Analisi 1 - Appunti

Insiemi

Un insieme è un’entità formata da più oggetti (detti elementi).

Il concetto di insieme è detto “primitivo”; ovvero è un ente che non viene definito usando altri enti.

Esempi di insiemi

• L’insieme delle lettere dell'alfabeto maiuscole: A, B, X, …
• L’insieme delle lettere dell'alfabeto minuscole: a, b, x, …

Un insieme si definisce caratterizzandone il contenuto: dato l’insieme A formato dai numeri 0, 1, 2, 3, 4 si ha:

• Maniera esplicita: descrizione dell’insieme mediante l’elencazione di tutti gli elementi. Es: A = {0,1,2,3,4}
• Maniera implicita: descrizione dell’insieme mediante una certa proprietà caratteristica. Es: A = {x∈N: x ≤ 4}

Il simbolo ∈ indica l’appartenenza: 3∈A.

Il simbolo ∉ indica la non appartenenza: 5∉A.

Diagramma di Eulero-Venn: metodo per la visualizzazione grafica. Es: A 10 2 4 3 ∅.

L’insieme vuoto è un insieme privo di elementi.

Sottoinsiemi

Un sottoinsieme B di A è un insieme che è contenuto nell’insieme A: B⊂A.

Il simbolo ⊂ indica che un insieme è contenuto in un altro insieme: B⊂A.

Il simbolo ⊄ indica che un insieme non è contenuto in un altro insieme: C⊄A.

B⊂A se ogni elemento di B fa parte di A.

Es: A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}; B = {0,1,2,3,4}. A B A 5 7 A B 8 9 B 1 0 6 B⊄A 2 4 3 A⊄B B⊄A A⊄B B⊂A 1.

Se A⊂B e B⊂A allora si può affermare che A = B, ma allo stesso modo A = B se A⊂B e B⊂A.

Quindi due insiemi sono uguali se tutti i loro elementi sono uguali.

∅⊂A. L’insieme vuoto è per definizione sottoinsieme di qualunque insieme.

Sempre per definizione un insieme è sottoinsieme di se stesso A⊂A.

Un sottoinsieme B di A è detto sottoinsieme proprio di A, quando si esclude a priori che il sottoinsieme B possa essere uguale all’insieme A, ovvero esiste almeno un elemento di A che ∉B.

[B⊆A → Il sottoinsieme B è contenuto o “uguale” all’insieme A. B⊂A → Il sottoinsieme B è un insieme proprio di A.]

Insieme delle parti di un insieme A

P(A) è l’insieme che ha come elementi tutti i sottoinsiemi dell’insieme A.

P(A) = {X: X⊆A}.

Es: A = {a,b,c}; P(A) = {∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},A}.

Unione

Dati due insiemi A, B si definisce unione (A∪B) l’insieme che ha come elementi quelli che appartengono ad almeno uno dei due:

A∪B = {x: x∈A o x∈B}.

A = {1,2,3,4}; B = {2,4,6}; A∪B = {1,2,3,4,6}. A∪B A B A B A∪B.

Intersezione

Dati due insiemi A, B si definisce intersezione (A∩B) l’insieme che ha come elementi quelli che appartengono contemporaneamente ad entrambi:

A∩B = {x: x∈A e x∈B}.

A = {1,2,3,4}; B = {2,4,6}; A∪B = {2,4}. 2 A∩B A B A∩B.

Due insiemi A, B si dicono disgiunti quando la loro intersezione è uguale all'insieme vuoto A∩B=∅. ∅ A∩B = A∩B.

Nota bene

1. A∪B = B∪A → proprietà commutativa.
2. A∪∅ = ∅∪A = A.
3. A∪A = A → proprietà idempotenza.
4. A∩B = B∩A → proprietà commutativa.
5. A∩∅ = ∅∩A = ∅.
6. A∩A = A → proprietà idempotenza.

Dati 3 insiemi A, B, C si ha che:

7. A∪(B∪C) = (A∪B)∪C → proprietà associativa.
8. A∩(B∩C) = (A∩B)∩C → proprietà associativa.
9. A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) → proprietà distributiva.
10. A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) → proprietà distributiva.

Proprietà associativa

A∪(B∪C) = (A∪B)∪C.

1. x∈A∪(B∪C) ⇒ x∈(A∪B)∪C.

2. x∈(A∪B)∪C ⇒ x∈A∪(B∪C).

La dimostrazione deriva direttamente dalla definizione di unione e appartenenza: x∈A∪(B∪C) significa che x∈A oppure x∈(B∪C), ma ancora x∈(B∪C) significa che x∈B oppure x∈C, quindi x∈A, o x∈B, o x∈C → in qualsiasi modo si uniranno gli insiemi x si troverà sempre nella loro unione.

