Volatility smile e State Price Density: Un modello di trading in opzioni

“B&S”,

come modello di introdotto più di 40 anni fa, malgrado i suoi limiti intrinseci

13

derivanti dalle ipotesi di base alquanto irrealistiche , rappresenta tuttora lo standard di

europee. Nonostante l’incoerenza del

mercato per valutare le opzioni plain vanilla

osservazioni empiriche dell’andamento dei prezzi di mercato delle attività

modello con le

sottostanti, spesso la pratica finanziaria prevede di determinare le volatilità implicite

invertendo le formule di pricing. Non significa altro che prendere il prezzo di mercato di

opzioni call e put ordinarie liquide, inserirlo nel modello di B&S invertito ed ottenere

così la volatilità implicita (implied volatilities o IVs). In ogni momento, per ogni singola

attività sottostante, numerose opzioni call e put con differenti strike price e maturity

vengono negoziate nei mercati finanziari. Verosimilmente si possono ottenere interi

dataset di IVs. Abbiamo visto nel terzo paragrafo del secondo capitolo che rappresentando

le volatilità implicite osservate in funzione dei prezzi di esercizio si può ottenere la curva

di volatilità, e quindi il caratteristico smile, se la scadenza viene fissata; altrimenti, nel

caso in cui vengano considerate diverse maturity, si può ricavare la superficie di volatilità.

Pertanto, in contrasto con le ipotesi dichiarate, la volatilità implicita che deriva dal

modello di B&S non è costante (Kopa et al., 2017).

4.1 Stima della volatilità implicita e della state price density

Il modello che sta per essere presentato si basa sul presupposto che per valutare

un’opzione ordinaria europea si utilizzi la rinomata formula di pricing di B&S, già

esplicitata nel secondo paragrafo del Capitolo I nelle equazioni [1.1], [3.1] e [4.1], per il

calcolo di una call scritta su un titolo che non paga dividendi (Black and Scholes, 1973).

Il prezzo della relativa put può essere facilmente calcolato utilizzando la put-call parity,

ovvero la relazione che lega tra loro i prezzi di opzioni call e put, esclusivamente di tipo

Abbiamo visto nel secondo paragrafo del Capitolo I che le assunzioni all’origine del

13 modello di B&S

primis l’ipotesi di gaussianità dei log-rendimenti

implicano in del sottostante, la volatilità costante nonché

rischio deterministico; seguono l’assenza di opportunità di arbitraggio e della tassazione

il tasso privo di

più altre ipotesi che nei mercati finanziari, di fatto, non sono mai verificate.

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europeo. Essa mostra come il valore di una call (), con un determinato strike price ()

ed una certa scadenza (), può essere dedotto dal valore di una put () avente stesso

−

+ = +

prezzo di esercizio e stessa maturity, e viceversa. Analiticamente: ,

0

se così non fosse si presenterebbero opportunità di arbitraggio. Esprimendo tutto in

− −

= + − = − +

funzione di o di possiamo scrivere: e

0 0

(Hull, 2018). In generale, le opzioni scritte su uno stesso sottostante ma con differenti

strike price e maturity presentano volatilità implicite diverse. Per poterle ricavare, come

abbiamo detto in precedenza, la prassi di mercato consiste nell’utilizzare la formula di

dell’opzione,

B&S invertita, cioè ponendo come incognita la IV dato che il prezzo quotato

sul mercato, è osservabile. Risolvendo quindi il sistema composto dalle formule [1.1],

[3.1] e [4.1], ponendo come parametro sconosciuto, si ottengono le varie volatilità

quest’ultime

implicite. Ovviamente contrastano con le ipotesi di base del modello ed

infatti è stato dimostrato che le IVs possono assumere, come abbiamo visto in precedenza,

la classica forma dello smile di volatilità, o delle volatility surface nel caso in cui si

considerano più scadenze (Brockhaus et al., 2000; Flenger, 2005).

Ipotizziamo il seguente modello (Benko et. al., 2007):



) )

̃( , = ( , + , = 1, … , , [1.4]



) )

̃ = ̃( , = ( ,

dove indica la volatilità implicita osservata su e , è la

 rappresenta il “rumore” del modello, ed

controparte teorica, è il numero di

 = 1, . . . ,

osservazioni. Supponiamo inoltre che i termini di errori siano indipendenti

ed identicamente distribuiti (IID) con media zero e varianza finita. In altre parole, la

volatilità implicita osservata sul mercato, legata ad un determinato prezzo di esercizio ed

“teorica” più un errore, che

a una certa scadenza, è uguale alla volatilità implicita

rappresenta il disturbo del modello (la deviazione del valore di mercato osservato dal

