Analisi 2: secondo quaderno

Revisionato il 21/09/2026

di nanus000

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Appunti su tutto il programma della seconda parte, differenziabilità, integrali curvilinei, doppi e tripli, forme differenziali, teorema Stokes, teorema gauss green. CI sono tutte le …

Esame Analisi matematica 2

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Sorrentino Alfonso

Università Università degli Studi di Roma Tor Vergata

A.A. 2017-2018

78 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Esempio: f: R² -> R

f(x,y) = { |xy|^a / ||(x,y)||^b , (x,y) != (0,0)0 , (x,y) = (0,0)

Dom = R²

Osservazione f in C((R² - {(0,0)}))

Per quali valori di a e b è continua nell'origine?

lim_p->0 p^a-b |cos(theta)sen(theta)|^a = 0 <=> a - b > 0

a > b

Per quali a, b > 0 esistono d_x f(0), d_y f(0)

d_x f(0) = lim_h->0 [f(h,0) - f(0)] / h = 0

grad f(0,0) = (0,0)

Derivate direzionali

v = (v₁, v₂)

d_v f(0) = lim_h->0 [f(hv) - f(0)] / h = lim_h->0 |h v₁ h v₂|^a / ||h v||^b == lim_h->0 |h|^2a |v₁v₂|^a / (|h|^b ||v||^b) = lim_h->0 (|h|^2a-b-1 |v₁v₂|^a / ||v||^b) =

0 if 2a-b-1 > 0 for every v != 0
0 if v₁v₂ = 0 for a in R

Quindi riassumendo =>

Se a > b continua
Se a > (b+1)/2 tutte derivate direzionali

Quando è differenziabile in (0,0)?

lim_(h,k)->(0,0) [f(x,y) - f(0,0) - grad f(0,0) . (x,y)] / ||(x,y)|| = lim_(x,y)->(0,0) |xy|^a / ||(x,y)||^b+1 == lim_p->0+ p^2a-b-1 |cos(theta)sen(theta)|^a = 0 <=> a - b - 1 > 0

Esempio: f : R² -> R

f(x,y) = { |xy|^a / ||(x,y)||^b se (x,y) != (0,0)0 se (x,y) = (0,0)

Dom = R²

Osservazione

f in C((R² \ {0}), )

Per quali valori di a e b è continua nell'origine?

lim_p->0 p^a |cos(theta) sen(theta)|^a / p^b = lim_p->0+ p^a-b |cos(theta)sen(theta)|^a = 0 <=> a-b > 0

a > b

Per quali a, b > 0 esistono d_xf(0), d_yf(0)

d_xf(0) = lim_h->0 [f(h,0) - f(0)] / h = 0 grad f(0,0) = (0,0)

Derivate direzionali

v = (v₁, v₂) d_vf(0) = lim_h->0 [f(hv) - f(0)] / h = lim_h->0 |h v₁ h v₂|^a / ||h v||^b / h= lim_h->0 |h|^2a |v₁v₂|^a / (|h|^b ||v||^b) = lim_h->0 (|h|^2a-b |v₁v₂|^a / ||v||^b) =

0 se 2a-b > 0, v1v2 != 0
0 se v1v2 = 0

Quindi ricapitolando =>

Se a > b continua
Se a > 1/2 b tutte derivate direzionali

Quando è differenziabile in (0,0)?

lim_(h,k)->(0,0) [f(x,y) - f(0,0) - grad f(0,0) · (x,y)] / ||(x,y)|| = lim_(x,y)->(0,0) |xy|^a / ||(x,y)||^b+1= lim_p->0+ p^a |cos(theta) sen(theta)|^a / p^b+1 = lim_p->0+ p^a-b-1 |cos(theta) sen(theta)|^a = 0 <=> a-b-1 > 0

Esempio: f(x,y) = e^x+y log(x+y) N 1 - x² - y²

Dom = { x + y > 0 1 - x² - y² > 0 } => { y > -x x² + y² <= 1 }

Punti critici

f: A ⊆ R^m -> R A aperto ∃ ∇f

x₀ è punto critico ∇f(x₀) = 0

Osservazione: se f è differenziabile e ∇f(x₀) = 0

z = f(x₀) = ∇f(x₀),(x - x₀) = 0 => x₀ è un massimo o minimo locale => ∇f(x₀) = 0

Studiare l'Hessiano D²f(x₀)

Proposizione: f: A ⊆ R^m -> R x₀ è in A condizione necessaria

se f è C²(A), x₀ è punto di massimo locale (minimo) => l'Hessiano D²f(x₀) è semi-definita negativa (positiva)

f: R -> R C²

x₀ è un max f''(x₀) <= 0

min f''(x₀) >= 0

Dimostrazione

x₀ è un massimo ∃ I_δ(x₀) t.c. ∀x è I_δ(x₀) f(x) <= f(x₀)

∀h è R^m - {0} f(x₀ + th) <= f(x₀) ∀t è (-δ, δ)

F(t) = f(x₀ + th) F: (-δ₁, +&d

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