Appunti Fisica 1 - parte 1

Moto di rotolamento

Equazioni della posizione

\[\vec{r}_c = x_c(t) \hat{u}_x + R \hat{u}_y \]

\[ x_c(t) = V_c \cdot t \]

\[\vec{r}_a = \vec{r}_c + (A-C) \]

\[\vec{r}_A(t) = V_c \cdot t \hat{u}_x + R \hat{u}_y - R \sin \theta \ \hat{u}_x - R \cos \theta \ \hat{u}_y \]

\[ V_c \cdot t = R \cdot \Theta(t)\]

Lunghezza arco blu, spazio percorso dalla ruota.

\[\vec{r}_A(t) = \left[ V_c \cdot t - R \sin \left( \frac{V_c}{R} \cdot t \right) \right] \hat{u}_x + \left[ R - R \cos \left( \frac{V_c}{R} \cdot t \right) \right] \hat{u}_y \]

Velocità del punto A

\[\vec{V}_A(t) = \left[ V_c - R \frac{V_c}{R} \cos \left( \frac{V_c}{R} \cdot t \right) \right] \hat{u}_x + \left[R \frac{V_c}{R} \sin \left( \frac{V_c}{R} \cdot t \right) \right] \hat{u}_y = \]

\[ = V_c \left( 1 - \cos \left( \frac{V_c}{R} t \right) \right) \hat{u}_x + V_c \sin \left( \frac{V_c}{R} t \right) \hat{u}_y \]

\(\vec{r}_c = x_c(t) \hat{u}_x + R \hat{u}_y\)

\(x_c(t) = V_c \cdot t\)

\(\vec{r}_a = \vec{r}_c + (A - C)\)

\(r_A(t) = V_c \cdot t \hat{u}_x + R \hat{u}_y - R \sin \theta \hat{u}_x - R \cos \theta \hat{u}_y\)

\(V_c \cdot t = R \cdot \Theta(t)\)

Lunghezza arco blu, spazio percorso dalla ruota.

\(\vec{r}_A(t) = \left[ V_c \cdot t - R \sin \left(\frac{V_c}{R} \cdot t\right) \right] \hat{u}_x + \left[ R - R \cos \left(\frac{V_c}{R} t \right) \right] \hat{u}_y\)

\(\vec{V}_A(t) = \left[V_c - R \frac{V_c}{R} \cos \left(\frac{V_c}{R} t \right) \right] \hat{u}_x + \left[ R \frac{V_c}{R} \sin \left(\frac{V_c}{R} t \right) \right] \hat{u}_y =\)

= \(V_c \left(1 - \cos \left(\frac{V_c}{R} t \right) \right) \hat{u}_x + V_c \sin \left(\frac{V_c}{R} t \right)\)

\(2\pi R\)

Casi particolari del moto

t = 0

Vc/R t = 2π·n dopo un numero intero di giri ⇒ V_A(t=0) = Vc · 0 û_x + Vc · 0 û_y = 0

Ho scoperto che si tratta di un moto di rotolamento in cui il punto di contatto ha velocità nulla.

Vc/R · t = π

t = Rπ/Vc ⇒ V_A(t=Rπ/Vc) = Vc · (1-(-1)) û_x + Vc · 0 û_y = 2 Vc û_x

se Vc/R · t = π/2

t = π/2 R/Vc

V_A(t=π/2 R/Vc) = Vc · (1 - 0) û_x + Vc · 1 û_y = Vc û_x + Vc û_y

Accelerazione

a_A(t) = Vc · Vc/R sen (Vc/R t) û_x + Vc · Vc/R cos (Vc/R t) û_y

⟨V_A (Θ≪1) = V_c (1 - cos Θ) ū_x + V_c sen Θ ū_y

Per Θ≪1 cos Θ ∼ 1 - Θ²/2 sen Θ ∼ Θ

⟨V_A (Θ≪1) = V_c (1 - (1 - Θ²/2)) ū_x + V_c Θ ū_y = V_c Θ²/2 ū_x+ V_cΘ ū_y => ⟨V_A (Θ≪1) = V_c Θ ū_y

Coppia di forze

M_o = (P₁ - O) × F + (P₂ - O) × F

|M_o| = |F| · (b + a) - |F| · b = |F| · a

M_o = |F| · a û

Il risultato non dipende da b. In una coppia di forze il momento risultante non dipende dalla scelta del C.R.

Infatti indicheremo con coppia di forze il momento complessivo senza indicare il centro di riduzione.

Questo risultato è un caso particolare di un caso più generale che vediamo adesso. È uguale a ? = ∑ ( - ) x = ∑ ( - ) x ( - ) = ( - ) + ( - ) = ∑ [( - ) + ( - )] x = ∑ ( - ) x + ∑ ( - ) x ( - ) x ∑ = 0

Nel caso della coppia ∑ = 0

In generale il momento risultante di un sistema di forze non dipende dalla scelta del C.R. quando la risultante delle forze è nulla.

Reazioni vincolari

Quando studiamo un problema di cinematica in cui la traiettoria del punto materiale non è nota allora occorre usare le coordinate cartesiane e i versori _x, _y, _z.

Quando invece studiamo un problema in cui la traiettoria è nota allora occorre usare le coordinate intrinseche s e i versori ṡ e ṉ.

Data una traiettoria nota per un punto materiale e supponiamo che la reazione vincolare della guida su cui il punto materiale si muove sia sempre perpendicolare alla guida stessa → guida ideale.

Ipotizziamo che la guida giaccia su un piano orizzontale

_N = N·ⁿ

Trattandosi di una guida di tipo otto volante N può assumere qualunque valore

_a = ṡ(t) · ṡ̂ + ṡ̇(t) / R · n̂

_F = m · _a

N · n = m · (s(t) χ + s²(t) / R) n)

N = m ṡ²(t) / R

s̈(t) = 0 → ṡ(t) = costante

Filo ideale

Un filo