,

valore teorico). Dal momento che non viene ipotizzato un modello esplicito per non si

può descrivere il processo del prezzo del sottostante parametricamente. Si utilizza quindi

uno strumento di analisi di regressione non parametrica per descrivere le dinamiche del

modello, applicando i cosiddetti stimatori polinomiali locali (Fan and Gijbels, 1995), al

fine di calcolare la superficie di volatilità, imponendo vincoli che eliminano le opportunità

di arbitraggio. Tali limiti rappresentano una condizione fondamentale delle teorie

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finanziarie. Il vincolo necessario per evitare la presenza di arbitraggi è il concetto di «state

14

price density » o SPD (Benko et al., 2007): 2 (,)

(,

, ) ∶= | . [2.4]

2

=

Combinando le precedenti formule [1.1], [3.1] e [4.1] derivanti dal modello di B&S con

l’equazione [2.4], dato che quest’ultima è collegata alla superficie di volatilità, si può

ricavare la relazione tra queste due grandezze. Pertanto, dopo alcuni passaggi algebrici,

si può ottenere la seguente uguaglianza (Benko et al., 2007):  

(, ) )

1 2 (,



   

1

(, ) (, ))

, = ( { + | +

√

1    

2 ) )√

(, (, =

2

  2

(, ) (, )

1 2 ( | ) + | }, [3.4]

 2

)

(,

= =

2 (,)/2)

( /)+(+

(,

) = , [4.4]

1 (,)√

(, (,

) = ) − (, )√, [5.4]

2 1

 (∙)

dove indica la funzione di densità di probabilità della distribuzione normale standard

(Brunner and Hafner, 2003). La SPD, la quale è una funzione di densità, corrisponde alla

derivata di secondo grado della funzione call di B&S rispetto al prezzo di esercizio ()

ed è espressa come funzione della superficie della volatilità implicita e delle sue derivate.

Inoltre, le tecniche non parametriche utilizzate possono condurre a stime dove la SPD è

negativa in alcune regioni del dominio di stima. Un suo valore negativo, tuttavia, coincide

In un mercato dinamicamente completo, l’assenza di opportunità di arbitraggio implica l’esistenza di una

14 ,

misura a martingala equivalente che è caratterizzata unicamente dalla state price density ( ) del

 ()

processo del prezzo del sottostante ( ). Pertanto, il prezzo di un derivato con una funzione di payoff

che dipende dall’attività con prezzo

( )

alla scadenza è data dalla ben nota formula di pricing

∞

 

 

− −

() (|ℱ ) (, ),

= = () , ∀ ∈ [0, ]

∫

arbitrage-free: . Questa formula è di

0

vitale importanza pratica dal momento che dalla stima della SPD possiamo immediatamente dare un prezzo

dall’approccio utilizzato (Benko

a qualsiasi derivato indipendentemente et al., 2007).

40

con un’opportunità di arbitraggio nel mercato (“free la non negatività,

lunch”);

naturalmente, deriva dal vincolo imposto di inesistenza di arbitraggi. Dal momento che

la condizione di non arbitraggio è una parte integrante della teoria finanziaria (Musiela

≥ 0).

and Rutkowoski, 1997), si vincola la SPD ad essere non negativa ( Ciò conduce

ad un problema di ottimizzazione vincolata non lineare. Per ottenere quindi gli stimatori

polinomiali locali si deve risolvere quindi un sistema di problemi di minimizzazione non

lineari per una data griglia di strike price e maturity (Kopa et al., 2017).

Al fine di implementare il metodo descritto fino ad ora, si ricorre ad una tecnica di

stima della volatilità implicita mediante la combinazione del modello di regressione

espresso dall’equazione [2.4] e del concetto di SPD, equazioni [3.4], [4.4] e [5.4]. Infine,

come ulteriore ipotesi, dal momento che in seguito si vorranno paragonare le SPD legate

a diversi sottostanti, caratterizzati infatti da diversi prezzi di esercizio, si standardizza la

volatilità implicita rispetto all’attività sottostante, considerando la moneyness futura ( )

∶= / =

come: , con , ovvero come rapporto tra lo strike price () ed il

dell’underlying

prezzo futuro asset ( ), cioè la posizione relativa del prezzo futuro del

sottostante rispetto al prezzo di esercizio, allo stesso modo visto nel terzo paragrafo del

secondo capitolo riguardo gli smile di volatilità (Benko et al., 2007).

Per stimare le volatilità implicite si possono utilizzare come dati di input i prezzi delle

()

opzioni call e put europee plain vanilla osservate sul mercato, con scadenza fissata.

Dal momento che la maturity è fissa possiamo semplificare il modello esplicitato



dall’equazione [2.4] ) ),

( ≝ ( , = 1, . . . ,

impostando con , dove indica il

.

numero delle IVs osservate con scadenza Algebricamente (Kopa et al., 2007):

) )

̃( = ( + , = 1, … , [6.4]

) ),

̃ ∶= ̃( ∶= (

dove e cioè la volatilità implicita os