Proprietà associativa: A∩(B∩C) = (A∩B)∩C [la dimostrazione è equivalente alla precedente].

Proprietà distributiva

A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C).

1. A∪(B∩C) ⇒ (A∪B)∩(A∪C).

2. (A∪B)∩(A∪C) ⇒ A∪(B∩C).

Dimostrazione: 1. A∪(B∩C): x∈A oppure (x∈B e x∈C).

Se x∈A, x∈A∪B quindi x∈(A∪B)∩(A∪C).

Se x∉A, x∈B e x∈C quindi x∈(A∪B) e x∈(A∪C).

2. Si dimostra in maniera uguale.

Proprietà distributiva: A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) [la dimostrazione è equivalente alla precedente].

Differenza

Dati due insiemi A e B si definisce differenza (A\B oppure A–B) l’insieme che ha come elementi quelli di A che non appartengono a B:

A\B = {x: x∈A e x∉B}.

A = {1,2,3}; B = {2,4,6}; A\B = {1,3}; B\A = {4,6}. Quindi A\B ≠ B\A. A\B A B A\B A B 4.

Assegnazione di un insieme

Gli elementi di un insieme possono essere assegnati ad un insieme mediante:

• Elencazione
• Proprietà

Per la proprietà bisogna definire un insieme ambiente/universo. Tale insieme è quello da cui prendere gli elementi che verificano la proprietà.

U = universo; P = proprietà(x).

Allora l’insieme verrà scritto: A = {x∈U / P(x) è vera} = {x:P(x)}.

Modificando U e mantenendo la stessa proprietà l’insieme A che si individua può non essere lo stesso.

Es. U = alfabeto; P(x) = x è una vocale.

A = {x∈U / P(x) è vera} ⇒ A = {a,e,i,o,u}.

U = consonanti; P(x) = x è una vocale. A = ∅.

Complementare

Dati due insiemi A, B con B⊂A allora l’insieme A\B si dice complementare di B rispetto ad A e si indica con: B^c oppure A^cB.

Es: A = {1,2,3}; B = {1,3}; B^c = {2}. A B.

Proprietà: (B^c)^c = B. B∪B^c = A. B∩B^c = ∅.

Relazioni di De Morgan

Permettono di stabilire il legame tra intersezione, unione e complementare.

1) (A∪B)^c = A^c∩B^c.

2) (A∩B)^c = A^c∪B^c.

I complementari sono presi rispetto ad U.

U A → A∪B B∩B^c.

Dimostrazione 1) (A∪B)^c = A^c∩B^c.

x∈(A∪B)^c ⇒ x∈U e x∉A∪B ⇒ x∉A e x∉B ⇒ x∈A^c e x∈B^c ⇒ x∈A^c∩B^c.

x∈A^c∩B^c ⇒ x∈A^c e x∈B^c ⇒ x∉A e x∉B ⇒ x∉A∪B ⇒ x∈(A∪B)^c.

U A^c → B B. Il complementare si fa sempre rispetto ad U.

U A^c → A B^c∪B^c.

Dimostrazione 2) (A∩B)^c = A^c∪B^c.

Si può dimostrare usando ciò che dice la 1) che è sicuramente vera dal momento che è stata già dimostrata. In considerazione di ciò si può scrivere: (A^c∪B^c)^c = A∩B, quindi: (A∩B)^c = A^c∪B^c e si ricava che A = (A∩B)∪B^c.

Prodotto cartesiano

L’elemento (a,b) si chiama coppia ordinata.

Date due coppie ordinate (a,b) e (c,d) esse sono uguali se e solo se a=c e b=d.

(a,b) = (c,d) ⇔ a = c e b = d.

Es: (1,2) ≠ (2,1) ⇒ (a,1) = (1,1) ⇒ a = 1.

Questa proprietà non vale per gli insiemi, infatti essi {2,3} = {3,2}.

Il concetto di coppia ordinata permette di introdurre il concetto di prodotto cartesiano fra due insiemi.

Dati A, B: A×B = {(a,b) / a∈A e b∈B}.

Il prodotto cartesiano A×B è l’insieme che ha per elementi le coppie ordinate tali che il primo elemento della coppia proviene dal primo insieme e il secondo elemento dal secondo insieme.

Il prodotto cartesiano non è commutativo: A×B ≠ B×A → perché è importante l'ordine degli elementi della coppia che nei due casi è diverso.

Es: A = {1,2}; B = {3,4}.

A×B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}.

B×A = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}.

Relazioni

Una relazione di A in B è un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano A×B.

R⊂A×B = relazione di A in B.

Es: A = {1,2}; B = {3,4}; A×B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}.

R = {(1,4), (2,3)}. R = {(1,3)}. R = A×B. R = ∅.

