Appunti modulo A metodi matematici per l'economia - parte 2

Modulo A - I^a parte

Gli spazi reali ℝ e ℝ²

ℝ = insieme numeri reali

Intervalli limitati

Dato due numeri a e b con a < b, si distinguono 4 intervalli limitati:

• Aperto a < x < b → (a, b)
• Chiuso a ≤ x ≤ b → [a, b]
• Aperto a destra a ≤ x < b → [a, b)
• Aperto a sinistra a < x ≤ b → (a, b]

• A e b sono estremi dell'intervallo
• |b-a| è la lunghezza dell'intervallo

es.

• 2 < x < 3 → intervallo aperto → (2, 3)
• 2 ≤ x ≤ 3 → intervallo chiuso → [2, 3]
• 2 ≤ x < 3 → intervallo aperto a destra → [2, 3)
• 2 < x ≤ 3 → intervallo aperto a sinistra → (2, 3]

Intervallo topologico

Porzione della retta reale: le parentesi sono intervalli topologici.

Intervalli illimitati

Se M è un numero reale qualsiasi, gli insiemi sotto si chiamano:

Intervalli illimitati:

• {x | x ∈ ℝ, x > M} → [M, +∞)
• {x | x ∈ ℝ, x ≤ M} → (-∞, M]
• {x | x ∈ ℝ, x < -M} → (-∞, -M)

Modulo A - II^a parte

Gli spazi reali ℝ e ℝ²

ℝ = insieme numeri reali

Intervalli limitati

Dato due numeri a e b con a < b, si distinguono 4 intervalli limitati:

• Aperto: a < x < b → (a, b)
• Chiuso: a ≤ x ≤ b → [a, b]
• Aperto a destra: a ≤ x < b → [a, b)
• Aperto a sinistra: a < x ≤ b → (a, b]

• A e b sono estremi dell’intervallo
• |b-a| è la lunghezza dell’intervallo

es.

• 2 < x < 3 → intervallo aperto → (2, 3)
• 2 ≤ x ≤ 3 → intervallo chiuso → [2, 3]
• 2 ≤ x < 3 → intervallo aperto a destra → [2, 3)
• 2 < x ≤ 3 → intervallo aperto a sinistra → (2, 3]

Intervallo topologico

Intervallo topologico = porzione della retta reale. Le parentesi sono intervalli topologici.

Intervalli illimitati

Se M è un numero reale qualsiasi, gli insiemi sotto si chiamano

Intervalli illimitati:

• ℝ, x > M → [M, +∞)
• ℝ, x ≤ M → (-∞, M]
• ℝ, x ≥ -M → (-∞, M]
• ℝ, x ≤ -M → (-∞, M)

Intorno

Un intorno di un numero reale (o di un punto) c è un qualsiasi intervallo aperto che contenga c.

In particolare, gli intervalli aperti di centro C sono intorni di C e si chiamano intorni circolari di C.

es

X = [2; 5] --- 2 < x < 5

Maggiorante: ogni y | ∀x∈X con y ≥ x

4, 5, 6, 7...

Minoreante: ogni y | ∀x∈X con y ≤ x

6, 3, 2, 1, 0, -1...

es (-∞, 10) --- -∞ ---- 10

Maggiorante: 10, 11, 12...

Minoreante: non è ammesso perché non c’è niente più piccolo di -∞

es. (-∞ + ∞) ---- -∞ ---- +∞ = ℝ

Maggiorante e minorante non ammessi

Estremi superiore e inferiore

Estremo superiore = è il più piccolo dei maggioranti

Estremo inferiore = è il più grande dei minoranti

es (-2, 6) --- [5, 7]

Estremo superiore = 6 | 7

Estremo inferiore = -2 | 5

es (-∞, 10) --- -∞ ---- 10

Estremo superiore = 10

Estremo inferiore: non esiste in questo caso ⇒ per definizione est. inf. = -∞

Massimo & minimo

Massimo = estremo superiore che appartiene all'insieme

Minimo = estremo inferiore che appartiene all'intervallo

es. X = (2,7]

Maggiore: 7, 8, 10, ... Estremo superiore = 7

Massimo = 7

Minore: 2, 1, 0, -1, ... Estremo inferiore = 2

Minimo = Non c'è perché 2 ∉ X

es. X = (-2,6)

Maggiore: 6, 7, 8, ... Estremo superiore = 6

Massimo = Non c'è

Minore: -2, -3, ... Estremo inferiore = -2

Minimo = -2

es. X = [7,9]

Maggiore: 9, 10, 11, ... Estremo superiore = 9

Massimo = 9

Minore: 7, 6, 5, ... Estremo inferiore = 7

Minimo = 7

es. X = (7,9)

Maggiore: 9, 10, ... Estremo superiore = 9

Massimo = Non c'è

Minore: 7, 6, 5, ... Estremo inferiore = 7

Minimo = Non c'è

es. X = (-∞,2]

Maggiore: 2, 3, 4, ... Estremo superiore = 2

Massimo = 2

Minore: Estremo inferiore = -∞

Minimo = Non c'è

Domande

10 Dato l'insieme A = {x ∈ R : 6 ≤ x < 8 ∨ 11 ≤ x < 13} cosa è vero?

• A. Non ammette né minimo né massimo
• B. Ammette massimo ma non minimo
• C. È limitato inferiormente ma non superiormente
• D. Ammette minimo ma non massimo

15 Dato l'insieme A = {9x ∈ R : 3 ≤ x < 10 ∨