Tesina su Sistema di sollevamento con attuatore SMA

Alma Mater Studiorum - Università di Bologna

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA DELL’ENERGIA

ELETTRICA E DELL’INFORMAZIONE

Corso di Laurea in Ingegneria dell’Automazione

Progetto di Controlli Automatici T-2

“Sistema di sollevamento con attuatore SMA”

Supervisori: Gruppo di lavoro:

Prof. Lorenzo Marconi Paolo Leonardo Gatti

Prof. Guido Carnevale Alessio De Fabritiis

Tutor Francesco Grimaldi Antonia Gennaro

Anno Accademico 2023-2024

Introduzione

In questa tesina verrà affrontato il progetto di un regolatore per il controllo di un sistema di

sollevamento con attuatore SMA, applicando le nozioni acquisite durante i corsi di Controlli

Automatici T-1 e Controlli Automatici T-2. Verranno presentate diverse tipologie di

risoluzione impiegando vari metodi di sintesi. Il primo passo consisterà nella modellizzazione

matematica del sistema. Successivamente si passerà alla realizzazione di controllori operanti in

retroazione; in particolare verranno progettati un sistema di controllo attraverso il metodo del

luogo delle radici e due sistemi di controllo mediante lo studio in frequenza. Infine, verrà

implementato un sistema di controllo digitale. Tutte le fasi di progettazione verranno sostenute

da considerazioni in merito all’andamento dei segnali nei vari sistemi di controllo lineari

implementati su Simulink. Verrà poi realizzato uno schema Simulink del modello non lineare e

valutata la robustezza del regolatore progettato per il sistema lineare a fronte di non linearità

introdotte dal sistema. Ogni diagramma utile nella comprensione della progettazione del

sistema di controllo verrà inserito nella tesina, accompagnato dal rispettivo codice Matlab

opportunamente commentato, in modo da poter comprendere velocemente la struttura e la

funzione svolta. L’obiettivo sarà quello di realizzare passo dopo passo un controllore robusto e

con performance ottimali. 2

Indice:

INTRODUZIONE .............................................................................................................................. 2

DINAMICA CONTROLLATA ............................................................................................................ 5

1.1 D ................................................................................................5

ESCRIZIONE DEL SISTEMA MECCANICO

1.2 M ..................................................................................................6

ODELLO MATEMATICO DEL SISTEMA

1.2.1 Modellazione sottosistema meccanico ...........................................................................................6

1.2.2 Modellazione sottosistema elettrico ..............................................................................................8

1.2.3 Modellazione sottosistema termico ...............................................................................................9

1.2.4 Sistema nello spazio degli stati ................................................................................................... 10

1.2.5 Calcolo della coppia di equilibrio .............................................................................................. 11

1.2.6 Sistema linearizzato .................................................................................................................. 11

INTRODUZIONE AL PROGETTO ................................................................................................... 12

2.1 S .................................................................................................................. 12

PECIFICHE DI PROGETTO

2.2 P .................................................................................................................. 13

ARAMETRI DEL SISTEMA

2.3 M M .............................................................................. 14

ODELLO LINEARIZZATO DEL SISTEMA SU ATLAB

2.3.1 Calcolo della coppia di equilibrio .............................................................................................. 14

2.3.2 Sistema linearizzato .................................................................................................................. 14

2.3.3 Diagrammi di Bode del plant ..................................................................................................... 15

2.3.4 Separazione delle dinamiche ...................................................................................................... 16

2.3.5 Simulink del modello lineare ...................................................................................................... 17

PROGETTO DEL CONTROLLORE ................................................................................................. 18

3.1 P ............................................................... 18

ROGETTO DEL REGOLATORE MEDIANTE LUOGO DELLE RADICI

3.1.1 Primo tentativo ........................................................................................................................ 18

3.1.2 Secondo tentativo ..................................................................................................................... 20

3.1.3 Simulink del modello lineare ...................................................................................................... 27

3.2 P ..................................................................... 28

ROGETTO DEL REGOLATORE MEDIANTE TUNING PRATICO

3.2.1 Regolatore statico .................................................................................................................... 28

3.2.2 Tracciamento del Bode del sistema esteso .................................................................................... 28

3.2.3 Regolatore dinamico................................................................................................................. 30

3.2.4 Simulink del modello lineare ...................................................................................................... 37

3.3 P .......................................................... 38

ROGETTO DEL REGOLATORE MEDIANTE FORMULE DI INVERSIONE

3.3.1 Regolatore statico .................................................................................................................... 38

