Analisi matematica II - Integrali impropri

Analisi matematica II

Lezione 22 febbraio 2021

Integrali impropri

∫_a^b f(x) dx, f ∈ ℰ°([a, b]). In analisi matematica I sono stati considerati funzioni con discontinuità di 1^a specie. f è continua in ogni intervallo [a, a₁], [a_i, a_i+1], ..., [a_m, b]. Esistono dunque lim_x→ai⁻ f(x); lim_x→ai⁺ f(x) finiti e ciò significa che f è integrabile in [a, b]:

∫_a^b f(x) dx = ∫_a^a₁ f(x) dx + ∫_{a1a2 f(x) dx + ... + ∫am^b f(x) dx}

Questo per quanto riguarda integrali di funzioni limitate. Consideriamo ora integrali di funzioni non limitate. Sia f: [a, b) → ℝ, f ∈ ℰ°([a, b]). lim_x→b⁻ f(x) = +∞ (oppure -∞). Come definire ∫_a^b f(x) dx (è possibile)?

Analisi matematica II

Lezione 22 febbraio 2021

Integrali impropri

∫_a^b f(x) dx, f ∈ ℰ⁰([a, b]). In analisi matematica I sono state considerate funzioni con discontinuità di 1^a specie. f è continua in ogni intervallo [a, a₁], [a_i, a_i+1], ..., [a_m, b]. Esistono dunque lim_x→ai⁻ f(x); lim_x→ai⁺ f(x) finiti e ciò significa che f è integrabile in [a, b]:

∫_a^b f(x) dx = ∫_a^a₁ f(x) dx + ∫_{a1a2 f(x) dx + ... + ∫am^b f(x) dx}

Questo per quanto riguarda integrali di funzioni limitate. Consideriamo ora integrali di funzioni non limitate. Sia f: [a, b) → ℝ, f ∈ ℰ⁰([a, b]). lim_x→b⁻ f(x) = +∞ (oppure -∞). Come definire ∫_a^b f(x) dx (è possibile)?

Idea

Poiché f ∈ ℰ°([a, b-ε]) con ε > 0 ⇒ è ben definito ∫_a^b-ε f(x) dx. (★) Calcolo lim_ε→0+ ∫_a^b-ε f(x) dx e se tali limiti esistono finiti si dice che f è integrabile in senso improprio in [a, b] e si pone: ∫_a^b f(x) dx = valore del limite sopra (★).

Se il limite (★) esiste ma vale +∞ oppure -∞, si dice che ∫_a^b f(x) dx è divergente. Se il limite (★) non esiste, si dice ∫_a^b f(x) dx non esiste.

Esempio

∫₀¹ 1/(1-x)^1/2 dx. f(x) = 1/(1-x)^1/2 = 1/√(1-x), f ∈ ℰ°([0, 1)) ⇒ f è illimitata in un intorno di x = 1^o [0, 1-ε]. ∫₀^1-ε 1/(1-x)^1/2 dx = [-2(1-x)^1/2]^1-ε₀ = (-2(1-1+ε)^1/2 + 2 = -2 ε^1/2 + 2).

lim_ε→0+ -2ε^1/2 + 2 = 2 ⇒ Esiste ∫₀¹ 1/(1-x)^1/2 dx. x = s è punto di improprietà.

Analogo

Consideriamo f ∈ ℰ⁰((a, b])). f ∈ ℰ([a+ε, b]), ∫_a+ε^b f(x) dx. lim_ε→0⁺ ∫_a+ε^b f(x) dx esiste finito (1), esiste uguale a +∞ oppure -∞ (2), non esiste (3).

• Nel caso (1) esiste l'integrale ∫_a^b f(x) dx in senso improprio ed è uguale al limite in (1).
• Nel caso (2) l'integrale ∫_a^b f(x) dx è divergente.
• Nel caso (3) l'integrale ... non esiste.

Esempio

Stabilire per quali valori di α ∈ ℝ esiste l'integrale improprio (o generalizzato) ∫₀¹ 1/x^α dx. f(x) = 1/x^α se α ≤ 0, 1/x^α se α > 0, -0-α + 1 log x se α > 0, α ≠ 1.

lim ε → 0⁺ x^{-α + 1}, lim ε → 0⁺ 1/1 - α 1 - α > 0, 1-1/1 - α lim ε → 0⁺ ε^1-α 1/1 - α 1 - α < 0 > α < 1 lim ε^1-α ε → 0⁺ 1/1 - α α > 1 lim - log ε = + ∞ ε → 0⁺ per → 0 < α < 1 per α ≥ 1 f(x) = 1/x^α.

