Analisi - parte 2

Approssimazione polinomiale: inderivabile

Se è Allora finzione iofuna me gonnettepentouna Polioretta nel talepunto faxo etangente graficointornoda inè infinitesimoquestaapprossimato metangentedal ordine inprimo XoinPiù è derivabilefse ovverosufficientemente regolaregenerale allora4 volte medianteènel approssimavaXoputo possibile l'intorno diin Xoal tuttopolinomio di npiùme gradose ManduriadisviluppiX o GIR dise obitorioXo sviluppi Taylor

Teorema: polinomio di Taylor

Sia inderivabilesiaAib volte4maf me putofumiamo dicediEla allora tueesisteb EXo polinomiomi gradotututto Ifigotale filotufoche Xo

Dimostrazione: Tu GA XD AncmaxDG 924dot de 1Xo1 XDGQ 31 t hanXo20di 1X Xoda G 6A 12942 2oz XXT n XoXoXo nx c 3G3 Nfl693T 2404 2U1X03 Xo X Xo1 4T G 424dg xDmln4 31 2n n4 G 0TIn G Kt fu derivata0 Keneargenerale cane maiT'È ottTu xDan x

Teorema: corollario

Teorema: corollario di inse polinomio è micaesiste sviluppo Xona

Teorema: il polinomio di Taylor di grado n

Teorema: il polinomio di Taylor di grado nderivabile insia ilf b SIR volte polinomioa Dea laxdi ordine in è ildi di x polinomiouTaylor g t'Èt'È G macedoniexp Mntua se o

Dimostrazione: fII'Year xooYtthis ie cxNe iiittIfIfkx.xor EniENI

Teorema: proprietà degli sviluppi

Teorema: proprietà degli sviluppitn1 XTu ff XojxpeTuxqxxoix gpeg2 Tu Tuf fXo x

Teorema: formula di Taylor con il resto secondo Peano

Teorema: formula di Taylor con il resto secondo Peanosia derivabileIRb inlavollefila enfenianauna unD alloratoccaputto TuFG f olx.ioXo Xoper

Dimostrazione: inducianese 1ne pel oTu flxoltf.lafini x aytan stopelTn 0cLXf fio figo XoXo XXo 11 XoperTuf 011f tXo XoXse ne 2Tuf 011f tXo xDX TullFLN1k Xof XoTu X1 0lineo XoXioX Xo ofinoI'LD DTuµ Iline tulf.IO0 flxt ok Xo1 ilsx Xo Resto secondocosìvoltederivabile PeanovaletreOgni pennone

Teorema: polinomio di MacLaurin

Teorema: Polinomio di MacLaurin sottointeso 0persempre initsia DvolteD Eladerivabilea Xo Olegiulianemagallora t'È TuAµ okOfo

Esempi

Esempi: di delinabiliCtrovare vollefruviani nannoBisogna è1 µ 1 TRENIfine è f aaIo è ÈÈokK e8kt ttse O2 f cosaGf Selex ordinate poicosa8 eÈ jeu ordine disponigl e seena1Ordine FIN0 E0 fcoseno poi14ordine StopfI X0 Madonnina ponÈ1ordine 1I talkfly 1FGIII Ordine 0410f3 SelexGf cosi ordinete poi8 seeneseen ethos ordine disparigl xacosiOrdine0 FIN O tolo disparisenoordine fkI xo Maclaine dispoI ordine FG x2X OEFGIII Ordine X o6 tetta exlllx.it g Gfkt4 1h1f induzioneDimostro madonnineperEGf fb 0XXII r Kflotte 1zI p l'KC 11osteL xkef a aG o o tetef Xxi u sfidecoordineI f Xx ogordineI fu okÈordine offix Èordine I diXfu

Generalizzandoluceda.fm 1 6Zf 8 7L'G aii si aµDK8 Èxp negiàK tI aordineI fix okordineI ognifu X E_ordine fix 04332Eordine X OCAfix 2 4lnfu45 1 62 f8fiche fi ai i ag11Kf I ÈHa gas noK 1aIordineI Gf okordineI ognifu ÈEII ordine fix o32teordine okXfix 2 45 atipicoetFG come DÀAGHI daG 1G Xxif laf 1 2 nea a ihttHlaKaµ Kte o RN1 na nnf

