Analisi 1, geometria e algebra lineare

Integrali

Calcolo dell'area

Parola chiave: AREA

y = x²

Divido [0,1] in n segmenti uguali di estremi x_i

x_n+1 = i/n = (i-1)/n con i = 0, ..., n-1

Area ≈ S_n = somma aree dei rettangoli

Si può dimostrare (per induzione) ∑_i=1ⁿ i² = n(n-1)(2n-1)/6

Conclusione area = lim S_n n → ∞

Generalizzazione del procedimento

Considero una f : [a,b] → ℜ limitata (può essere non continua)

Considero la suddivisione di [a,b] individuata dai punti x₀ = a x₁ < x₂ < ... < x_n = b con x_j = a + j(b-a)/h j = 0, ..., n

In ogni intervallo (x_j-1, x_j) con j = 1, ..., n seleziono un punto x_j &in; (x_j-1, x_j)

Costruisco la somma di Cauchy - Riemann S_n = ∑_i=1ⁿ f(x_j)(x_j - x_j-1) = (b-a)/h ∑_j=1ⁿ f(x_j)

Definizione: La funzione f: (a,b) → ℜ limitata è detta integrabile secondo Riemann (o semplicemente integrabile) in [a,b] se adatta S_n a una sua qualsiasi somma di Cauchy - Riemann

Calcolo dell'area (seconda parte)

Parola chiave: AREA

y = x²

Guidiamo [0,1] in n segmenti uguali di estremi x_i

x_i+1 = x_i + 1^[i/n] con i = 0, ..., n-1

Area ≃ S_n = somma aree dei rettangoli

Si può dimostrare (per induzione) Σ_i=1ⁿ i² = n(n+1)(2n+1) / 6

Conclusione area = lim S_n n → +∞

Generalizzazione del procedimento (seconda parte)

Considero una β: [a,b] → &Ropf; limitata

Considero la suddivisione di [a,b] individuata dai punti x₀ = a x₁ 2 n = b con x_j = a + j(b-a)/n ∀ j = 0, 1, ..., n

In ogni intervallo [x_j-1, x_j] con j = 1, ..., n seleziono un punto ³_j ∈ [x_j-1, x_j]

Costruisco la somma di Cauchy - Riemann S_n = Σ_j=1ⁿ β(³_j)(x_j - x_j-1) = b-a / n Σ_j=1ⁿ β(³_j)

Definizione: La funzione β: [a,b] → &Ropf; limitata si dice integrabile secondo Riemann (o semplicemente integrabile in [a,b]) se data S_n una sua qualsiasi somma di Cauchy – Riemann esiste lim S_n e tale limite non dipende da come abbiamo scelto i punti x_i*

In tal caso si pone lim_{n → ∞} S_n = ∫_a^b f(x) dx

Interpretazione geometrica e fisica

f ≥ 0 e f continua: ∫_a^b f(x) dx definisce l'area del trapezoide individuato da f (l'area sotto la dal grafico), ossia se f cambia segno, l'integrale di cambia segno

Interpretazione fisica: supponiamo che un punto materiale si muova con velocità v(t), t ∈ [0, T]

O——————|————v(t)T

Quanto spazio ha percorso? Suddivido [0, T] in n intervalli [t_j-1, t_j], approssimo v(t_j) ≈ v(ζ_j) dove ζ_j è un punto fissato in [t_j-1, t_j])

Lo spazio percorso in [t_j-1, t_j] ≈ v(ζ_j)(t_j - t_j-1)

Spazio percorso in [0, T] ≈ Σ v(ζ_j)(t_j - t_j-1)

Al crescere di n ho una somma di Cauchy-Riemann approssimazione sempre più migliore = ∫₀^T V(t) dt

Nella pratica identificare se una f è integrale usando la definizione è molto difficile

Teorema: Se φ : [a, b] → R è continua allora è integrabile

Ma non vale l'inverso, ciò sotto intende che è limitata. Cioè: una funzione integrabile può non essere continua

β(x) = 0 se 0 ≤ x ≤ 1 1 se 1 Non è continua in [0,2] ma è integrabile: ∫ β(x) dx = 1

Teorema: sia φ : [a,b] → R monotona allora è integrabile (Ciò implica implicitamente che φ sia limitata, se no non si può parlare di integrale)

Anche qui non vale il viceversa

3^° Teorema: sia φ₁ : [a,b] → R φ₂ : [b,c] → R con φ₁ e φ₂ integrabili ⇒ ∫ φ(x) = ∫ φ₁(x) se x ∈ [a,b] ∫ φ₂(x) se x ∈ [b,c] (e definita in modo alterno)