Esempio

∫_-1¹ 1/x² dx. f è discontinua in x = 0. ∫_-1⁰ 1/x² dx + ∫₀¹ 1/x² dx. Entrambi gli integrali sono divergenti ⇒ ∫_-1¹ 1/x² dx è divergente.

Sbagliato: ∫_-1¹ 1/x² dx = [-1/x]_-1¹ = -1 - (1) = -2. f(x) = 1/x² ∉ ℰ°([-1, 1]) ⇒ non è continua in [-1, 1].

Osservazione

∫_a^b f(x) dx se f non è limitata in x = c, con c ∈ ]a, b[ devo considerare: ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx. f è integrabile in senso improprio su [a, b] ⇔ entrambi gli integrali sono impropriamente integrabili.

Consideriamo due funzioni f, g ∈ ℰ°([a, b]) e tali che lim_x→b^- f(x) = +∞ ∧ lim_x→b^- g(x) = +∞... ⇒ f e g illimitati in b.

Criterio del confronto

Se 0 ≤ f(x) ≤ g(x) per x ∈ [a, b]. Se g è integrabile in senso improprio su [a,b] anche f lo è. (1) Se f non è integrabile in senso improprio su [a,b] nemmeno g lo è. (2)

La monotonia dell'integrale ci assicura che vale: 0 ≤ ∫_a^b−ε f(x) dx ≤ ∫_a^b−ε g(x) dx. f,g ∈ C⁰([a,b−ε]) → f + g continue in [a,b−ε].

Se vale (1) allora vale che ε ∈ lim _ε→0⁺ ∫_a^b−ε g(x) dx è unico, finito = ⇒ ∫_a^b−ε f(x) dx è finito!

Se vale (2) allora vale che se ∫_a^b−ε f(x) dx è divergente = ⇒ ∫_a^b−ε g(x) dx è divergente.

Interpretazione geometrica

Se f(x) ≥ 0 ∫_a^b−ε f(x) dx rappresenta un'area.

Criterio del confronto asintotico

Siano f, g due funzioni positive e sia f ~ g per x → b^- allora f è integrabile in senso improprio se e solo se anche g è integrabile in senso improprio in [a,b].

Osservazione

I criteri valgono anche in condizioni x → a, x → a⁺. Il segno delle funzioni deve essere costante nell'intorno considerato ⇒ entrambe positive o entrambe negative.

Esempio

∫₀¹ 1/(e^√x - 1) dx esiste in senso improprio?

In x = 0 la funzione non è limitata. e^√x - 1 ≃ 1/√x - 1 = √x in un intorno di x = 0 con sviluppo di Maclaurin di e^√x. f(x) = 1/(e^√x - 1) ≃ 1/√x = 1/x^1/2 = g(x). Poiché g è integrabile in senso improprio in [0,1] anche f lo è.

Esempio

∫₀^π/4 sin(x + π/4)/^3√x dx. f(x) ∈ ℰ⁰((0, π/4]).

0 ≤ sin(x + π/4) ≤ 1 in [0, π/4]. f(x) = ^{sin(x + π/_u)}/_√x ≤ ¹/_x^1/3 = g(x). Perciò g è integrabile in senso improprio su [0, π/₂] e lo è anche f.

Osservazione

Attenzione! Se soddisfiamo f(x) ≤ g(x) diremo funzione "vicino a b" ovvero in un intervallo del tipo [c, b] che potrebbe non essere tutto l'unione.

Osservazione: Quanto detto per l’estremo “b” vale anche per l’estremo “a”.

Esercizio

Stabilire se ∫₀¹ sin²x/√x dx esiste in senso improprio.

Solera con se verificano: ∫₀^{1 1}/_√¹/1-x² dx e ∫₁^{u 1}/_x²-6x+5 dx.

Nomenclatura

Al posto di “integrale tra a e b di f(x) dx esiti in senso tecnico”, si dice: “integrale ∫_a^b f(x) dx è convergente”.

Se l’esempio può essere nullo (l’interpolazione/async) come: “stabilire se ∫₀¹ sin² x/√x dx è convergente”.

Esempio

Calcolando gli estremi sono scom divergenti. ∫_-1¹ 1/(x²-1) dx = ∫_c 1/(x-c)+1 dx + ∫_c 1/(x²-1) dx ⇒ con c = 0, per simmetria: ∫_-1 1/((x-x)(x+1)) dx + ∫₀ 1/((x-x)(x+1)) dx.