Ricordiamoci che K tekiln bene loRtre neripiùaapplicalo vanonbastastesso che HK lo binomiodelsviluppoE Xkfax xk vieneNewtondio dim stratocosiOrdineI 1FG 1 04I ordine 11fu 042EXII ordine ffix 5 deE1 Xordine 11 E G xd3 okXfuSeung6 fu è eFG 2 étéL fG Elettef è èff na lettiI è GeesétéGf è pari Olese f aèf infattie è dispari fseen comehtt Kf Kp okordineI Gf OGXI ordine tfu 04II ordine Xtfix X Xordine t 0fix7 CastelFG l eFG 2 è è fletteteLGf piu f lètterefletté f ef èè èG dispari guailese Of infatti cosa porie gcomeèf eEI eI ordine okGf X11 7I ordine ok1fu 7II okordine fix 1 Et okordine flxi.it antiC8 1 soloarctavela fFG disppot2kt 1tuo1I 1x I'Èp dasantone pt 2kmf G tiCHIÙ 18 L 3K 11Gf 4 Carte1ordineI f ofordineI fu oÈordine 1043fixordine okXfuI ordine okÈfu9 fattomiordine okI XGf okXtordineI fu Èordine ofX 1FG 04ordine Xfix IÌI ordine ofufu arctavene10 eraè esentitante Gy èCon è't 1e flnfgetty 1ee e ftp.sxgflnlli lnx tesolo se disponijudasa IIIe EHI one ogni2 mio ordineIgg f ofx2kt 1o ordineI fu oÈII ordine opsfix X 11ordine okflxi.itI ordine okflxi.it

Calcolo dei limiti

Calcolo dei limiti: di monetaria calcolarecan sisviluppi facilmentegli possanolimitii in intorno asintoticiqualsiasime comeFi Zé1 luce 32 seenline tanti èo cosaposso montanine edi ordineapplicare gli sviluppi È1124 È E41 3keline Èevito Yo È 1124 teline evito 3 063o SI xs.ioE 4line line 3 043okHO o

Teorema: massimi e minimi

Teorema: Massimi e Minimi inderivabilesia R volteb lef fenianaai ma 4170O fbtocca I'Ho fGo Gocome fcon aGo locale0 maf xinpoise èn gergo min localeo Gof 0crescenteinè dise dispari fieron o 0danese efcue

Dimostrazione: derivabileèAbbiano detto f volte inche x panicon secondoPeonedi testoordini dipossiede conTaylora sviluppofcxsj.IT xD olx.io sxperx I stopGoffigo Iflatfui Xoio xDXI ftp.xoGflufix x HpnPertanto in diiltrascinando intorno Xoresto un opportunoGo8 xD8k fax h il deledè pari 70se dipenden fattorexo segnoda f xolocale fcx.semin gg31 faolocale 7 FGMaxè talele dispari orittantolese flesso axox genesi dief ha sxfeoxo Xoao crescentefix didx Xoafaofui disiGof sxao desuciceneIleafy Iggy didx Xoa

Teorema: concavità

Teorema: concavità inderivabilesia R volteb lef a fenianama Gobtocca f 1tocome ffcon Xo f neXo cana aGo l'altoconcavità0I versoinparise èn ilconcavitàGof 0 bassoversoeè indihase undispari Xofienon punto

Dimostrazione: int featPogor atangenteL 7 In rivoltaconcavità èlacasor questol'alto in intornoverso dunque meal indi ter xopiùopportuno og r ffeo xoxgti fuXo yPrendiamo ausiliariala feniana Priamo con TaylorIgedi ftp.flxo figo xyo giÈÈdlx x.lklx ffeo X xoaI 8figoÈ xotj.gl4g xoxDI Go Kde XoKKadu l'altoconcavitàse Hotf0 overso le poni ail Holedate 0 fconcavità oDossose averso li poniduse disponi0 tifecero

Definizione: il differenziale di una funzione

De nizione: il di erenziale di una funzione7 Il primaè chequellodifferentiaterfkotdx.de chiamavamo distanzade laamenor che lainfinitesimaèora fradegli8h rtecena intettala tangevaildi Il Aè valore fradiffenziatedix dalla quelloeassuntoquello fenianadaassolto tettana na tangentefiofui agliofln filofino f a Xoxo xAppio didj filo filoQui troviamo Differenziabilitàcheproprio lineareopprossineacianedi cenauna

Calcolo integrale

Calcolo integraleilPer serviamodicos'è ci dell'ipotesiintegralesignificatocapire Archimedediinduttiva e Lesioni.IE sIa7EaIIii yaxa approssimiamo difettoperEEIIEIEIII.eetroieK meK 0o En zoomiamoLsia Axl'dupietta anuguale yl'olfatto Ardel Hitspkisia Xirettangolo iEican Xi Xi XinSommiamo2 iettangolinoognidunqueÈ ÈAta ilaxXii feii.is Hot ahif èmaxiChiamiamo il Su3 eora prendiamoi È172 37is ii143 LiesTua 1tu 0 iist 12i 3ii si 1 31Li 1 il3Taxi 13 3fitTu suTut su 11 in2 HI ÈII En 1Che3 3litesua nezu zu1 ale 1n n n1 n1aisu difetto6 173 602 atedeai einline4 Dunque 33fui00nn too ottimami ne precisionegarantiscearrotondare l'area5 adesso di

