Metodi matematici
Richiamo sui numeri complessi
Cz ∈ Cz = x + iy, x, y ∈ R
Forma algebrica
z = ρ (cosΘ + i sinΘ)
Forma trigonometrica, con ρ > 0, Θ ∈ R
Modulo di z
z = x + iy
|z| = √(x2 + y2)
Se z = ρ (cosΘ + i sinΘ)
|z| = √(ρ2 cos2Θ + ρ2 sin2Θ) = = √(ρ2 (cos2Θ + sin2Θ)) = √ρ2 = ρ
Coniugato
Dato z = x + iy
z̅ = x - iy
Parte reale e immaginaria
z = x + iy def. Re z = x
Im z = y
Re z̅ = Re z
Im z̅ = - Im z
Somma e prodotto
z1 = x1 + iy1
z2 = x2 + iy2
{z1 + z2 = x1 + x2 + i (y1 + y2)
z1 · z2 = (x1 + iy1) (x2 + iy2)
= x1 x2 - y1 y2 + i (x2 y1 + x1 y2)
i2 = i · i = -1
z1 = ρ1 (cosΘ1 + i sinΘ1)
z2 = ρ2 (cosΘ2 + i sinΘ2)
z1 · z2 = ρ1 ρ2 [cos (Θ1 + Θ2) + i sin (Θ1 + Θ2)]
Rappresentazione grafica
z = x + iy
z = ρ (cosΘ - i sinΘ)
Metodi matematici
Richiamo sui numeri complessi
ℂ z ∈ ℂ 〈z = x + iy, x, y ∈ ℝ〉
Forma algebrica
z = ρ (cosΘ + i sinΘ) forma trigonometrica, con ρ > 0, Θ ∈ ℝ
Modulo di z
z = x + iy, |z| = √(x2 + y2)
Se z = ρ (cosΘ + i sinΘ) |z| = √(ρ2 cos2Θ + ρ2 sin2Θ) =√(ρ2 (cos2Θ + sin2Θ) = √ρ2 = ρ
Coniugato
Dato z = x + iy 〈z = x - iy
Parte reale e immaginaria
z = x + iy def. Re z = x
Im z = y
Re 〈z = Re z
Im 〈z = - Im z
Somma e prodotto
z1 = x1 + iy1
z2 = x2 + iy2
{ z1 + z2 = x1 + x2 + i (y1 + y2) }
z1 · z2 = (x1 + iy1) (x2 + iy2) = x1x2 - y1y2 + i (x2y1 + x1y2)
i2 = i·i = -1
{ z1 = ρ1 (cosΘ1 + i sinΘ1)
z2 = ρ2 (cosΘ2 + i sinΘ2)
z1 · z2 = ρ1ρ2 (cos(Θ1 + Θ2) + i sin(Θ1 + Θ2))
Rappresentazione grafica
z = x + iy
z = ρ (cosΘ - i sinΘ)
Potenze
z ∈ ℂ n ∈ ℕ
zn = z · z · ... · z n volte
z0 = 1
z = ρ (cos() + i sin())
zn = ρn (cos(n) + i sin(n)) Moivre
z2 = (x + iy)2 = x2 - y2 + 2ixy
(x + iy)n = k = 0 nΣ (ⁿʹₖ) xn-k (iy)n⁻k
Reciproco di un numero complesso
z = x + iy, ̅ = x - iy
z · ̅ = x2 + y2 ∈ ℝ
z · ̅ = |z|2
|z| = √(z · ̅)
1/z = ̅/z · ̅ = ̅/|z|2 con z ≠ 0 z ∈ ℂ
Divisione
z/w = z/w · ̅/̅ = z ̅/w ̅ = z ̅/|w|2
Radici n-esime
Problema: dato w ∈ ℂ, dato n ∈ ℕ, n > 1, determinare tutti quei z ∈ ℂ tale che zn = w.
Se w = 0 soluz. z = 0
Se w ≠ 0 n soluzioni distinti
w = ρ̂ (cos ̂ + i sin ̂) dati
z = ρ (cos + i sin ) incognite
zn = w
ρn (cos(n) + i sin(n)) = ρ̂ (cos ̂ + i sin ̂)
ρ = ᶰ√ρ̂
n = ̂ + 2k con k ∈ ℤ
= ̂ + 2k/n
k = 0, 1, 2, ..., n - 1
Funzioni di variabile complessa
Ω ⊂ ℂ f: Ω → ℂ
Es. Ω = ℂ
f(z) = z f(z) dato a ∈ ℂ f(z) = a
n ∈ ℕ f(z) = zn
Polinomi f(z) =n∑k=0 ak zk, ak ∈ ℂ, k=0,..,n
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