Portata di massa, equazione di continuità e Teorema di Bernoulli

paoletz00
di paoletz00
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Esplora i fondamenti della fisica dei fluidi, analizzando la portata massica, l'equazione di continuità e il teorema di Bernoulli. Scopri le differenze tra fluidi ideali e reali e come la viscosità influisce sul moto dei fluidi in diverse condizioni.

Concetti Chiave

  • La portata massica rappresenta la massa che scorre attraverso una sezione nell'unità di tempo, calcolata come prodotto della portata volumetrica e della densità del fluido.
  • La distinzione tra fluidi ideali e reali è basata sulla presenza di attrito interno: i fluidi ideali sono incomprimibili e non viscosi, mentre i fluidi reali sono comprimibili e viscosi.
  • L'equazione di continuità stabilisce che la portata volumetrica rimane costante in un tubo di sezione variabile, implicando che la velocità del fluido aumenta quando la sezione diminuisce.
  • Il Teorema di Bernoulli afferma che la somma di pressione, componente geodetica e componente cinetica di un fluido ideale si mantiene costante lungo un condotto.
  • In casi particolari, come quota costante o velocità nulla, la legge di Bernoulli si semplifica, permettendo di analizzare il comportamento del fluido in condizioni specifiche.

In questo appunto di fisica viene definita la portata, in particolare la portata massica. In seguito verrà definita l’equazione di continuità e il teorema di Bernoulli. Verrà anche fatta la distinzione fra fluidi ideali e fluidi reali.

Portata di massa, equazione di continuità e Teorema di Bernoulli articolo

Portata massica

[]La portata di massa o portata massica
[math] \dot{m}[/math]
indica la massa che scorre attraverso una sezione nell’unità di tempo e nel Sistema Internazionale si misura in
[math]\frac{kg}{s}[/math]
. Oltre alla portata di massica, esiste la portata volumetrica.
In realtà, la portata di massa deriva dalla portata volumetrica.
Per passare dalla portata volumetrica alla portata massica, è necessario moltiplicare la portata volumetrica per la densità del fluido.
La formula che esprime la portata di massa è la seguente:
[math] \dot{m} = \rho \cdot \dot{V} = \rho \cdot A \cdot v [/math]
Dove
[math] v [/math]
è la velocità del fluido,
[math] \rho [/math]
è la densità del fluido e
[math] A [/math]
è l’area del fluido.
Nella maggior parte delle applicazioni pratiche, il flusso di un fluido attraverso una tubazione od un condotto, se riferito ai valori medi delle proprietà nella generica sezione perpendicolare alla direzione del flusso, si può approssimare ad un flusso unidimensionale, ovvero si trascurano le variazioni delle proprietà del fluido in ogni direzione tranne la direzione del flusso.
Questa approssimazione se influisce poco sulla maggior parte delle proprietà del fluido, quali temperatura, pressione, densità, ha invece un effetto rilevante sulla velocità, il cui valore varia da zero in prossimità delle pareti ad un massimo in corrispondenza dell’asse a causa degli effetti viscosi.
Nell’ipotesi di flusso unidimensionale si può assumere la velocità costante sull’intera sezione trasversale e pari ad un valore medio equivalente.
Si ottiene in questo caso:
[math] \dot{m} = \rho \cdot A \cdot \bar{v} [/math]
dove
[math]v[/math]
è il valore medio della velocità.

Per ulteriori approfondimenti sulla portata massica vedi anche qua

Fluidi ideali e fluidi reali: differenza

I fluidi sono diversi tra loro in quanto le loro proprietà dipendono da pressione, densità, temperatura, velocità e viscosità.
Per ricavare le equazioni che determinano il moto dei flussi si fa ricorso ad un modello teorico di fluido, detto fluido perfetto o ideale.
Un fluido ideale è incomprimibile e non viscoso, è privo cioè di attrito interno.
Al contrario, un fluido si dice reale quando è comprimibile e viscoso.
La viscosità, ossia l’attrito, è quella proprietà che fa la differenza tra i due tipi di fluido. La viscosità ha la tendenza ad ostacolare il moto del fluido imponendo che nelle equazioni del moto vengano introdotti dei termini correttivi che tengono conto della dissipazione dell’energia causata dalla presenza di attrito tra le molecole.