Immaginiamo ellenoperzoomiamoLsia Axl'dupietta anuguale yl'olfatto ardel Hitssia plaid Xirettangolo itEican Xi Xi XinSommiamo6 iettangolinoognidunque Èa axi.ie iIXii faii.is A'na offif citamaxi i oitChiamiamo7 1 Sua 1traSuora i o s172 37is 343 4 CitTua 1tu 10 iil ilisi 3ii 1 31Li 1 il3Taxi 13 3fitTu Tut susu 11 n2 HI IfII En 1Che33 litesua ne2h 1 11 Uitn ht1 n nSu fate6 6 djline8 ahlineonesAiDunque 00

Osservazione!: dimostravano dimostrarediciLa cuecompiuta pennellaappenatt I maiAsi poiofIIIXixsiXi e tipXix di monotoniaAI teoremati.isAs e ofsi in asuccessioneogni cosoquestoconverge

Definizione: integrale definito

De nizione: integrale de nitoRsia continuabaf ma fenianasia f di diintendiinDsuddivisioneXo Xu una aXi ndoveampiezza DÌi OldenXi Xo come Sanna RimanedibXo a Xua Candytise SE Allora Hai fyiSncfprendiamo Xii xixè èla finitosuD IIIsufeniana aintegrabile quandoda sidipendenone sadi luiIn FGIcosoquesto

Teorema: ogni funzione continua è integrabile

Teorema: ogni funzione continua è integrabileb èèRse alloracontinuaf integrabilea

Oss!: le funzioni non continue non sono integrabiliFaData p si Efu Xixe seSu EQin 1 SefXif da siSu dipende ènonfadunqueSEsu RIIOCi.is FG seXif integrabile

Oss!: l’integrale è un’area con segno viceversaf di o ose e

Proprietà degli integrali

Proprietà degli integrali incaninecan Dfly fenianigge afakfkitmglxtdx.it mfbfkIdx glxldxtnyeRlinearità1 f.pk dxflxtdx2 IDato fCxidxl Ia µ di3 guidi fuiManatonia txt b fesso4 afbafcxidxz ttxt.labJflxIEO7fbafCxidxe ttxEIaEf quibJfklEglxdxfhdxlefflge.si5 11

Teorema della media integrale

Teorema della media integrale: sia D 7xotsia aibjt.ccontinua allorafinzioneaf unabf dx b l'area vienesottesa rilettaa fCxox comene IX Iliorettangolo

Dimostrazione:sia siaf continuaaib magnuianeyn 7mmil diSecondo Weistrasateoremat ffioµ Ht b EMmeai monotoniateoremae'lPee di integralibbafamdxefbaflxidxefbmd mlbafmfbadxefbafcxld.EU Mlbdx a 1lb abaflhdxemteo.ua Intendi c.lazxo tebµ b ab afeoflxid fcxs.forxe

Oss!: se la funzione non è continua, non esiste il valore integrale medioo.inDiella Hoffa b Lte1 se bfino a

Teorema della media integrale generalizzato

Teorema della Media Integrale generalizzato:DSia siaf a continuawagnerianeINsia b continuaa viap positivagiuliane semprebJtdecnefbafEYplxidxJxot.la fko fbapCxd V

Dimostrazione: di Weistionin M70 fix patrocinaxEfayb3pCH me ed essendotebHA fix pH oemeai mpgEnepal felpate dapgiifmffaaanepcxidxefjfkipcxldxefbampc.ispcxidxefafhpcxsd.eumetà dxbapCx844 dx emme e dip fadei fplxidx7 t.c.phteorema bperil ffflxspGidxintermedivalori

Definizione: integrale indefinito

De nizione: integrale inde nitoSIRsia Da frucianemaf derivabileFsia fa IRb almeno t.coprimitivala 1 voltasuaF FGxD inFai lasecondoche FCAl'operatore trasformasappiamo formaDFG trovare la cantafix che immaginiquello sonovoglioIl D iniettivoèèproblema nonche un operatoreinvertibileperciò non FÈfai iniettivoNONfucIf dx If diDX leNitesi l'insiemedefinisce primitivedunqueFG

Primo teorema fondamentale del calcolo integrale

Primo Teorema fondamentale del calcolo integrale: sia Renaf facontinua FD siasia Dea frucianela primitivasua genzianaAllora FGda Fcafix

Dimostrazione:K divido identichelo involteDIprendo na ne ampietteM, b Dcomedi Xo XuaXeXs Xu aFG ftfqu.itfFcb FFcaa FCXuxi.is XDFXoFb FGdtfquFeoXia FG FCXu.jtfquftp.DXu iFAO FQi.ieFlan Fei E SIR derivabileF bConsidero Xin aidunque Xi ecausino upxFeiinLagrange HitsHit F gteXi Xi.is XiP F Ei si Feif f XiXini e