020

87 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Caso 1 (vincolo esplicito)

Supponiamo che il vincolo g(x,y)=b sia soddisfatto da tutti e soli i punti appartenenti al supporto della curva: I ⊆ ℝ ⟶ ℝ².

Definiamo la funzione ɸ: t ⟼ f((t)).

Allora per trovare gli estremi di f soggetti al vincolo g(x,y)=b e su afferente calcolo gli estremi di ɸ.

Esempio: calcolare i massimi e i minimi

Es: Calcolare i massimi e i minimi di f(x,y)=√x²+y²−1 su M₂ = ℝ²{(x,y) x²+y²=9}.

Soluzione

Il vincolo M è il supporto della curva: [0,2π] ⟶ ℝ₂(Θ) = (3 cosΘ, 3 sinΘ).

ɸ:Θ ⟼ √9 cos²Θ + 9 sin²Θ + 9 sin²Θ −1 = 3 + 9 sin²Θ −1 = ɸ ha massimo in Θ = π/2, 3/2 π e minimo in 0,π dunque max: (π/2), (3/2π) = [0,±3](0), (π) = {±3,0}.

Es: Determinare max/min di f(x,y)=2x−3y−1 vincolato a stare sull’ellisse di eq. x²/u² + 3/4 y² = 1.

Es: Tra tutti i rettangoli di perimetro p trovare quello di area massima.

Caso 1 (vincolo esplicito)

Supponiamo che il vincolo g(x,y)=b sia soddisfatto da tutti e soli i punti appartenenti al supporto della curva γ: I ⊆ ℝ ⟶ ℝ².

Definiamo la funzione Φ : t ⟼ f(γ(t)).

Allora per trovare gli estremi di f soggetti al vincolo g(x,y)=b è sufficiente calcolare gli estremi di Φ.

Esempio: calcolare i massimi e i minimi

Es: Calcolare i massimi e i minimi di f(x,y)=√(x²+y²)-1 su M₂ = { (x,y) | x²+y² = 9 }.

Soluzione

Il vincolo M è il supporto della curva γ:[0,2π]⟶ℝ²; γ(θ)=(3 cosθ, 3 sinθ).

Φ: θ ⟼ √(9cos²θ + 9 sin²θ) - 1 = 3 - 1 = 3 - 1=> Φ ha massimo in θ = π/2, 3π/2 e minimo in 0,π dunque max: γ(π/2), γ(3π/2) = [0,±3] γ(0), γ(π) = [±3,0].

Es: Determinare max/min di f(x,y)=2x-3y-1 vincolato a stare sull'ellisse di eq. x²/4 + 3/4 y² = 1.

Es: Tra tutti i rettangoli di perimetro p trovare quello di area massima.

17 Aprile 2019

Ottimizzazione vincolata in R³

Caso 1 (vincolo bidimensionale)

f,g: R³→R , b∈R

L(x,y,z,λ)=f(x,y,z)-λ(g(x,y,z)-b).

Se un punto (x₀,y₀,z₀) con ∇g(x₀,y₀,z₀) ≠0 è un estremo (locale) per f, vincolato a g=b, allora ∃ λ₀∈R t.c. (x₀,y₀,z₀,λ₀) è punto critico di L.

Caso 2 (vincolo unidimensionale)

f: R³→R ; g: R³→R² ; b∈R²

L(x,y,z,λ,w)=f(x,y,z)-[λ(g₁(x,y,z)-b₁)+w(g₂(x,y,z)-b₂)]

Se un punto (x₀,y₀,z₀) con Rk (∇g (x₀,y₀,z₀))=2 è un estremo (locale) per f, vincolato a g≡b, allora ∃ λ₀,w₀∈R t.c. (x₀,y₀,z₀,λ₀,w₀) è punto critico di L.

Esempio sulla sfera

Sia ∑ ⊂ R³ la sfera di centro l'origine e raggio δ.

Calcola min_∑ { x²+y²+z²-x-2y+2z}

Soluzione

f(x,y,z)=x²+y²+z²-x-2y+2z

g(x,y,z)=x²+y²+z²=25

L(x,y,z,λ)=x²+y²+z²-x-2y+2z-λ (x²+y²+z²-25)

∇g(x,y,z)=(2x,2y,2z) ≠0

Imponiamo le condizioni:

L_x=0 (≡) { 2x-1-2λx=0
L_y=0 (≡) { 2y+2-2λy=0
L_z=0 (≡) { 2z+2-2λz=0
L^'=0 (≡) x²+y²+z²-25=0

2x(1-λ)=1 | x=1/2(1-λ)

2y(1-λ)=-2 | y=-1/(1-λ)

2z(1-λ)=2 | z=1/(1-λ)

λ=1 non è soluzione!

L_λ=0 ⇔ 1/(u(1-λ)) + 1/(1-λ) + 1/(1-λ) - 25 ⇔ 1/(1-λ)² = 100/9 ⇔ 1 - λ = ±10/3

1/(1-λ) = 10/3 ⇒ (x₀, y₀, z₀) = (10/6, 10/3, 10/3) ⇒ f(x₀, y₀, z₀) = 25 - 10/6 - 20/3 = 20/3 = 10

1/(1-λ)=-10/3 ⇒ (x₀, y₀, z₀) = (-10/6, -10/3, -10/3) ⇒ f(x₀, y₀, z₀) = 25 + 10/6 + 20/3 = 70/3

Siccome Σ è una sfera (chiusa e limitata) allora i punti sono resp. max/min.

Esempio: trovare il minimo

Es. Trovare minimo di f(x,y,z) = x+y+z , vincolo a Σ = { x,y,z: 1 e x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 } se fosse solo x-y-z=1

Soluzione

L(x,y,z,λ) = x+y+z - λ(xyz-1)

∇f(x,y,z) = (yz, xz, xy) ≠ 0 su Σ

↳ su Σ abbiamo x-y-z=1 quindi nessuna componente è nulla!

L_x = 0 ⇔ (1-λ)yz =0

L_y = 0 ⇔ 1-λxz =0

L_z = 0 ⇔ 1-λxy =0

L_λ≠ 0 ⇔ xyz = 1

Siccome xyz ≠ 1, posso scrivere che

1 = λ/x

1 = λ/y

1 = λ/z

x = y = z = 1

(x₀, y₀, z₀, λ₀) = (1,1,1,1) è l'unico punto critico della lagrangiana.

Quindi (1,1,1,1) è l'unico candidato minimo di f.

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