Fascio di rette: definizione, classificazione ed equazioni

In questo appunto di geometria verrà definito il fascio di rette, in particolare verranno analizzate le equazioni in entrambe le forme, cioè fascio proprio e fascio improprio. Inoltre, verrà descritta anche la retta.

Fascio di rette: definizione

Un fascio di rette è un insieme di rette definito da un’equazione parametrica.
Si possono avere due tipologie di fascio di retta:

• Fascio di retta proprio;
• Fascio di retta improprio.

Con fascio proprio si intende l’insieme di infinite rette che intersecano un determinato punto nel piano cartesiano considerato .
Con fascio improprio si intende l’insieme delle infinite rette aventi lo stesso coefficiente angolare, di conseguenza tutte le rette saranno parallele fra di loro .

Fascio proprio di rette: equazione in forma esplicita

Come è già stato definito, un fascio proprio di rette è l’insieme delle infinite rette che passano tutte per uno stesso punto.
Queste rette hanno tutte equazioni differenti fra loro.
Consideriamo il punto in comune , siano le sue coordinate, l’equazione generale che rappresenta un fascio proprio di rette in forma esplicita sarà la seguente:
Dove rappresenta il coefficiente generico angolare valido per le infinite rette possibili.

Fascio improprio di rette: equazione in forma esplicita

Come è già stato definito, un fascio proprio di rette è l’insieme delle infinite rette aventi lo stesso coefficiente angolare.
Quindi è l’insieme di infinite rette parallele; l’unica cosa che cambia per ogni retta è l’intercetta.
Quindi, l’equazione generale che rappresenta un fascio improprio di rette in forma esplicita sarà la seguente:
Dove rappresenta il coefficiente angolare comune a tutte le rette, e è l’intercetta variabile per tutte le rette.

Equazione di un fascio di rette proprio ed improprio in forma implicita

In forma implicita l’equazione è la stessa sia per un fascio proprio che improprio di rette.
L’equazione generale è la seguente:

Come si arriva a questa equazione ? Di seguito verrà sviluppata la dimostrazione.
Consideriamo due rette nel piano e scriviamo la loro equazione in forma implicita:

Per conoscere il loro punto di intersezione le mettiamo a sistema:
\begin{cases}
ax + by +c =0\\
a’x + b’y + c’=0\\
\end{cases}

Risolvere il sistema vuol dire individuare quel valore di

e quel valore di che soddisfano entrambe le equazioni. Tali valori rappresentano l’ascissa e l’ordinata del punto di intersezione delle due rette rappresentate da quelle equazioni.
Quando risolviamo il sistema potremmo ottenere 3 casi:

1. Le due rette si incontrano in un punto, quindi hanno un'unica soluzione;
2. Non esiste un punto di intersezione, quindi il sistema non ha soluzione e le due rette saranno parallele;
3. Esistono infinite soluzione del sistema e di conseguenza le due rette saranno coincidenti.

Indipendentemente in quale dei tre casi ci troviamo, dai principi di equivalenza dei sistemi lineari sappiamo che una combinazione lineare delle equazioni del sistema è ancora un’equazione per la quale vale la soluzione del sistema stesso. Quindi si possono avere i seguenti tre casi:

• Se le due rette iniziali si incontrano per un punto, anche la retta ottenuta mediante un’equazione lineare si incontra in tale punto;
• Quando le due rette iniziali sono parallele, allora anche la loro combinazione lineare sarà parallela alle due;
• Se le due rette sono coincidenti, anche la loro combinazione lineare sarà coincidente ad esse.

La combinazione lineare si ottiene moltiplicando entrambe le equazioni per un valore.
In questo caso scegliamo per la prima equazione e per la seconda equazione, si ottiene:
La loro combinazione lineare può rappresentare infinite rette, e le due rette iniziali vengono chiamate rette generatrici del fascio.
Si avrà:

• Quando le due rette si incontrano in un punto il fascio descritto è un fascio proprio;
• Se le due rette sono parallele il fascio descritto è improprio;
• Se le due rette sono coincidenti, per qualsiasi valore dei due parametri, si ottiene sempre l’equazione della stessa retta

Dividiamo l’equazione trovata per , si ottiene:

Definizione di retta

Sia dato un piano cartesiano ortogonale di origine ed assi ed .
Definiamo la retta come un ente geometrico costituito da infiniti punti allineati.
Al fine di studiare la retta nel piano cartesiano dobbiamo definire una funzione che metta in relazione le coordinate di tutti i punti appartenenti alla retta, ossia dobbiamo arrivare a definire una relazione fra le ascisse , e le ordinate del generico punto che appartiene alla generica retta .
Tutti i punti della retta godono della proprietà di avere per coordinate coppie di numeri che, sostituiti ordinatamente al posto delle variabili ed nell’equazione che definisce la retta, soddisfano l’equazione stessa.
La retta può essere descritta da due tipologie di equazioni:

• Equazione retta in forma implicita;
• Equazione della retta in forma esplicita.

Nel caso della forma implicita, la retta ha una equazione del tipo:

Dove:

Nel caso della forma esplicita, sia ha una equazione del tipo:

Dove:
Dove:

viene chiamato coefficiente angolare, è definito anche come:
dove è l’angolo che la retta considerata forma con la direzione positiva dell’asse delle .
Tale coefficiente fornisce indicazioni sull’inclinazione della retta e sul suo andamento.
Infatti:

• Se
  [math] m > 0[/math]
  allora
  [math]tgα > 0[/math]
  , quindi la retta risulta essere crescente;
• Se
  [math]m > 0[/math]
  allora
  [math]tgα > 0[/math]
  , quindi la retta risulta essere decrescente. Il coefficiente
  [math]q[/math]
  viene chiamato termine noto ed individua l’ordinata del punto in cui la retta interseca l’asse delle
  [math]y[/math]
  , ossia
  [math](0,q)[/math]
  .

Entrambe le equazioni della retta, sia quella in forma esplicita che quella in forma implicita, sono trasformabili l’una nell’altra.
Data:

Si ha che:

Dove si ha che;

Se

, la retta passa per l’origine degli assi cartesiani.

Per ulteriori approfondimenti sull'equazione della retta vedi anche qua