Appunti modulo B metodi matematici per l'economia - parte 1

Revisionato il 20/07/2026

di matilde.poliani

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Appunti modulo B metodi matematici per l'economia. Argomenti:limiticontinuità e discontinuitàasintotiderivate, regole e teoremi(Rolle, Lagrange, Cauchy, de l'Hopital, Fermat)punti …

Esame Metodi matematici per l'economia

Facoltà Interfacoltà

Dal corso del Prof. Bolamperti Gabriele

Università Università Cattolica del "Sacro Cuore"

A.A. 2020-2021

32 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Modulo B - I^a parte

Limiti

Consideriamo la funzione y = 1/(x-1). Esaminiamo il comportamento quando x tende a valori specifici:

x - 1 + ∞
y ∞ ∞ 0
N ↔ D ↔ N ↑ ↓ D ↓ ↑ ∞D ↔ con D ↓ ↑ ∞D (-∞, 1) ∪ (1, +∞)

Calcoliamo alcuni limiti fondamentali:

lim_x→+∞ 1/x = 0
lim_x→-∞ 1/x = 0
lim_x→+∞ 1/(x-4) = 0
lim_x→1⁻ 1/(x-1) = 1/0⁻ = -∞
lim_x→1⁺ 1/(x-1) = 1/0⁺ = +∞

Definizione di limite

Sia f: A ⊆ R → R e x₀ un punto di accumulazione di A. Si dice che la funzione ha per limite l per x → x₀ se, dato comunque un intorno U (l, ϵ), esiste sempre un intorno U (x₀, δ) tale che ∀x ≠ x₀, x ∈ A ∩ U, si ha f(x) ∈ U (l, ϵ).

lim_{x → x₀} f(x) = l con x₀ che può essere un numero finito o anche ±∞. l può essere un numero finito o anche +∞ oppure -∞. Non necessariamente la funzione è definita in x₀. δ è in generale dipendente da ϵ, ossia δ = δ(ϵ).

Esempi di limiti

Sia f: [a, b] → R. Allora

lim_{x → x₀} f(x) = l se ∀ϵ > 0 esiste un intorno completo U (x₀, δ 1) tale che ∀x ≠ x₀, x ∈ [a, b] ∩ U (x₀, δ), si ha f(x) ∈ U (l, ϵ). Ovvero |f(x) - l | 0 esiste un intorno completo U(x₀, δ) tale che ∀x ≠ x₀, x ∈ [a,b] ∩ U(x₀, δ), si ha f(x) ∈ U(l,ε). Ovvero |f(x) - l| con l - ε

Sia f : [a, b] → R. Allora

lim_x→x₀ f(x) = ±∞ se per ogni M > 0 grande a piacere esiste un δ > 0 tale che ∀x ≠ x₀ e |x − x₀| ≤ δ vale f(x) > M

Sia f : [a, +∞) → R. Allora

lim_x→+∞ f(x) = l se ∀ε > 0 esiste un numero K tale che per ogni x > K si ha |f(x) − l| ≤ ε

Sia f : [a, +∞) → R. Allora

lim_x→+∞ f(x) = ±∞ se per ogni numero M > 0 grande a piacere esiste un numero K tale che, per ogni x > K, si ha f(x) > M

Limite destro e limite sinistro

Si dice che l è il limite destro (o sinistro) della funzione f(x), per x → x₀ e si scrive:

lim_x→x₀⁺ f(x) = l
lim_x→x₀^- f(x) = l

Se in corrispondenza di ε > 0, scarto arbitrariamente, si può sempre determinare un intorno destro (o sinistro) U di x₀ per il quale ∀x ε U ∩ [a, b] vale |f(x) − l| < ε

Funzioni

Funzione convergente: il limite esiste ed è finito
Funzione divergente: il limite esiste ed è ±∞

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