Data una relazione si definiscono dominio e codominio.

dom R è l’insieme degli elementi di A che sono prima coordinata di almeno una coppia della relazione. dom R = {a∈A : (a,b)∈R per almeno un b∈B}.

Es: R = {(1,4), (2,3)}; dom R = {1,2}.

Cod R è l’insieme che ha come elementi gli elementi di B che sono seconda coordinata di almeno una coppia della relazione. cod R = {b∈B : (a,b)∈R per almeno una a∈A}.

Es: R = {(1,4), (2,3)}; cod R = {4,3}.

Ad ogni relazione di A in B si associa una relazione di B in A che si chiama relazione inversa e si indica con R^-1. R^-1 è sottoinsieme del prodotto cartesiano B×A.

R^-1⊂B×A, R^-1 = {(b,a) : (a,b)∈R}.

Dominio e codominio di R^-1 sono quelli di R invertiti: dom R^-1 = cod R; cod R^-1 = dom R.

N.B.: l’inversa della relazione inversa è una relazione di partenza: (R^-1)^-1 = R.

Relazioni in A

Relazioni di A in A, o anche semplicemente in A, sono sottoinsiemi del prodotto cartesiano A×A.

(a,b)∈R si scrive anche aRb.

Una relazione può essere:

• Riflessiva
• Simmetrica
• Antisimmetrica
• Transitiva

Una R in A è riflessiva quando (a,a)∈R, ∀a∈A.

Una R in A è simmetrica quando (a,b)∈R ⇒ (b,a)∈R, ∀a,b∈A.

Una R in A è antisimmetrica quando (a,b)∈R e (b,a)∈R ⇒ a=b, ∀a,b∈A.

Una R in A è transitiva quando (a,b)∈R e (b,c)∈R ⇒ (a,c)∈R, ∀a,b∈A.

Una R in A è una relazione di equivalenza se risulta contemporaneamente riflessiva, simmetrica e transitiva.

Una R in A è una relazione d'ordine se risulta contemporaneamente riflessiva, antisimmetrica e transitiva.

Sia A≠∅. Nell’insieme delle parti P(A) introduciamo la seguente relazione R.

(B,C)∈R se B⊂C. R = {(B,C), B⊂C}.

N.B. La relazione R non è una relazione in A ma è una relazione in P(A), cioè è sottoinsieme di P(A)×P(A): R⊂P(A)×P(A).

Questa è una relazione d'ordine: è riflessiva perché (B,B)∈R; è antisimmetrica perché (B,C)∈R e (C,B)∈R ⇒ B=C, questo perché B⊂C e C⊂B quindi B e C coincidono; è transitiva perché (B,C)∈R e (C,D)∈R ⇒ (B,D)∈R, questo vale perché B⊂C, C⊂D quindi B⊂D.

Esercizio 1

A = {1,2}. R di A in A: R = {(1,1), (2,2)}.

R è un sottoinsieme di A×A?

A×A = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}.

Sì. R è un sottoinsieme di A×A.

Verifica quali delle proprietà valgono:

Riflessiva: ∀a∈A ⇒ (a,a)∈R. 1∈A ⇒ (1,1)∈R. 2∈A ⇒ (2,2)∈R. La riflessiva vale.

Simmetrica: ∀(a,b)∈R ⇒ (b,a)∈R. (1,1)∈R ⇒ (1,1)∈R. (2,2)∈R ⇒ (2,2)∈R. La simmetrica vale.

Antisimmetrica: ∀(a,b)∈R, e (b,a)∈R ⇒ a=b. (1,1)∈R e (1,1)∈R ⇒ 1=1. (2,2)∈R e (2,2)∈R ⇒ 2=2. L’antisimmetrica vale.

Transitiva: ∀(a,b)∈R e (b,c)∈R ⇒ (a,c)∈R. (1,1)∈R e (1,1)∈R ⇒ (1,1)∈R. [La coppia (1,1) si può paragonare solo a se stessa in quanto la prima coordinata della seconda coppia deve essere uguale alla seconda coordinata della prima coppia.] (2,2)∈R e (2,2)∈R ⇒ (2,2)∈R. [Stesso ragionamento, come sopra.] La transitiva vale.

Conclusione: questa relazione è sia d’ordine che di equivalenza.

Esercizio 2

A = {1,2}; R = {(1,1), (2,1), (2,2)}.

• Riflessiva: Sì.
• Simmetrica: No, la coppia (1,2)∉R.
• Antisimmetrica: Sì, esiste la coppia (2,1) ma manca la coppia (1,2).
• Transitiva: Sì, la coppia (1,1) si confronta con se stessa ∈R; la coppia (2,1) si confronta con (1,1) e ne risulta (2,1) che ∈R; la coppia (2,2) si confronta con se stessa e con la coppia (2,1); in entrambi i casi ciò che risulta è [(2,2) e (2,1)] che ∈R.

