Analisi e Geometria 1

Analisi matematica 1

Slide Esempieddel hostariaprofessor( librointegrati con )tabaccoCanuto -Insiemi1.1 .ir? : : : : :Principali NumericiAtm iinsiemi(X )"Xadappartieneeµ• se µ• insieme non=( ) .¢ 'X Xappartiene ad naturaliNOIse• a ;:÷:÷÷ ÷:c:÷::: ÷ IRÌ !! •' insieme numeri=XIt.in reali ;[• numeriinsieme= complessi↳ .Ase Xcoincide alloracon -Xcontenuto PROPRIAMENTEA è inGACX È

Insiemi e sottoinsiemi

Possiamo definire gli elencandoelementi ti applicaredi > ciò• puòinsieme siun elementiquando glinotazionela}pre I piùXA- comunepini pochisono<-differenzaoppure }(A talidi' A- XelementiX il deglisi sottoinsiemepoi: ène= lache verificata 'condizione èpoiÈ deldegli elementila proprietà sottoinsiemecaratteristicaindica)plx , )( altrifalsegli tuttielementi dell' glituttivera insiemeper pereEsempio ugualinaturaliA deiil :numerisottoinsieme minori 4aofreniµ }A- }A41 ssi 4se e; ; oppure == ; , predicatelo'N.be ' '' diè esempiopiù 4e unse=Collezione tutti delleXsottoinsiemidi dii insiemeinsieme• un di Xpartiche -{figIi Pag← 0l'XTra simbolovuotoesistedisottoinsiemii insieme- →I 40 PIXIealtriTutti vuotiXdigli sottoinsiemi propri nonsono eha§ finito insiti cardinalicardinalitàoiltàn ha• insieme: suoun ,

Operazioni tra sottoinsiemi

Partendo X definiredida attraversosottoinsiemisottoinsiemi nuovipiù →uno o chedelle sionistioperazioni inla -semplice :più A Xal sottoinsiemecomplementare di: sièsepassaggio un ,Alin )definisce are di X" :* sia: topgattoniamo ;at ←che complementare AilPer accentuare Fattoil di è→ XFatto rispetto ad :scrivesi,c Alcune immediate :→ proprietà 0GX =• CO X• = ACHAI =•

Intersezione Bi Xdati A definiscesottoinsiemi didue sie ,A ilBdiintersezione sottoinsiemeeANB-fseexlxeaerc.BAelementi Btutti che appartengonoX Asiaadgli dicioè sia eUnione tutti (elementi che A: appartengonogli ad B inoppure sensoa)alternativonon AVB.f.net/neAoppurereB#

Insieme dei numeri reali

Insieme0 IR "realidei numeri .tuttiNon razionalidipunti È fissiretta unitài numeri comunque siuna un'= letuttedi misura non,La diagonale lunghezzedi È essereun < possonoLa lunghezza d misuratequadrato suoicommensurabile iè⇐ connondella multiplidiagonale multiplilatoil sottocon oNOI proporzionaleè È::a. no:: l tlproporzionalità OdiFattore teoremarazionale ↳ Pitagoradi applicato:| deiunoatriangoli lacaricatevidue✓ rettangoli in cuiteorema Non divide quadratodiagonale il affermaesistet.li esso. ,cheilalcun razionalenumero 'l'd' ' al!l dugualequadrato cioèsiami i.a = ,2 Se chiamiamo proporzionalitàfattoreil dip ( )D= pllunghezza della elevandotra lato ,relazionenellasostituendoquadratoal vediamoe ,Proprietà !\ Se il1.1 che necessariamente ? 2numero pp. . quadratasoddisfa alloraph è radice↳ pnon2 p →, (E)dirazionale 27Dimostrazione Per: IN chetalidaassurdo 0diversie- f-m n p =, .,Supponiamo abbiano fattoriche ed comunim n non .Elevando al ?MÌquadrato valeottiene dire m' 2nsi 2 a= =,, ÀÀzDunque anchem' pariè è pari→ m . Sostituendo !Sarà naturale Kquindi 2K opportuno ionem per un= .12kt ' n'n' Quindin' ' anche pari2k24K2 èn→→= = → = . l'Siamo chegiunti ipotesialla entrambiconclusione ed controèpari ciòsono manm ,che )abbiano ( Fattorefattori avrebbero 2comuniessi come comunenon'L dall' razionalenatoassurdo suppostoè aver p