1/((x-x)(x+1)) ~ - 1/(2(x+1)) per x → -1⁺ per il criterio del confronto cambiato. α = 1 ⇒ diverge. 1/((x-x)(x+1)) ~ 1/(2(x+1)) per x → 1^- ⇒ α = 1 ⇒ diverge.

∫_-1 dx f(x) = 1/(x²-1) non è integrabile in nessun improprio in [-1,1].

Sarebbe andato bene con ∫_-1 1/√(x²-1) dx = ∫_-1 1/(x²-1)^1/2 dx.

Calcolare se i seguenti integrali esistono in senso improprio:

1. ∫₀^{1 sen2 x}/_√x dx
2. ∫₀¹ 1/³√(1-x²) dx
3. ∫₁⁴ 1/(x²-6x+5) dx

Lezione 26 febbraio 2021

0 α ≥ 1 → integrali divergenti. ∫_a^b 1/x^α dx. Se due criteri per stabilire la convergenza di integrali impropri valgono se la funzione non cambia entrambe positive o nulle ma nella stessa funzione entrambe negative o nulle.

Le dimostrazioni del tipo f ≤ g possono valere su [x₀, b) (oppure (a, x₀]) e non necessariamente in tutto [a,b].

Per funzioni con segno variabile

(non sempre + o - in [a,b]) Teorema: Se ∫_a^b |f(x)| dx è convergente allora ∫_a^b f(x) dx è convergente. [Questo teorema è utile nel caso di funzioni con segno non costante]

Esempio

Stabilire se ∫₀¹ (1/√x) sen(1/x) dx è convergente. f(x) = 1/√x sen(1/x) è definita e continua per x ≠ 0.

Quando x → ∞, il sen(1/x) continua ad oscillare tra i valori -1 e 1 → segno variabile.

Conclusione: ∫₀¹ |f(x)| dx = ∫₀^{1 1}/_√x |sen (¹/_x)| dx → ¹/_√x |sen (¹/_x)| ≤ ¹/_√x³ = g(x). ∫₀¹ g(x) dx convergente → ∫₀¹ |f(x)| dx convergente → per il teorema ∫₀¹ f(x) dx è convergente.

Fisso ad uno ∫_a^b f(x) dx con f illimitata in x=a o in x=b. Come fare se f si è illimitata in x=c ∈ [a,b]?

∫_a^b f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx.

∫_a^b f(x) dx convergenti se entrambi gli integrali a destra lo sono. ∫_a^b f(x) dx divergenti (o non esist.) in senso improprio se almeno uno dei due integrali a destra è divergente (o non esist.).

Abbiamo considerato integrali sull’intervallo limitato [a,b], con f illimitata. Ora consideriamo integrali impropri di funzioni continue su un intervallo illimitato. ∫_a^∞ f(x) dx; ∫_-∞^b f(x) dx; ∫_-∞^∞ f(x) dx. f ∈ C⁰ ([a,∞)).

Poiché f ∈ C⁰([a,b]) posso calcolare ∫_a^b f(x) dx. lim_b→∞ ∫_a^b f(x) dx esiste, finito (1), esist. infinito (2), non esist. (3).

Dico che: ∫_a^b→∞ f(x) dx convergenti/esist. in senso improprio o generalizzati (1), divergenti (2), non esist. (3). f non integrabile in S.o. in senso generale.

Osservazione

Lo stesso vale considerando come estremo di integrazione -∞. Calcola ∫_a^b f(x) dx e poi lim_a→∞ ∫_a^b f(x) dx.

Come definire ∫_-∞^+∞ f(x) dx?

∫_-∞^+∞ f(x) dx = ∫_-∞^-c f(x) dx + ∫_+c^+∞ f(x) dx (osservazione: se f ≥ 0, ∫_a^∞ f(x) dx rappresenta un'area (infinita)).

Esempio

f(x) = ¹/_x^α. ∫₁^{∞ 1}/_x^α dx ∈ ℰ^∞([1,+∞)). Calcolo ∫₁^{b 1}/_x^α dx = [^x-α+1/_-α+1] ^b₁ se α ≠ 1 = ^b1-α-1/_1-α.

Se 1-α > 0, α lim _b→+∞ ^b1-α-1/_1-α = ^-1/_1-α se 1-α < 0, α > 1. Se α = 1, ∫₁^{b n}/_x dx = [log_x] ^b₁ = log_b.

lim log₂b = +∞ b →∞. L'integrale è convergente per α > 1; divergente per α ≤ 1.

Stima negoziabile per [-∞, b]

Ripetiamo brevemente i criteri: criterio del confronto, f, g ∈ ℰ°([a, +∞]) 0 ≤ f(x) ≤ g(x) su [a,+∞) o su ([x₀, +∞)).