Tesina Sistema elettrico

Facoltà di ingegneria

Corso di laurea in ingegneria informatica

Tesina di sistemi

Anno accademico: 2012/2013

Sistema elettrico del II ordine non lineare

Studente: Orrei Vincenzo matr 195\000368

Descrizione del sistema

I₁ R 2I I_c L
v₁ V_L R 1 L C V_c | | u(t)
Per t < 0 il circuito è a riposo.

• All’istante t = 0 i due generatori erogano una tensione u(t) (ingresso del sistema);
• L’uscita y(t) del sistema è V_c(t).
• Il resistore R è non lineare, la sua equazione caratteristica è V = f(I) = I².

Consideriamo i seguenti valori:

• R = 2 Ohm;
• C = 1 Farad;
• L = 1 Henry.

Forma di stato e punti d’equilibrio

Per poter ottenere la forma di stato di questo sistema è necessario introdurre delle variabili; abbiamo le seguenti relazioni:

Variabili di stato: X₁ = V_C, X₂ = I_L

La forma di stato del sistema è:

\[ \begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/CR_1 & -1/C \\ 1/L & -1/L \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1/CR_1 \\ 0 \end{bmatrix} u \]

y = x₁

P.D.E. e linearizzazione

Per poter calcolare i punti di equilibrio (per u = 6 V) di un sistema, si deve imporre che le derivate prime siano nulle; ciò significa che i termini delle equazioni che lo descrivono sono costanti nel tempo. Fisicamente si ha che il sistema è in uno stato di equilibrio.

\[ \begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]

- Primo punto Peq1 (6, 0);

- Secondo punto Peq2 (10, -2);

\[ \begin{bmatrix} u \\ 6V \end{bmatrix} \]

Il sistema linearizzato nell’intorno del punto di equilibrio Peq1 (6,0) è:

\[ \delta \dot{x} = \begin{bmatrix} A \end{bmatrix} \delta x + \begin{bmatrix} B \end{bmatrix} \delta u \]

\[ \begin{bmatrix} \delta y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C \end{bmatrix} \delta x + \begin{bmatrix} D \end{bmatrix} \delta u \]

La funzione di trasferimento del sistema linearizzato intorno al punto di equilibrio Peq1 è:

\[ G(s) = C(sI - A)^{-1}B + D \]