Insieme dei reali deiestensione razionalinumeri =↳ i Pfornisce ad delladellamatematico rettamodello punto retta èogniun associato ad solo numeroununo e Preale didetto viceversaascissa ese .,,IR ) che( :soddisfano" prodotto"è• operazionicampo insieme 2 sommacon→un eAssociatività1) deldella prodottosomma e ;Per "aibogni eo, ladroIbrda+ =b)la albo)e =2) Commutativi deltò della prodottoesommaPer IRbogni ea, btaatto =abab aDistributivi3) tà del allarispettoprodotto sommaPer EIRbogni ee , , ( c)bt abtac=a distributiviPer anche la sinistrala vale tàcommutativaprop a. ,daIbt barca=4) Esistenza elementidegli neutri .Esistono che :le soddisfano) denotatidistinti 0realidimostra due 1numeriuniciesseresi e, ,bb.ato a e= =,b #ogni ogni opereper aEsistenza (5) )opposti allarispettodegli somma .Per ( cheb attoIR IR tale)esisteogni :Ounicoou inin un .bQuesto chiama di denotaopposto sieasinumero a_ .6) Esistenza degli ( diversi daal )rispetto deiprodottoinversi numeri zero .Per bIR bin tale che) Resiste lumino =Lin #ogni una a.oa ., ,Questo b denota 1chiama dia laa-inverso sinumero reciprocosi oppureeo .

Riassumiamo IRquesti assiomi è campo→ unN.B.ee )(laNon la nulloelementosottrazione divisioneconsideranosi none comeper unaltre la ildefiniscono ed :usando prodottooperazioni si sommama, art a)b) (Divisione abitSottrazione b: b : G- #a - ==-

Proprietà dei numeri reali

Proprietà Numeri Realidei• (reali analoghe) aritmetiche )Le definite razionalii proprietàestendonooperazioni si consui ai ;) L' ( )ordinamento analogherealiii razionali estende proprietàdei aisi conxcy ;I ()Iii reati approssimatorealedensirazionali ognineinumeri sono può esserenumero)bene daquanto vogliamo razionalenumeroun ;() L' chedei geometricamentecompleto equivaleiv al fattoreali puntoinsieme numeri è ognirealeunivocamente garantendodi retta ad adassociatopuò numeroessereuna un ,)l' T2diesistenzaesempio (Ordine ) : d'ordinato definitaIR relazione ordineè è• unaun campo ilcompatibiletotale che la edè sommaconprodotto .① Relazione totaled' :ordine *( )transitivitàallora② IR xczzse ylzseese g. ecy, ,, ↳ ( )?confrontoteorema delesattamente tra :② valeIRse ge unasi , ,⑤ ⑤Compatibile il0 :la ed prodottocon somma (Se② )allora Lytz ogni zzray set per,② Se allora L g. zse zze o>xcy .,

Completezza

Completezza Mcheproprietà caratterizza• puòsi= , loroequivalentidiverse forme trainesprimere ,tutte importantimolto .(Assioma di ProprietàCompletezza forma separazione )nella di diSe vuotiA- IR taliB chedidue sottoinsiemisono noneVa tb BA ebee a,ldmemd deh cheallora elementodetto taleseparatoreesiste un , ,Va B il EbA. fb ee <aUso )lofondamentale dell' definire caratterizzarecompletezzadiassioma un→ attraversoreale duenumero •III. di numerii.|Mia ( IR cheB)A vuotidi disottoinsiemicoppia neriuna, ,richiestasoddisfi la condizione dall' di coinpletezzaassioma\ ( Aelemento di B)proprietà didi è minoreogni:separazione .Tali Bclassi contigueA positivo esistonoEnumerosonoe comunque unpresose ,,Ab EGB b-elemento qualic-un i ale a per . laSe ( B) elementol'classiA contiguedi separatoreallora esistenzaè èuna cuicoppia, ,affermata completezzadall' di è unicoassioma .,

(① TEOREMA classi1.2 )realicontinue di numeriBSe A ilclassi cheEIRreali alloradicontigue esistesono numerie unicoun,soddisfa bed ea BEBAEA ogniogniper per, .Diremo (liche il B)dalla contigue Areale definito classidiè numero coppia .,ÈN.pe completezza l'L' fondamentale affermare esistenzadi èassioma perelementodell' contigueclassitra leseparatore 2 .

