Equazione differenziale ordinaria, Analisi matematica II

ODE (equazioni differenziali ordinarie)

Definizione: Un'equazione differenziale è un'equazione in cui l'incognita è una funzione y(x) e in cui compaiono x, y e la derivata di y(x).

f(x, y, y', y''...y⁽ⁿ⁾(x)) = 0

Questa equazione è detta di ordine "n" se y⁽ⁿ⁾(x) ≠ 0.

Definizione: y: I → R è una soluzione dell'equazione se y è derivabile n volte in I e ∀x₀ le x inodifatesoddifiano l'equazione.

Problema di Cauchy

y' = f(x, y)

y(x₀) = y₀

Teorema: f ∈ C⁰(I × J), I = (x₀ - η, x₀ + η), J = (y₀ - η, y₀ + η), tale che f sia limitata in Ĵ ⇒ ∃δ > 0; ∃! sol.

y' = f(x, y)

y(x₀) = y₀

definita in (x₀ - δ, x₀ + δ) tale che I × J.

ODE (equazione differenziale ordinaria)

Definizione: Un'equazione differenziale è un'equazione in cui l'incognita è una funzione y(x) e in cui compaiono x, y e la derivata di y(x).

f(x, y, y', y''..., y⁽ⁿ⁾(x)) = 0

Questa equazione è detta di ordine "n" se y⁽ⁿ⁾(x) ≠ 0.

Definizione: y: I → R è una soluzione dell'equazione se y è derivabile n volte in I e le sue derivate soddisfano l'equazione.

Problema di Cauchy

y' = f(x, y)

y(x₀) = y₀

Teorema: f ∈ C⁰(I × J).

I = (x₀ - η, x₀ + η)

J = (y₀ - η, y₀ + η)

Tale che f sia limitata in J ∃ δ > 0; ∃! sol.

y' = f(x, y)

y(x₀) = y₀

definita in (x₀ - δ, x₀ + δ).

I × J

Esempio

₁(₁) = ²/₃(₁)(0) = 0

() = , ₍₀₎ = ²/₃() = 0 e soluzione.

¹∫^2/3 = ∫ = ∫¹/_2/3 = ∫3¹ = + ; (0) = 0 ⇒ = 0 ⇒ (x) = ¹/27³

Definizione: Una O.D.E.: F (, ¹, ¹¹) = 0 di x linear; se ∀,1,1'2, ∀ a,b,c F (, ¹, ¹¹) = F (, ¹, ¹¹)¹ = (, ) di x separabili: se ∃() e ∃() ⇒ (, ) = () ₍₎

Nel nostro caso: ¹ = 9 - x ¹ = -x ⇒ () = -xh() =_ex

1. Cerco soluzioni costanti: cerco =₀ con ℨ(₀) = 0.
2. Cerco soluzioni non costanti ⇒ ℨ() ≠ 0 e l'equazione diventa:

^g()/ℨ() = ∫g()dx ; ∫_dy/^h() = ∫ /^h() ₍₎

G() = ∫() dx _a

H() = ∫_y()

3. Invertire H(y).

y^-1 = [G(x) + C] (non si può fare sempre).

ODE del I ordine lineare

y' = a(x)y+b(x), - termine noto.

1. Equazione omogenea: y' = a(x)y.
2. Equazione non omogenea: y' = a(x)y + b(x).
3. Caso particolare di Eq. a variabili separabili:

y' = 0 oppure _1/y dy = _∫ a(x) dx = A(x)

|y(x)| = Ce^A(x)

Integrale generale dell'equazione omogenea con A(x) primitiva di a(x).

4. Cercare una soluzione dell'equazione non omogenea.

Fatto così y_p(x) = C(x)e^A(x)

y_p = a(x)y_p + b(x) ⇒ Ce^A(x) + C'e^A(x)·a(x) = a(x)Ce^A(x) + b(x) ⇔ C'(x) = b(x)e^-A(x) : C(x) = ∫ b(x)e^-A(x)dx

Eq.(x) = Ce^A(x) + B(x)e^-A(x)

A(x) primitiva di a(x).

B(x) primitiva di b(x)e^-A(x).

ODE del II ordine lineari a coefficienti costanti

ay'' + by' + cy = f(x), a, b, c ∈ R, f ∈ C¹.

Integrale generale = Integrale generale dell'equazione omogenea + 1 sol. particolare dell'equazione non omogenea.

Equazione omogenea

ay'' + by' + cy = 0.

Cercare una soluzione del tipo y=e^λx, y' = Aλe^λx, y'' = Aλ²e^λx.

e^λx[aλ² + bλ + c] = 0 → x è sol di aλ² + bλ + c = 0.

→ D λ_1,2 = -b ± √b²-4ac_2a, dove λ₁ ≠ λ₂ ∈ R.

1. Se b² - 4ac > 0.

Sono soluzioni y₁(x) = C₁e^λ¹x e y₂ = C_ex e^λ²x.

y_o(x) = C₁e^λ¹x + C₂e^λ²x.

2. Se b² - 4ac = 0, λ₁ = λ₂ ∈ R.

y_o(x) = C₁e^λ¹x + C₂xe^λ¹x.

3. Se b² - 4ac.

λ₁ = α + iβ ; λ₂ = 2 - iβ.

α = -_b ; β = √ 4ac - b²_{2a 2w}.

e^λ¹x = e^(α+iβ)x = e^αx e^iβx = e^αx(cosβx + i sen βx).

e^λ²x = e^αx e^-iβx = e^αx (cos βx - i sen βx).

y_o(x) = e^αx (A cos βx - i sen βx).

Metodo di somiglianza

ay'' + b y' + c y = f(x).

f(x) = p(x)e^ax.

p(x) polinomio di grado m.

1. A è una radice del polinomio caratteristico.

y_p(x) = f(x) x^le^ax.

2. B è radice del polinomio caratteristico.

q(x) = x^mp(x)e^ax.

m = 2 se Δ ≠ 0.

m = 2 e Δ = 0.

2. y₀(x) = C₁e^λ₁x + C₂e^λ₂x + q_p.

Oscillatore libero

mx'' + kx = 0.

mλ² + k = 0.

λ² = - (1/m).

w = √(k/m).

x(t) = A cos(wt) + B sin(wt).

x'' + w²x = cos(γt).

x_p = acos(γt) + b sin(γt).

a = 1/(w² - γ²).

x(t) = Acos(wt) + Bsin(wt) + a cos(xt).

w = γ.

γ ≠ w.

x^α(t)=t(α_coscos(βt)+b_sen(βt)).

x^p=ωcos(βt)+bsen(βt)−aβsenβt+bγ;tαcosβ;t2γ;+6βγ;t+γ(t)=cos(γt)(2δγ−αγt−θωt)=cosγ;tθsym;=0 θ=1/2γ.

Oscillatore smorzato

λ_1,2=−_h/^2m.

2^o CASO: _h²<4Km.

x(t)=Ae^λ₁t+Be^λ₂t.

λ₁, λ₂<0 x(t)→0 se t→0+∞.

x(t)=A e^−bt/2mt+B e^−bt/2mt.

x(t)→0 se t→0+∞ più lentamente.

3^o CASO: h²<4Km.

ω=^{√1/4m−h2/m2}.

x(t)=e^−b/2mt(Acos(ωt)+Bsen(ωt))e^−b/2mt