Esercizio 3

A = {1,2}; R = {(1,2), (2,1), (2,2)}.

• Riflessiva: No, manca la coppia (1,1).
• Simmetrica: Sì.
• Antisimmetrica: No, esistono le coppie (2,1) e (1,2) con a≠b.
• Transitiva: No, (1,2)∈R e (2,1)∈R ma (1,1)∉R.

Insiemi numerici

L’insieme dei numeri naturali N = {1,2,3,4,…n}.

Su questo insieme sono definite due operazioni: somma e prodotto.

∀a,b,c∈N: (a+b)+c = a+(b+c) → proprietà associativa.

∀a,b∈N: a+b = b+a → proprietà commutativa.

∀a∈N: a·1 = 1·a = a → 1 è elemento neutro rispetto al prodotto.

∀a,b,c∈N: a·(b+c) = a·b+a·c → proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.

Una relazione d’ordine è totale quando vale la legge di tricotomia: ovvero presi a,b si ha che ∀a,b∈N: o a>b o a<b oppure a=b.

∀a,b,c∈N: a≤b ⇒ a+c≤b+c.

∀a,b,c∈N: a≤b ⇒ a·c≤b·c.

Principio di induzione

Nell’insieme dei naturali N vale il principio di induzione.

Sia M un sottoinsieme di N (M⊂N), il principio di induzione afferma che:

• Ipotesi 1) se 1∈M.
• Ipotesi 2) se n∈M, allora n+1∈M.
• Allora tesi: M = N.

Il principio di induzione è equivalente alla seguente affermazione: ogni sottoinsieme non vuoto A di N ha un elemento a che è minore di ogni altro suo elemento.

Esempio: si prova che la somma dei primi n numeri naturali è uguale a n(n+1)/2, cioè vale la formula: 1+2+…+n = n(n+1)/2.

Si denota con M l’insieme dei numeri naturali per cui vale tale dimostrazione.

Si dimostra per 1: 1 = 1(1+1)/2 = 2/2 = 1.

Supposto vero per n∈M lo si dimostra per n+1∈M.

1+2+…+n+(n+1) = n(n+1)/2+(n+1) = n(n+1)/2+2(n+1)/2 = (n+1)(n+2)/2.

Per il principio d’induzione si ha che M = N, pertanto la formula data vale per ogni n∈N.

L’insieme dei numeri interi relativi Z = {…-3,-2,-1,0,1,2,3…}.

Valgono le precedenti proprietà con l’aggiunta: ∀a∈Z, a+0 = 0+a = a → 0 è il neutro della somma.

La legge di tricotomia subisce delle variazioni: ∀a,b,c∈Z, a≤b ⇒ a+c≤b+c; ∀a,b,c∈Z, a≤b ⇒ a·c≤b·c con c≥0.

L’insieme dei razionali Q = {m/n, con m,n∈Z, con n≠0}.

Valgono tutte le precedenti proprietà ma non è possibile estrarre la radice di ogni numero. m/n = √2 → impossibile!!!

Operazione in un insieme

Con il simbolo * si indica una operazione generica in maniera astratta in un generico insieme A.

Una operazione si dice associativa se vale: ∀a,b,c∈A, (a*b)*c = a*(b*c).

Una operazione si dice commutativa se vale: ∀a,b∈A, a*b = b*a.

Un elemento e∈A è detto elemento neutro se: ∀a∈A, a*e = e*a = a.

L'elemento a∈A si dice invertibile se a’∈A e si verifica che: a*a’ = a’*a = e.

Gruppo

Si prenda un insieme A nel quale è definita una operazione *. (A,*) sarà gruppo se:

1. Vale l'associativa.
2. Ha elemento neutro e∈A.
3. Ogni elemento è invertibile.

Se l'operazione * è anche commutativa allora (A,*) sarà detto gruppo commutativo abeliano.

Un insieme A sul quale si definiscono due operazioni (A,+,·) si dice corpo commutativo se:

1. Rispetto alla somma è gruppo abeliano.
2. Rispetto al prodotto, tranne lo zero, è gruppo abeliano.
3. Valgono le proprietà distributive del prodotto rispetto alla somma.

(A,+) → Gruppo abeliano rispetto alla somma.

(A–{0},·) → Gruppo abeliano rispetto al prodotto.

∀a,b,c∈A: a·(b+c) = a·b+a·c → proprietà distributive del prodotto rispetto alla somma.

Un campo dove si definisce una relazione d'ordine totale e nel quale valga:

a≤b ⇒ a+c≤b+c.

a≤b ⇒ a·c≤b·c.

0≤a ⇒ 0≤a+b.

0≤a ⇒ 0≤a·b.

Si dice Campo.