( IlDefinizione :IR ) )di reale(reale reali orettaretta dei numericampocampoordinatoecompleto.ttIR è untotale( Ordinamento ) dalad geometricovistapunto di→ esempio se cy ,,, trovasignifica che diil rettasullapunto siascissa sedel puntoalla sinistra di ascissa y .Dato:

Valore assoluto

Valore assoluto chiamiamo moduloassolutovalorereale• numeroun se o,il realedi :numerose"I: ÷::÷:÷ .Teorema ( )delUnicità )completo enunciataordinato isola• campoDue (ordinati completi isomorfi solaesiste corrispondenzacampi sono unachebiunivoca preserva

Intervalli

Intervalli•Definizione : realisiano b Ebtali chedue1.2 numeria ae .Chiamiamo intervallo l'ebestremichiuso di insiemeafxe }[ b) IN aeseeba =,Se bestremialb chiamiamo intervallo aperto diinvece a e,l' insieme }tu ERIb)Ia xcbal=,¥ [] btaleequivalentenotazioneUna insieme è* aper ,Rappresentazione geometrica ?_?> ':-bla ;D la ;DÈ escludereanche possibile solo estremo :un ( };D la}la nefando;Dtrenta ncb =e: ✓ vintervallo apertointervallo sinistradestraaperto semisemi a a- -

Insiemi limitati

Insiemi limitatio DiciamoDefinizione Sia A! Ache limitatoIRdi superiormentesottoinsieme è seun .reale b tale cheesiste numeroun b Aogni<se setperbOgni tale Ache didettosoddisfa relazione maggiorenteviene un .A limitataSi che chetaledice interiormente realeesisteè unse numero aAa te ognise se c-per Ataleche relazioneOgni soddisfa detto ente diviene minoruna .Si infine limitatoche A superiormentecontemporaneamentedice èè se einteriormente limitato .

( (1 AppuntiI. Esistenza )estremodell' profdell'conseguenza assiomasuperiore .. R )completezza didiSia ECIR ( )vuoto IRdisottoinsieme nonunUn limitazioneben chiama Edi• numero superiore sesi unattxe webE beNI cheNOI richiede Esi . limitazionilimitatoUn superiormenteE di Eesistonodiceinsieme superiorisesi .limitazioneUn M IR dichiama E• E massimo ènumero esi superiorese unaad E :appartiene Me E tt reteEa ne limitazioneUn chiama inferiore EdiEIR• numero si sea ¥ E alre nNI cheNON richiede Easi c- .Un limitazionilimitatoE inferiori diinteriormentedice esistono Einsieme si se .limitazioneIR chiama inferioredi EUn diil Eèminimo• me unasenumero esi Einoltre appartiene :aE Eognipoi meseme seeeN.pe limitatoUn reali ildi ilminimo→ numeriinsieme massimopuò averenon o .il ilSe èesiste unicominimo massimoo , .

Estremo superiore

(L' )formacompletezza proprietà IMPLICA PROPRIETÀdi LAdidi separazione- assiomaESISTENZA DELL'DI ESTREMO SUPERIORE.TEOREMAO MINIMA SUPERIORELIMITAZIONEOgni limitatoECIRsottoinsieme vuoto possiedesuperiormente minimanon e unalimitazione superiore . denota- estremo superiore di EEsuperiore supsie .Estee:Denoti fzc.IR/V-zeeEnez2- }amo = (l' L'tutte le limitazioni E Z ipotesivuoto perchédi di insieme Einsieme èsuperiori non per. ,,)limitatosuperiormentee- . le4Per che disuguaglianzedi duel' soddisfacompletezza :esiste unassioma numerotre 2 hetfzE ze seeLa disuguaglianzaprima eiV. Esee seche 4 limitazionedice di Esup= ..La disuguaglianzaseconda ilyz.cz EZX limitazionila tuttelimitazione lefatto frail che Edièesprime minima superiore cioè,4 ilE dell'edladi piccola è quantopiù unica minimoè in è insiemesuperiori , ,2 maggiorentidei .

ProprietàSECONDA FORMA ASSIOMA di completezza : EsistenzaDELL' didell' Estremo superioreOgni limitatoCIRE limitazionesuperiormentevuoto possiedesottoinsieme more minimaunaesuperiore .

Proprietà di Archimede

Proprietà Di Archimede( )seconda versione AlloraTeorema taleSiano chenaturaleb reali esistepositivinumeri2.2 numero na. un.bna > (Fissato bfissato ()piccolo positivoquanto ""> pera numeroeesserenumero 0 unpossaperun che bquanto " grande " multiploesiste di) superamaessere unsempre apossa .Supponiamo che proprietàche !soddisfi questeCEIR 2un numerosia[ } ( qualcheALLORA naturalealtrim