Analisi Matematica

Limiti

= _limn ^[n+1/_n]n-1 1^/e < 1. In generale se lim _an = e < [188 allora lim _n ^1/n =

Limiti: definizione

Sia f: X→R, X⊂R, x_o∈R punto di accumulazione per X, l∈R. Diciamo che "l è il limite di f per x che tende ad x_o." se ∀ V intorno di l ∃ V intorno di x_o tale che ∀x∈X∧ V, x≠x_o: f⊆V. In tal caso scriviamo lim f(x) = l.

Osservazione

Per quanto osservato in precedenza (pagina 68), le proprietà riferite agli intorni di un numero possono essere più lo più riferite agli insiemi del tipo ]x_o-δ, x_o+δ[ che, al variare di x_o in R e di δ in R⁺, individuiamo una classe speciale di intorni dei punti x_o. Lo stesso si può dire anche degli insiemi del tipo [x_o-δ, x_o+δ ] al variare di x_o e R, δ > 0.

= _limm [^m+1/_n] ^{m -1}/ₑ < 1. In generale se _limn a_n = a ∈ R\{0} allora _limn 1/a_n = 1/a

Limiti: definizione

Sia f: X → R, X ⊂ R, x_o ∈ R punto di accumulazione per X, l ∈ R. Diciamo che “l è il limite di f per x che tende ad x_o.” se ∀ V intorno di l ∃ U intorno di x_o tale che ∀ x ∈ X ∩ U, x ≠ x_o : f(x) ∈ V. In tal caso scriviamo _limx→xo f(x) = l.

Osservazione

Per quanto osservato in precedenza (pagina 08), le proprietà riferite agli intorni di un numero possono essere per lo più riferite agli insiemi del tipo ]x_o-δ, x_o+δ[ che, al variare di x_o in R ed i δ in R₊, individuano una classe speciale di intorni dei punti x_o. Lo stesso si può dire anche degli insiemi del tipo [ x_o-δ, x_o+δ ] se il variare di x_o è x ≤ o.

Definizione equivalente alla precedente

X ⊂ R, f : X → R, x_o ∈ R ed L ∈ R come nella precedente definizione. Allora si dice che "L è il limite di f per x che tende ad x_o" e si scrive lim f(x) = L se ∀ ε > 0 ∃ s > 0 tale che ∀ x ∈ (X ∩ ]x_o - s, x_o + s[) \ {x_o} :|f(x) - L|

Osservazione

Per la proprietà del valore assoluto, la precedente definizione si può anche scrivere: ∀ ε > 0 ∃ s > 0 c. ∀ x ∈ X, |x-x_o| o : |f(x) - l| o| o| ≤ δ e al posto di |f(x) - l|

Si noti che il valore assunto della funzione in x_o è del tutto irrilevante nella definizione del limite. Addirittura f potrebbe perfino non essere definita in x₀, cioè potrebbe accadere che x₀ ∉ X. Ciò che viene messo in rilievo dal concetto di limite è il valore assunto dalla funzione f nei punti _oblo mino "prossimi ad x₀", risultando del tutto irrilevante ciò che accade in x₀.

Esempio

Verificare che lim _{x → 2} x²-1=3. Qui f(x)=x²-1, quindi f: &Rarr; &Rarr;. Il punto di accumulazione è x₀=2 mentre il limite è l=3.

Fissato ε>0. Bisogna individuare δ>0 tale che ∀ x < &Rarr;, 0<|x-2|<δ f ≠|(x²-1)-3|=|x²-4|=|(x+2)(x-2)|=|x+2||x-2|<|x-2+4|<σ&leq;(x-2|+4)(σ|^{diss.-trianggolo} Servio x+2=x-2+4 ed uso(x)5σ^≤ε

Definizione

Sia chi, f: X &Rarr; R, x₀ è punto di accumulazione per X. Adiet che "il limite di f per x che tende ad x₀ è più infinito" e si scrive lim _{x → x0} f(x)=+oo se ∀ M ≥ 0 ∃ U intorno di x₀ tale che ∀ x ∈ U ∖ {x₀}: M ≤ f(x).

Equivalentemente si può definire il limite al seguente modo ∀ M ≥ 0 ∃ δ > 0 tale che ∀ x ∈ X, x ∈ [x₀ - δ, x₀ + δ[ ∖ {x₀}: M ≤ f(x).

• Si dice che il limite di f per x che tende a x₀ è meno infinito e si scrive lim f(x) = -∞ sex → x₀ ∀ M ≥ 0 ∃ U intorno di x₀ tale che ∀ x ∈ 𝕁 ∩ U, x ≠ x₀: f(x) ≤ -M.

Equivalentemente ∀ M ≥ 0 ∃ δ > 0 tale che ∀ x ∈ ([x₀ - δ, x₀ + δ[ ∩ 𝕁) ∖ {x₀}: f(x) ≤ -M.

lim f(x) = +∞ x → x₀

lim f(x) = -∞ x → x₀

Esempio

Verificare che lim x → 1. La funzione considerata è f : ℝ ࢨ {} → ℝ, 1 è il punto di accumulazione in cui calcolo il limite. Sia M ≥ 0.

