Appunti fisica - parte 1

Derivata e significato geometrico

v = _dx/_dt = _d/_dt x → derivata I della legge oraria (x(t))

a= _dv/_dt = _d/_{dt dx}/_dt = _d²x/_dt² → derivata II della legge oraria (x(t))

Significato geometrico di derivata

Dato Y=f(X), consideriamo gli incrementi _ΔX = X₁ - X₀ e _ΔY = Y₁ - Y₀

Consideriamo la seguente quantità _Δy/_Δx = y₁ - y₀ / x₁ - x₀ = [f(x+_Δx) - f(x)] / Δx rapporto incrementale

Uniamo AB e notiamo che è uguale a tanα con α compreso tra AB e x, quindi [f(x+_Δx) - f(x)] / Δx = ^senα/_cosα = tanα

La derivata è la retta tangente alla curva nel punto in cui d_X(A) e l'angolo α è compreso tra la tangente in x=?

La derivata I esiste se e solo se Ax che Ay vanno a 0 in quanto se Ay/X è rispetto incrementale andrebbe a infatti la funzione per essere differenziabile deve essere continua (Vedi disegno in inserto)

Significato fisico di derivata

Le variabili x diventa t tempo e lo y la posizione del punto cui y=f(x)

_dx/_dt = v Velocità: derivata I della legge oraria: ^lim/_{Δt→0 Δx}/Δt = _dx/_dt = x(t)

Accelerazione: derivata II della legge oraria: ^lim/_{Δt→0 Δv}/_Δt = _dv/_dt = _d²x/_dt²

Derivata e significato geometrico - Parte II

xv = _dx/_dt = _dx/_dt ⇒ derivata I della legge oraria (x(t))

a = _dtv/_dt = _dv/_dt = ^d/_dt²x/_dt² ⇒ derivata II della legge oraria (x(t))

Significato geometrico di derivata - Parte II

Dato y=f(x), consideriamo gli incrementi Δx = x₂-x₁ Δy = y₂-y₁

Consideriamo la seguente quantità Δy/Δx = y₂-y₁/x₂-x₁ = ^{f(x+Δx)-f(x)} /_Δx rapporto incrementali

Uniamo AB e notiamo che il rapporto è uguale a tangente sen compreso tra AB e x, quindi ^{f(x+Δx)-f(x)} /_Δx = senza = _tana

La derivata è la retta tangente alla curva nel punto in cui l'ascissa x(A). Il cui angolo α è compreso tra la tangente a α = ?

• La derivata I esiste ⇔ sia Δx che Δy vanno a 0 in quanto che Δy/Δx è rapporto incrementale indirizzabile a 0 ⇒ infatti la funzione per essere differenziabile deve essere continua
• Significato fisico di derivata: le variabili x diventa = tempo t e y è la posizione del punto c variabile _dx/_dt, _dv/_dt = v

Velocità e accelerazione

Velocità: derivata della legge oraria ^lim _Δx→0 (x(t)) = _dx/_dt

Accelerazione: derivata II della legge oraria: ^lim _Δx→0 Δv/Δt = _dv/_dt = ^dx/_dt² x'(t)

Vettori e sistema di riferimento

Velocità in funzione della posizione senza il tempo

a = _dv/_dt ⇒ a dx = v d v ⇐ a = dx/dt ⇒ a dt = dx ma dt = dx/v

Quindi a [dx/v] = dv ⇒ a dv = v dx

Integrale

∫_xo^x1 a(x) dx = ∫_vo^v2 v d v ➝ ½ v₂² ½ v_o² ➝ v₂² = v_o² + 2a(x-x_o)

Mi dà informazioni sulla velocità punto per punto

Velocità e accelerazione: punti materiali

Sono un’astrazione matematica con cui un corpo viene semplificato. Sono privi di massa dimensionale e il loro moto si sviluppa lungo 1 grado di libertà.

Sistema di riferimento x, y, z

È una terna ortonormale (senza rotazione). Prosegue traiettoria rettilinea in cui il prodotto vettoriale di 2 vettori adiacenti è normale alla direzione del 3° vettore.

Vettore

È l'ente descritto da:

• Direzione (luogo verso sud)
• Verso (vedo verso nord o verso sud)
• Modulo (lunghezza)
• Punto di applicazione (luogo mi trovo)

Il vettore posizione r è il prodotto scalare di 3 vettori:

r = xi + yj + zk con i, j, k versori su x, y, z scalari numeri

i, j, k versoriz = |r| = √(x² + y² + z²)

r si basa o parte dalla sua proiezione lungo gli assi

r(t) può variare nel tempo e con esso anche le sue proiezioni su x/y/z e quindi è giusto scrivere:

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

Vettori cambiando e secondo del sistema