Appunti modulo A metodi matematici per l'economia - parte 1

Metodi matematici per l'economia

L'insieme dei numeri reali

N = {0, 1, 2, 3, ...} → naturali o interi positivi
N* = N - {0}
Z = {...-2, -1, 0, 1, 2,...} → naturali interi o relativi
Q → numeri razionali, frazioni:

• Periodici → le cifre si ripetono dopo la virgola, es. 3.33...
• Non periodici → le cifre dopo la virgola sono finite, es. 3.5

II → numeri irrazionali, non periodici: es. e, π, √2
R → numeri reali, razionali e irrazionali

Reta dei numeri reali

    0    +"origine" |x| = { x con x ≥ 0
      - x con x

Operazioni negli insiemi

- 0 → elemento neutro di +
- a → l'opposto di a → a - (-a) = 0
- 1 → elemento neutro di x
- a^-1 = 1/a il reciproco di a

R è un campo perché in esso sono rispettate tutte le proprietà di somma (algebrica) e prodotto

Spazio vettoriale reale

Sia V un insieme di entità qualsiasi x, y, z, ..., e R il campo reale. Si dice che V è uno spazio vettoriale (o lineare) sul campo R se sono definite in V:

• Le operazioni di somma algebrica e relative proprietà
• Le operazioni di prodotto scalare e relative proprietà (lo scalare è un numero reale R, e s. numero s = scalare S)

2D → R²
x₁ asse x → ascisse
x₂ asse y → ordinate
P(x₁, x₂)

x̅ è un vettore
x̅ = [ x̲_a ]_x2

Due vettori sono uguali se le loro componenti sono uguali, es.:
x̅ = [ 2 ] ≈ y̅ = [ 2 ] sono uguali
x̅ = [ 2 ] ≈ y̅ = [ 5 ] non sono uguali
x̅ = y̅ ⇔ x₁ = y₁, x₂ = y₂

Somma tra vettori

z̅ = x̅ + y̅ = [ x_a ] + [ y₁ ] = [ x_a + y₁ ]
          x₂          y₂          x₂ + y₂

I vettori devono avere lo stesso numero di componenti, entrambi 2 o 3 componenti. Entrambi in R², entrambi in R³. Entrambi in 2D o entrambi in 3D.

Prodotto scalare

k · x̅ = k [ x̲_a ] = [ k · x_a ]
                      x₂          k · x₂

∀ k ∈ R,   ℝ ⁿ .
Vettore colonna. Componente i-esima di x.
O = 0 ⁿ = l'elemento neutro = l'elemento opposto del vettore x.

-x =             Esempio: Determinare 2 x + x.
Se non è possibile risolvere perché un vettore è in ℝ² e uno in ℝ³, si dice che non è definito.

I polinomi sono spazi vettoriali

P_n = { A(x) = a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀, a₀, a₁, ..., a_n ∈ ℝ }
Esempio: questi sono i coefficienti. Possono essere anche polinomi incompleti.

I coefficienti saranno sempre uno in più rispetto al grado del polinomio. Vettore di coefficienti.

Matrici

Si dice "matrice" di tipo (o dimensione) (m,n) o m×n una tabella ordinata di m⋅n numeri reali.
m = le righe della matrice
n = le colonne della matrice