Analisi 1 (algebra e geometria) - appunti del corso

Numeri complessi

C = insieme composto da una parte reale e da una parte immaginaria.

i = unità immaginaria tale che i² = -1.

I numeri complessi sono uno strumento per risolvere problemi reali quando il metodo risolutivo in ambito reale non è possibile.

Es. x² + x + 1 = 0, Δ = 1 - 4·1·1 < 0: non ha soluzioni. Questo è il motivo storico! Un'equazione di secondo grado dovrebbe sempre avere due soluzioni!

x² + x + 1 = 0
x_1,2 =  _{-1 ± √-3}⁄² = -_{1 ± √(3)i}⁄² = -_{1 ± i√(3)}⁄²

Definizione

Def.: z ∈ C se ∃ x, y ∈ R | 2: x + iy z := x + iy.

x moltiplicata per l'unità reale.

y moltiplicata per l'unità immaginaria.

x = parte reale di z → x = Re(z).

y = parte immaginaria di z → y = Im(z).

Se y = 0 → z ∈ R.

Se x = 0 → z ∈ Im (immaginario puro).

I numeri complessi

C. insieme composto da una parte reale e da una parte immaginaria.

√-1: unità immaginaria i tale che i² = -1.

I numeri complessi sono uno strumento per risolvere problemi reali quando il metodo risolutivo in ambito reale non è possibile!

Es. x² + x + 1 = 0, Δ = 1 - 4. Questo è il motivo storico (un'equazione di secondo grado dovrebbe sempre avere due soluzioni!).

^x/₂ = ^{-1 ± √3}/₂     -1 ± (√³/₂)

Def.: z ∈ C ∃ x, y ∈ R | z = x + yz = x + y.

x moltiplicato per l'unità reale.

y moltiplicato per l'unità immaginaria.

x: parte reale di z → x = Re(z).

y: parte immaginaria di z → y = Im(z).

Se y = 0 ⇒ z ∈ R.

Se x = 0 ⇒ z ∈ Im (immaginario puro).

I numeri complessi sono quindi un'estensione dei numeri reali.

Operazioni con i numeri complessi

Addizione: z₁ + z₂ = (x₁ + x₂) + i (y₁ + y₂).

Sottrazione: z₁ - z₂ = (x₁ - x₂) + i (y₁ - y₂).

Moltiplicazione: z₁ · z₂ = (x₁ + i y₁) (x₂ + i y₂) = = x₁ x₂ - y₁ y₂ + i x₁ y₂ + i y₁ x₂ = = x₁ x₂ - y₁ y₂ + i (x₁ y₂ + x₂ y₁).

Il coniugato

z = x + iy, sup z = x - iy (parte immaginaria opposta).

z · sup z = x² + y² ∈ ℝ (anche ritornare sempre sull'asse x).

z + sup z = 2x, 2x ∈ Re(z).

z - sup z = 2iy, 2i Tm(z).

Re(z) = ^{z + sup z}/₂, Tm = ^{z - sup z}/_2i.

2z: (x + i y)(x - iy) • x² - i²y² = x² + y².

x = arg(z).

|z| = √x² + y².

|z| = è la distanza di z dall'origine d(2,0). Tutti i punti che hanno |z| = 1, stanno sulla circonferenza con centro l'origine e raggio unitario.

Se z ∈ R → |z| = |z| (senza Pitagora).

Valore assoluto: distanza da zero. Modulo: generico estensione di valore assoluto.

N.B. √x² + y² non può mai essere una differenza ed è sempre positivo.

Divisione

z_1z2 = x₁ + iy₁ / x₂ + iy₂.

Dobbiamo renderlo reale in modo da poter fare a + ib / c = a/c + b/c.

Si deve razionalizzare.

z_1z2 = x₁ + iy₁ / x₂ + iy₂ — x₂ - iy₂ / x₂ - iy₂ = z₂/^z̅₂ |z₂|², a numero reale strettamente positivo (D ≠ 0).

Radice quadrata

i² = -1. √i = ?

Sappiamo che √₁ = 1 e √x² = |x| (solo il quadrato!!!). La dicitura √₁ = ±1 e √x² = ±x è errata perché indica un insieme di soluzione, e vale solo em le equazioni.

Com'i numeri complessi bisogna esaltare em'insieme di numero proprio come nelle equazioni: √i = ?

√₂ = insieme team numero W ∈ C / W² = z.

√-1 = ±i.

Ma tornando a √i, come si prosegue? Si deve creare W² + W² + W² / W² z (√_a, z₁ + z₂).

W² = z.

(W₁ + W₂)² = z₁ + z₂.

W₁² + 2W₁W₂ + W₂² = z₁ + z₂.

W₁² + 2iW₁W₂ - W₂² = z₁ + i z₂.