3.3.2 Regolatore dinamico................................................................................................................. 40

3.3.3. Simulink del modello lineare ..................................................................................................... 54

3.3.4 Progetto della rete ritardatrice per cancellazione ......................................................................... 55

IMPLEMENTAZIONE DEL CONTROLLORE DIGITALE ................................................................ 65

4.1 P ..................................................................................................... 65

ROGETTO PER DISCRETIZZAZIONE

4.1.1 Realizzazione minima dei regolatori ........................................................................................... 65

4.1.2 Discretizzazione dei regolatori ................................................................................................... 66

4.2 S ................................................................ 67

IMULINK DEL MODELLO LINEARE CON REGOLATORI DIGITALI

SIMULINK DEL MODELLO NON LINEARE ................................................................................... 69

5.1 P ........................................................................................................................ 69

LANT NON LINEARE 3

5.2 S ................................................................................................ 70

ISTEMA DI CONTROLLO NON LINEARE

5.2.1 Schema Simulink ...................................................................................................................... 70

5.2.2 Risposta al gradino di riferimento .............................................................................................. 70

ANTI-WINDUP ................................................................................................................................ 71

6.1 C A - ............................................................................................................... 71

IRCUITO DI NTI WINDUP

CONCLUSIONI ............................................................................................................................... 73

4

Capitolo 1

Dinamica controllata

1.1 Descrizione del sistema meccanico 1

Il sistema in oggetto utilizza un attuatore basato su Shape Memory Alloy (SMA) per controllare

l’altezza di un carico. Una rappresentazione schematica del sistema viene fornita in Figura 1.1.

Figura 1.1: Rappresentazione schematica del sistema in considerazione.

In particolare, questo sistema è dato dall’interconnessione tra un sottosistema meccanico

(responsabile della movimentazione del carico), un sottosistema termico (che descrive la

temperatura al quale è sottoposto il filo SMA) ed un sottosistema elettrico (utilizzato per fornire

calore al filo SMA via Effetto Joule).

1 Shape Memory Alloy: leghe a memoria metallica (es. intermetallo Ni-Ti, noto come Nitinol): 5

Elementi costitutivi: T, I;

Filo SMA a temperatura variabile riscaldato tramite la corrente in ingresso

• Lo SMA si comporta come molla con rigidezza variabile ();

• Cella di Peltier a temperatura ;

•

r r

Puleggia con raggio interno e raggio esterno rapporto di riduzione ;

2

=

• 1 2,

1

m x.

Carico di massa a quota

• assegnare la tensione in ingresso in modo da portare il carico alla

Obiettivo di controllo: ()

∗ .

quota desiderata

1.2 Modello matematico del sistema

1.2.1 Modellazione sottosistema meccanico

In questa sottosezione, procediamo con la modellazione del sottosistema meccanico. A tal fine,

andiamo a concentrarci prima sulle due pulegge. Nello schema di Figura 1.2, vediamo la forza

dovuta allo SMA e la forza dovuta alla presenza del carico. Dunque, indicando con il

F F J

SMA m

momento d’inerzia θ,ω r 2

r 1 J

F

m F

sma

Figura 1.2: Forza applicate sulle pulegge.

del sistema rispetto all’asse passante nel centro delle pulegge e con la sua velocità angolare

ω

rispetto a questo asse, applichiamo la seconda legge di Newton rotazionale ottenendo:

−̇

() ( 1.1 )

1

()

̇ = − ⇒ =

1 2

2

Dopo aver ottenuto l’espressione di , andiamo a considerare il carico di massa

F m.

m 6

Figura 1.3: Forze applicate al carico.

Supponendo la presenza di un attrito viscoso con coefficiente ed indicando con

β g

l’accelerazione gravitazionale, applichiamo la seconda legge di Newton ottenendo

( 1.2 )

1

̈ = − − ̇ + = − − ̇ + − ̈ ( )

22

2

Quindi, da (1.2), otteniamo ( 1.3 )

1

(

� + � ̈ ) = − − ̇ +

22

2

Per concludere la modellazione del sistema meccanico, andiamo ad esprimere come

F

SMA ( 1.4 )

= (())∆

dove rappresenta la costante di rigidezza dello SMA espressa in funzione della temperatura

K(T)

al quale è sottoposto al tempo mentre ∆x rappresenta la deformazione del filo SMA. La

T(t) t,

costante di rigidezza segue l’espressione

K(T) 1 ( 1.5 )

