Appunti modulo B metodi matematici per l'economia - parte 2

Modulo 8 - II parte: funzioni in due variabili

Rivedi la teoria nel Modulo A-I^a parte.

Continuità

Una funzione f: A ⊆ R² → R viene detta continua in (x₀, y₀) ∈ A se lim (x,y) → (x₀, y₀) f(x,y) = f(x₀, y₀), ossia per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che f(x,y) ∈ I (f(x₀, y₀), δ) per ogni (x,y) ∈ A ∩ I ((x₀, y₀), ε).

Noi studiamo solo funzioni continue, non dobbiamo verificare la continuità, lo sono a prescindere.

Teorema di Weierstrass

Sia f: A ⊆ R² → R una funzione continua in A. Allora f ammette massimo e minimo in ogni sottoinsieme compatto di A. Un insieme compatto è un insieme chiuso e limitato.

es. f(x,y) = x-2y

S = {(x,y): x ≥ 0, y ≥ 0, x+y ≤ 3, 3y-3x ≥ 1}

Determinare max e min di f nell'insieme S.

1. Disegno S e capisco se è compatto.

x = 0 → asse y

y = 0 → asse x

x+y=3 → a

3y-3x=1 → b

=> S è compatto

=> la funzione ammette max e min perché vale Weierstrass

Modulo 8 - II parte: funzioni in due variabili

Rivedi la teoria nel Modulo A-I^a parte.

Continuità

Una funzione f: A ⊆ R² -> R viene detta continua in (x_o, y_o) ∈ A se lim (x,y)=(x_o, y_o) f(x,y) = f(x_o, y_o), ossia per ogni ε>0 esista δ>0 tale che f(x,y) ∈ I(f(x_o, y_o), δ) per ogni (x,y) ∈ A ∩ I((x_o, y_o), ε).

Noi studiamo solo funzioni continue, non dobbiamo verificare la continuità, lo sono a prescindere.

Teorema di Weierstrass

Sia f: A ⊆ R² -> R una funzione continua in A. Allora f ammette massimo e minimo in ogni sottoinsieme compatto di A. Un insieme compatto è un insieme chiuso e limitato.

es. f(x,y) = x-2y

S = { (x,y): x ≥ 0, y ≥ 0, x+y ≤ 3, 3y-3x ≥ 1 }

Determiniamo max e min di f nell'insieme S.

1. Disegno S e capisco se è compatto.

x = 0 asse x

y = 0 asse y

x+y = 3 x+y=3 retta

3y-3x = 1 x-y=1/3 altra

S = capisco che è compatto

la funzione ammette max e min perché vale Weierstrass

Curve di livello

2) Rappresento le curve di livello

f(x,y) = x - 2y

l_f(k) = {x,y : x - 2y = k}

x - 2y = k → y = x/2 - k/2

se k = 0 → y = x/2

se k = 1 → y = x/2 - 1/2

se k = 2 → y = x/2 - 1

Pongo f(x,y) = parametro k

rette parallele a y = x/2

k assume dei valori a caso che mi permettono di disegnare le curve di livello

(3) Guarda la curva di livello che è tangente al cerchio in un solo punto.

Punti di tangenza: (0,3) (0,3)

Ora bisogna capire qual è max e quale min

Devo guardare le direzioni delle curve di livello all'aumentare del parametro k: guarda →

In questo caso il max è il punto più in basso sul foglio perché β è più in alto nella direzione della freccia

Il min è il punto più in alto sul foglio perché è il più in basso nella direzione della freccia

(4) Sostituisco le coordinate dei punti di tangenza nelle funzioni per trovare la cond. di liv.

min: (0,3) → f(0,3) = x - 2y = k

0 - 2·3 = -6 = k

max: (0,3) → f(0,3) = x - 2y = k

0 - 2·3 = -6 = k

Esempio con circonferenza

es: f(x,y) = 4x - y

S = {(x,y) : x² + y² ≤ 9}

circonferenza C(0,0) R = 3

l_f(k) = {x,y : 4x - y = k}

4x - y = k → y = 4x - k

se k = 0, y = 4x

se k = 1, y = 4x - 1

se k = -1, y = 4x + 1

tangenza: (0,3) e (0,-3)

max: y = 4x - 3√17

min: y = 4x + 3√17

(x² + y² = 9, x = k/2)

y = 4x - k 12x = 9 → x = k/2 + 4x - k = 9

x·4x = (4x - k)² = 9 x·4x = (4x - k)² = 9

x² + 4x·6k² - 8x = 9

Δ = 0: b² - 4ac = 0 64k² - 68(k² - 9) = 0

64k² - 68k² + 68 · 9 = 0

4tk² / 68 = 9

k² = 17 · 9 k = ±√3√17

S è compatto

Derivate nelle funzioni in due variabili

Derivate parziali prime

Sia f(x,y) definita in un intorno del punto (x₀, y₀). Si dice che f(x,y) ha derivata parziale rispetto a x nel punto (x₀, y₀) se la funzione, della sola variabile x, f(x₀,y) è derivabile in x₀ e si indica con uno di questi simboli:

f_x(x₀, y₀)

∂f / ∂x (x₀, y₀)

D_xf(x₀, y₀)

Si dice che f(x,y) ha derivata parziale rispetto a y nel punto (x₀, y₀) se la funzione,