Analisi matematica, gli integrali impropri, esercizio svolto

A.A. 2020/2021 Esercitazioni svolte di Analisi 1

Calcolo integrale

Calcolare il seguente integrale improprio ∫₀^{+∞ 1}/_{x² + 3x + 2} dx

A.A. 2020/2021 Esercitazioni svolte di Analisi 1

Calcolo integrale

Calcolare il seguente integrale improprio ^+∞∫₀ ¹/_{x² + 3x + 2} dx

Osserviamo che: l’integrale converge!!

La funzione è definita in: (−∞; −2) ∪ (−2; −1) ∪ (−1; +∞)

Quindi lo è anche tra gli estremi di integrazione.

Risolviamo allora come segue:

∫₀^{+∞ 1}/_X²+3X+2 dx = lim_t→+∞ ∫₀^t f(x) dx

f(x) è continua in ℝ - {-2; -1} ossia in (-∞; -2) ∪ (-2; -1) ∪ (-1; +∞)

Tra 0 e +∞ è particolarmente continua.

Risolveremo quindi l'integrale razionale fratto:

∫ ¹/_X²+3X+2 dx ⇒ riscriviamo la frazione integranda

¹/_X²+3X+2 = ¹/_(X+1)(X+2) = ^A/_X+1 + ^B/_X+2

1 = (A+B)X + 2A + B

A+B=0 ⇒ A=-B ⇒ A=1

2A+B=1 ⇒ B=-1

∫₀^{t 1}/_X²+3X+2 dx = ∫₀^{t 1}/_X+1 dx - ∫₀^{t 1}/_X+2 dx = [ln_t^(X+1)/(X+2)]₀ = [ln_t^(t+1)/(t+2) - ln_t^(1/2)]