Bisogna verificare che esiste δ > 0 tale che ∀ x ∈ ℝ |1|"x ∈ ]-δ, +δ[ (cioè |x-1| < δ) allora ¹/_|x-1| ≥ M.

Prendiamo δ = ¹/_M (sta assumendo M ≠ 0) e facciamo vedere che va bene. Infatti, se x ∈ R \ [δ_-] e |x-1| < δ, allora ¹/_δ < ¹/_|x-1| e quindi, siccome ¹/_δ = M, M < ¹/_|x-1|.

Osservazione

In tutte queste definizioni è indispensabile che x_o sia un punto di accumulazione perchè questo consente, come detto, uno studio dei valori assunti dalla funzione f in corrispondenza dei punti arbitrariamente vicini a x_o. In particolare si nota che, nella definizione (U ∩ X) \ {x_o} ≠ ∅, proprio per la definizione di punto di accumulazione.

In N non ci sono punti di accumulazione per N, infatti ∀n ∈ N ¬ ∃δ (I_n>-½ n+½[ ∩ [I ∩ (N) ]≠ ∅ Cioè non ci sono intersezioni fra N e l'insieme I_n>-½ n+½] che non corrispondono ad n stesso.

In R \ N non ci sono punti di accumulazione per N. Le infatti x_o ∈ N, posso prendere δ sufficientemente piccola affinché (J_{xo-δ, xo+δ}) ∩ (N) ] ≠ ∅

Tuttavia abbiamo visto che sfruttando l'illimitatezza superiore di N, è stato possibile dare una definizione di limite delle successioni. Analogamente l'illimitatezza superiore ed inferiore del dominio di una funzione consente di dare le seguenti.

Definizioni

Sia X R illimitato superiormente, L R. Allora diciamo che "il limite per x che tende a + oo è, rispettivamente, L, + oo o - oo" e scriviamo rispettivamente:

1. lim f(x) = L x - {>+oo
2. lim f(x) = +oo x - {>+oo
3. lim f(x) = -oo, rispettivamente, x - {>+oo

1. V intorno di L J K >0 tale che Vx k : f(x) V
2. VM > 0 J K > 0 tale che Vx k : f(x) M
3. VM > 0 J K > 0 tale che Vx k : f(x) -

Definizione

Sia X R illimitato inferiormente, L R. Allora diciamo che "il limite per x che tende a -oo è, rispettivamente, L, +oo o -oo" e scriviamo rispettivamente:

1. lim f(x) = L, x - {>-oo
2. lim f(x) = +oo, x - {>-oo
3. lim f(x) = -oo

Se, rispettivamente,

1. ∀ V intorno di l ∃ K ≥ 0 tale che ∀ x ∈ X, x ≠ K: f(x) ∈ V
2. ∀ M > 0 ∃ K ≥ 0 t.c. ∀ x ∈ X, x ≠ K: f(x) ≤ M
3. ∀ M ≥ 0 ∃ K > 0 t.c. ∀ x ∈ X, x ≠ ±K: f(x) ≥ −M

Osservazione

lim_x→±∞ f(x) = l ⇔ ∀ ε > 0 ∃ K ≥ 0 t.c. ∀ x ∈ X, x ≠ ±K: |f(x) - l| < ε

lim_x→±∞ f(x) = l ⇔ ∀ ε > 0 ∃ K ≥ 0 t.c. ∀ x ∈ X, x ≠ ±K: |f(x) - l| < ε

lim_x→+∞ f(x) = −∞

lim_x→−∞ f(x) = l

lim_x→+∞ f(x) = +∞

lim_x→−∞ f(x) = −∞

Proposizione

Sia : X → ℝ, ₀ ∈ ℝ punto di accumulazione per X (oppure ₀ = +∞ o ₀ = -∞ se X è illimitato superiormente o inferiormente), ℓ ∈ ℝ ∪ {+∞, -∞}. Allora le seguenti due proprietà sono equivalenti:

1. lim f(x) = ℓ
2. ∀ a_m ∈ ℕ tale che
   1. ∀ ∈ ℕ: a_m ∈ X \ {₀}
   2. lim a_m = ₀ se lim f(a_m) = ℓ.

Dim.

1. a => b) Lo proviamo solo per ℓ ∈ ℝ ed ₀ ∈ ℝ. Sia a_m tale che valgano i) ed ii). Dobbiamo provare che ∀ ε > 0 ∃ n₀ ∈ ℕ : ∀ ≥ n₀ : |f(a_n) - ℓ|

Sia ε > 0. Siccome lim f(x) = ℓ per ipotesi, allora ∃ δ > 0 tale che ∀ x ∈ X, |x - ₀|. Per ii), in corrispondenza di δ > 0 ∃ n₀ ∈ ℕ tale che ∀ n ∈ ℕ, ≥ n₀: |a_n - ₀| n ≠ ₀ per i).

Sia dunque ≥ n₀. Allora, siccome a_n ∈ X, |a_n - ₀| n ≠ ₀, per la (*) si ha |f(a_n) - ℓ|

1. b => a) Supponiamo per assurdo che a) non sia vera. Allora ∃ ε > 0 tale che ∀ δ > 0 ∃ x ≠ ₀, x ∈ X, |x - ₀| tale che |f(x) - ℓ| ≥ ε.