Analisi 1, geometria e algebra lineare

14/09/2020 Insiemi numerici

N numeri naturali {0, 1, 2, 3, 4, ...}

Z numeri interi/relativi {0, -1, -2, ...}

Q numeri razionali {\(\frac{m}{n}\), m, n ∈ Z n ≠ 0}

I numeri razionali possono essere scritti in forma decimale.

1/3 = 0,333... = 0,3̅

Scritti in forma decimale presentano un numero finito di cifre dopo la virgola, oppure un numero infinito di cifre che si ripetono periodicamente.

R numeri reali

Sono quelli che scritti in forma decimale presentano dopo la virgola una successione qualsiasi di cifre diverse da zero (non periodica).

N.B. Questi insiemi sono uno interno all'altro.

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R

Operazioni

• Intersezione di 2 insiemi A e B

A ∩ B = {x : x ∈ A e x ∈ B}

Unione di 2 insiemi A e B

A ∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B}

Differenza di 2 insiemi A e B

A \ B = {x : x ∈ A e x ∉ B}

Complementamento di 2 insiemi A rispetto ad un insieme X

C_XA = X \ A

(se X è sottinteso si usa il simbolo A^C)

14/09/2020 Insiemi numerici

N numeri naturali {0, 1, 2, 3, 4, ...}

Z numeri interi/relativi {0, -1, 1, -2, 2, ...}

Q numeri razionali ƒ _m/_n, m, n ∈ Ζ n ≠ 0

I numeri razionali possono essere scritti in forma decimale.

Scritti in forma decimale presentano un numero finito di cifre dopo la virgola, oppure un numero infinito di cifre che si ripetono periodicamente.

R numeri reali sono quelli che scritti in forma decimale presentano dopo la virgola una successione qualsiasi di cifre diverse da zero (non periodici).

NB: Questi insiemi sono uno interno all'altro.

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Operazioni

• Intersezione di 2 insiemi A e B
• A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
• Unione di 2 insiemi A e B
• A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B}
• Differenza di 2 insiemi A e B
• A \ B = {x | x ∈ A e x ∉ B}
• Complementazione di 2 insiemi A rispetto ad un insieme x | A X
• C_A = A^c (se X è sottinteso si usa il simbolo A^c)

Prodotto cartesiano

Prodotto cartesiano di 2 insiemi A e B

A x B = {coppie ordinate (a,b) con a ∈ A e b ∈ B}

Esempio, A = {1, 2} B = {1, 2}

A x B = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

NB: Il prodotto cartesiano non è commutativo.

A x B ≠ B x A

B x A = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

Esempio, R x R = R²

Insieme di tutte le coppie ordinate di numeri reali (piano cartesiano) con variabili (x, y)

(1,0) "ordinate" (0,1) ordinate (0,1)

Proprietà delle operazioni

∩ commutativa A ∩ B = B ∩ A

Associativa A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

Idempotenza A ∩ A = A

∪ commutativa A ∪ B = B ∪ A

Associativa A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

Idempotenza A ∪ A = A

Proprietà distributive → legano Unione e Intersezione

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Leggi di De Morgan

Leggi di De Morgan

(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

(A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

(A^c)^c = A

Logica elementare

Logica elementare

Il numero naturale n₁ è dispari dipende da n₁, variabile che in base al valore rende l'affermazione vera o falsa (predicato o proprietà).

Per ogni numero naturale n₁, se n è dispari allora n² è dispari è vera.

Non ha senso assegnare valori particolari ad n, questa affermazione è vera o falsa una volta per tutte (enunciato o proposizione).

Implicazione universale dato un insieme A e due predicati p(x) e q(x) il cui argomento x varia in A.

Si ha la seguente struttura logica:

∀ x ∈ A p(x) => q(x)

Quantificatore universale.

La maggior parte dei teoremi sono implicazioni universali.

p(x) = ipotesi

q(x) = tesi

=> implica

Un teorema può essere vero o falso.

Per dimostrare che è vero devo fare una dimostrazione.

Per affermare che è falso devo esibire un contro esempio.

• Dimostrazione diretta. Si parte da p(x) (allora, allora... q(x))
• Dimostrazione usando la "contronominale"