Equazione di continuità

L’equazione di continuità stabilisce che la portata attraverso un tubo di sezione variabile resta costante, così che al diminuire della sezione aumenta la velocità del fluido, oppure all’aumentare della sezione diminuisce la velocità del fluido.
La sua formulazione riguarda i fluidi ideali e stabilisce cha la portata volumetrica attraverso un tubo di sezione variabili, resti costante.
Consideriamo un tubo con due sezioni diverse
[math]S_1[/math]
e
[math]S_2[/math]
, per definizione si avrà una certa portata nella sezione
[math] 1[/math]
e un’altra portata nella sezione
[math]2[/math]
:
[math]Q_1= v_1 \cdot S_1 [/math]
[math]Q_2= v_2 \cdot S_2 [/math]

Siccome che l’equazione di continuità stabilisce che la portata resti costante si avrà:

[math] v_1 \cdot S_1 = v_2 \cdot S_2 [/math]
In generale:
[math]Q= v \cdot S = costante [/math]
Per i fluidi reali la situazione è leggermente più complessa, bisogna considerare anche la densità del fluido:
[math]Q_1= \rho_1 \cdot v_1 \cdot S_1 [/math]
[math]Q_2= \rho\cdot v_2 \cdot S_2 [/math]

Per ulteriori approfondimenti sull’equazione di continuità vedi anche qua

Teorema di Bernoulli

Il Teorema di Bernoulli riguarda tutti i fluidi ideali, privi di attriti interno ed incomprimibili, che si muovono in moto stazionario.
La legge di Bernoulli dice che la somma di tre contributi quale la pressione del fluido, la componente geodetica e la componente cinetica si mantiene costante lungo tutto il percorso del condotto.
In formule, si avrà:
[math] p + \rho \cdot g \cdot h + \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v^2 = costante [/math]
La legge di Bernoulli deriva dal principio di conservazione dell’energia.

Per ulteriori approfondimenti sul principio di conservazione dell’energia vedi anche qua

Portata di massa, equazione di continuità e Teorema di Bernoulli articolo

Casi particolare del Teorema di Bernoulli

La legge di Bernoulli si può semplificare molto nel caso di quota costante oppure nel caso di velocità nulla.
Consideriamo il caso in cui la quota si mantiene costante.
Si avrà
[math]h_1=h_2[/math]
per cui la legge diventerà:
[math] p + \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v^2 = costante [/math]
Questo vuol dire che se la velocità aumenta, affinchè resti valida la costanza del Teorema di Bernoulli, la pressione diminuirà.
Per l’equazione di continuità, sappiamo che la velocità può aumentare se esistesse una strozzatura lungo la tubazione, quindi una diminuzione di sezione del tubo.
Si ha che la pressione in questa strozzatura, anziché aumentare come si potrebbe pensare, diminuisce per la legge di Bernoulli.
Consideriamo il caso in cui la velocità si mantiene costante, tutto ciò si ricondurrà alla legge di Stevino.
Si avrà
[math]v=0[/math]
per cui la legge diventerà:
[math] p + \rho \cdot g \cdot h = costante [/math]

Per ulteriori approfondimenti sulla legge di Stevino vedi anche qua

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Domande da interrogazione

  1. Cos'è la portata massica e come si calcola?

    2. La portata massica, indicata con [math] \dot{m} [/math], rappresenta la massa che scorre attraverso una sezione nell'unità di tempo, misurata in [math]\frac{kg}{s}[/math]. Si calcola moltiplicando la portata volumetrica per la densità del fluido, secondo la formula: [math] \dot{m} = \rho \cdot \dot{V} = \rho \cdot A \cdot v [/math].

  2. Qual è la differenza tra fluidi ideali e fluidi reali?

    3. I fluidi ideali sono incomprimibili e non viscosi, privi di attrito interno, mentre i fluidi reali sono comprimibili e viscosi. La viscosità è la proprietà che distingue i due tipi di fluido, influenzando il moto e richiedendo termini correttivi nelle equazioni del moto.

  3. Cosa stabilisce l'equazione di continuità?

    4. L'equazione di continuità afferma che la portata attraverso un tubo di sezione variabile rimane costante. Se la sezione diminuisce, la velocità del fluido aumenta, e viceversa, esprimendo la relazione: [math] v_1 \cdot S_1 = v_2 \cdot S_2 [/math].

  4. Qual è il principio alla base del Teorema di Bernoulli?

    5. Il Teorema di Bernoulli si applica ai fluidi ideali in moto stazionario e afferma che la somma della pressione del fluido, della componente geodetica e della componente cinetica rimane costante lungo il condotto, esprimibile con: [math] p + \rho \cdot g \cdot h + \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v^2 = costante [/math].

  5. Come si semplifica la legge di Bernoulli in casi particolari?

    6. La legge di Bernoulli si semplifica nel caso di quota costante, diventando: [math] p + \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v^2 = costante [/math]. In questo caso, un aumento della velocità comporta una diminuzione della pressione, contrariamente a quanto si potrebbe pensare in una strozzatura del tubo.

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