Tesina Sistema elettrico

Facoltà di Ingegneria

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica

TESINA DI SISTEMI

Anno Accademico 2012/2013

Sistema elettrico del II ordine

non lineare

Studente:

Orrei Vincenzo matr 195\000368

Descrizione del sistema

I

1 R 2

I I

c L

v1 V

L

R 1 L

C V

c

| | u(t)

u(t)

Per t<0 il circuito è a riposo.

 All’istante t=0 i due generatori erogano una tensione u(t) ( ingresso del sistema);

 sistema

l’uscita y(t) del sistema è V (t).

 c

Il resistore R è non lineare, la sua equazione caratteristica è V = f(I ) = I ^

 2.

2 2 2 2

Consideriamo i seguenti valori: R = 2 Ohm;

1

C = 1 Farad;

L = 1 Henry.

Forma di stato e punti d’equilibrio

Per poter ottenere la forma di stato di questo sistema è necessario introdurre delle variabili;

abbiamo le seguenti relazioni:

Variabili di stato: X = V X = I

 1 C 2 L

La forma di stato del sistema è:

 . = +



x (-1/CR1) x – (1/C) x (1/CR ) u

1 1 2 1

 .

 =

x (1/L) x – (1/L) x ^2 – (1/L) u

 2 1 2

 =

y x

 1





P.D.E. e linearizzazione

Per poter calcolare i punti di equilibrio (per u = 6 V) di un sistema, si deve imporre che le derivate prime siano

nulle; ciò significa che i termini delle equazioni che lo descrivono, sono costanti nel tempo. Fisicamente si ha

che il sistema è in uno stato di equilibrio.

 . =

 x 0

1 •

 primo punto Peq1 (6 , 0);

. ⇒

 =

x 0

 2 • secondo punto Peq2 (10, -2);

 _

 =

u 6

V





Il sistema linearizzato nell’intorno del punto di equilibrio Peq1 (6,0) è

 :

 

 

.

δ δ

x x

 

 

1 1 − −

δ

= +    

1 1 1

A B u

 

   

.  

δ δ

x CR

x CR C

  [ ]

  =   =

= =

2 A

2   1

B D 0

C 1 0

1

1 −

 

1

 

0  

   

   

L

δ L

x [ ]

 

1

δ δ

= +

y C D u

 

δ x

 

2

La funzione di trasferimento del sistema linearizzato intorno al punto di equilibrio Peq1 è:

+

0 . 5 s 1

( ) = − + =

−

G s C ( s I A ) B D

1 + +

2

s 0 . 5 s 1

 Analisi del sistema relativo al punto d’equilibrio Peq1 (6,0) è :

. . .

Equ. in/out: Vc + (1/CR1)Vc + (1/CL)Vc = (1/CR1)u +(1/CL)u

 .

Guadagno statico G(0) = 1

 +

 Poli complessi e coniugati s = - 0.25 _ j 0.97

Il sistema linearizzato nell’intorno del punto Peq1(6, 0) è asintoticamente stabile.

 La costante di tempo T è 1/0.25 = 4;



tempo di simulazione = 25



Wn = 1





il fattore di smorzamento è uguale a 0.25.

G1(s) può essere riscritto in questa

 forma: +

1 0.5 S

+ +

(s 0.25)^2 (0.97)^2

Il sistema linearizzato nell’intorno del punto di equilibrio Peq1 (10, -2) è

 :

− −

   

1 1 1

 

.  

 

δ

δ  

h

h CR

CR C

 

1 δ

1 =

= +  

=

A

A B u   1

B

  1

  δ 1 4 −

h  

. 1

   

δ h 2

   

 

2    

L L L

δ

 

h [ ] [ ]

δ δ

1

= +

y C D u =

C 1 0

  =

D 0

δ h

 

2

La funzione di trasferimento del sistema linearizzato intorno al punto di equilibrio Peq2 è:

−

0 . 5 s 7

( ) = − + =

−

1

G s C ( s I A ) B D − −

2

s 2 s 7

Poli reali e distinti : S1 = - 1.8; S2 = 3.8;

 Il sistema linearizzato nell’intorno del punto Peq2(10; -2) è instabile siccome il polo dominante si

 trova a destra dell’asse immaginario.

Step response

Impulse response

Risposta armonica • Il sistema linearizzato

si comporta come un

filtro passa banda.

• Vengono filtrati

segnali che rientrano

in questo range di

pulsazioni:

o Ragionando in termini

di frequenze si ha la

seguente banda

passante:

Schema Simulink

Sistema non Lineare

1 k

u 1 /CR1 1

k 1

s x1

Inte gra to r

k

1 /C A dd

1/CR1 . 1/L

A d d1 k 1/.L1

1

s k

In te g ra to r2 M a th

1/L. Fun ction

u2

k