�1 �

�()� = −

()−

1+

in cui , , e sono costanti che caratterizzano lo SMA. Per dettagliare invece la

K T T c

MAX avg diff

deformazione ∆x del filo SMA, andiamo ad indicare con la massima lunghezza del filo

l max

assumendo che quando è in 7

Figura 1.4: Deformazione filo SMA.

questa massima estensione il carico ha posizione verticale = 0 e che lo SMA è a riposo quando

z

il filo SMA ha una lunghezza (1 − , vedi Figura 1.4. Dunque, andiamo a riscrivere (1.4)

δ)l max

come ( 1.6 )

1

= �()� � − ()�

2

che quindi ci permette di riscrivere (1.3) come

( 1.7 )

1 1

(

� + � ̈ ) = − − ̇ + �()� � − ()�

22

2 2

un potenziometro permette di misurare la rotazione della puleggia (lettura

Sensore disponibile:

della posizione x).

1.2.2 Modellazione sottosistema elettrico

Andiamo ora a modellare il sottosistema elettrico tramite il quale generiamo calore per Effetto

Joule. Modelliamo il sistema tramite una tensione esterna applicata ad un’induttanza ed

L

() e

una resistenza messe in serie, vedi Figura 1.5. Dunque, indicando con la corrente generata

R ()

e

nel circuito al tempo t, 8

Figura 1.5: Schema elettrico.

la dinamica del sistema elettrico è ̇ ( 1.8 )

(

) = − () + ()

In questo progetto supporremo l’assenza di fenomeni induttivi, quindi imponendo Le = 0

otteniamo: ( 1.9 )

() = ()

1.2.3 Modellazione sottosistema termico

Per quanto riguardo la modellazione della dinamica della temperatura del filo SMA,

T(t)

andiamo a considerare i seguenti fenomeni: 2

Effetto Joule: potenza termica in ingresso () = ();

•

Capacità termica filo SMA: C

• TH

Potenza termica dissipata per convezione con l’ambiente: ()

= ℎ(() − ),

•

dove viene detto coefficiente di convezione, rappresenta la superficie di scambio tra il

h S

filo SMA e l’ambiente e la temperatura ambiente;

T amb ()−

Potenza termica dissipata con conduzione con cella di Peltier: dove è la

T

()

=

• p

ℎ

temperatura della cella di Peltier, mentre caratterizza la sua resistenza termica.

R

TH

Per rappresentare correttamente questi fenomeni consideriamo il circuito elettrico equivalente

rappresentato in Figura 1.6. Dunque, la temperatura (equivalente alla tensione applicata ai

T(t)

capi del secondo 9

1 ( )

/ hS R TH

( )

q t C

c TH T

T p

amb

Figura 1.6: Circuito elettrico equivalente.

ramo) segue la dinamica ()−

̇

2 ( 1.10 )

() )

() = − ℎ(() − −

ℎ ℎ

Avendo la relazione algebrica sostituiamo quest’ultima nell’equazione termica

() = ()

ottenendo la dinamica: 2 ()−

()

̇ ( 1. 11 )

)

() = − ℎ(() − −

ℎ

ℎ

1.2.4 Sistema nello spazio degli stati

Una volta ottenute le equazioni differenziali (1.7) e (1.11) possiamo rappresentare la dinamica

3

del sistema complessivo nello spazio degli stati. Per farlo andiamo a scegliere lo stato e

∈ ℝ

l’input come segue

∈ ℝ

1

∶= � � ∶= � �, = ()

2

̇

3

Ora ricaviamo il modello del sistema nello spazio degli stati.

2 ()

() ) −

ℎ( − 1

1

̇ = − −

1

ℎ ℎ ℎ ℎ

̇ =

2 3

1

1 1

())(

̇ = − − + ( − )

3 3 1 2

� � � � � �

2 2

+ + +

22 22 22

10

1.2.5 Calcolo della coppia di equilibrio

Data un’altezza desiderata supponiamo ora di voler calcolare una coppia di equilibrio

z ∈ ℝ,

⋆

3 in cui appunto lo stato abbia la seconda componente vincolata a ,

z

� , � ∈ ℝ × ℝ ⋆

ovvero

1,

∗

∶= � �

3,

A partire da questa informazione e dalla definizione di coppia di equilibrio, troviamo l’intera

e le rimanenti componenti , dello stato) del

coppia di equilibrio (ovvero l’ingresso

1, 3,

sistema ricavato precedentemente ponendo a 0 le derivate prime delle variabili di stato. I calcoli

sono stati riportati direttamente su Matlab.

1.2.6 Sistema linearizzato

Andiamo ad