Tesi elaborazione immagini digitali mammografiche

A

sorgente come , mentre e sono altre due immagini che ad ogni loro punto contengono le

approssimazioni delle derivate orizzontali e verticali, si procede in questo modo:

A A

=[ ] =[ ]

* *

Dove denota il simbolo di convoluzione bidimensionale.

La coordinata x è qui definita come crescente andando da sinistra verso destra, mentre la

y aumenta andando dall‟alto verso il basso. Ad ogni punto dell‟immagine,

coordinata del gradiente

dall‟approssimazione possono essere ricavati rispettivamente il valore del modulo e

della direzione:

=√ = ( , )

Dove atan2 è definita come: ,

,

= , =

, =

= , =

{

12 Tecniche per il miglioramento dell’analisi automatica di immagini mammografiche

Θ

Ad esempio varrebbe 0 per un edge verticale che ha un pixel più scuro al suo lato destro.

2.2.3 Istogramma

Nella muscle detection, il problema può essere approcciato in vari modi, nel nostro metodo si è

presa la strada dell‟applicazione della funzione prewitt, successivamente si è deciso di utilizzare i

dati derivati da tale applicazione per costruire un istogramma. Teoricamente si è ragionato sul fatto

che in una radiografia normalizzata il muscolo, nella maggior parte dei casi, possiede degli edges

pressoché uniformi, quindi approssimabili con una retta. In corrispondenza del tessuto muscolare,

più precisamente sul margine che separa tessuto muscolare da tessuto mammario, le direzioni dei

gradienti sarebbero uniformi, per cui si rivelano fondamentale i risultati di prewitt che

modulo). L‟istogramma si costruisce

opportunamente sono memorizzati in due matrici (direzione e

prendendo la matrice delle direzioni dei gradienti, quindi è concentrato su un certo range in termini

radianti [0; 2π],

di viene quindi fatta una scansione di suddetta matrice, si stabilisce un valore

minimo riferito ai moduli da usare come soglia, se ne prendono quelli al di sopra e si vanno a

mappare i valori delle direzioni corrispondenti sul grafico.

10000

9000

8000

7000

6000

5000

4000

3000

2000

1000

0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Figura 2.2.3.a: rappresentazione grafica della prima parte dell'istogramma come costruito

nell’algoritmo [0,100]

13 Tecniche per il miglioramento dell’analisi automatica di immagini mammografiche

10000

9000

8000

7000

6000

5000

4000

3000

2000

1000

0 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

Figura 2.2.3.b: rappresentazione grafica della seconda parte dell’istogramma come costruito

nell’algoritmo [100,200]. si è mappato l‟intervallo [0, 2π] nell‟intervallo [0, 200],

Nella costruzione del nostro istogramma

che nell‟algoritmo è stata inizializzata a 200.

con la variabile Nbin Questo per motivi empirici,

altrimenti avremmo avuto probabilmente un istogramma più largo con picchi di altezza diversa da

quelli attuali.

Nelle due figure precedenti è rappresentato l‟istogramma scaturito dai dati sperimentali su una

delle immagini del nostro campione. Per ragioni di spazio è stato diviso in due parti. Poichè

l‟angolo del muscolo pettorale rispetto all‟asse delle ascisse è compreso tra 0 e π/2 , l‟area di nostro

prima parte, in particolare nei picchi intorno all‟ascissa 50.

interesse è concentrata nella

Di segito è riportata una slice ingrandita della parte a più alta concentrazione di picchi.

14 Tecniche per il miglioramento dell’analisi automatica di immagini mammografiche

1000

900

800

700

600

500

400

300

200

100

0 1 11 21 31 41 51 61

Figura 2.2.3.c: Parte ingrandita con più alta concentrazione di picchi dell’istogramma

15 Tecniche per il miglioramento dell’analisi automatica di immagini mammografiche

la dimensione del vettore rappresentante l‟istogramma come

Fissata Nbin, prendiamo l come

suo indice di riempimento e viene scandita la matrice delle direzioni. Si va a valutare per ogni

( )

, , -

elemento, se il corrispondente valore è compreso nel range .

corrispondente nell‟

Se la condizione è verificata, viene incrementato il valore istogramma e si

passa all‟ elemento successivo, altrimenti viene incrementato l in modo da cambiare range e si va

ancora la stessa condizione. Una volta terminato c‟è bisogno di creare una nuova

a valutare è applicato quindi un metodo che dai valori presenti nell‟istogramma

immagine con i dati ricavati, riguardante i valori dell‟istogramma in modo

risale alle coordinate si fissa un minimo sogliaPicco valore dell‟istogramma e

da prendere solo quelli più elevati. Siano v il j-esimo elemento

j i

l‟elemento i-esimo della matrice delle direzioni dei gradienti; ragionando in maniera inversa a

quella precedente viene scandito l‟istogramma e vengono presi gli indici j corrispondenti ai valori

maggiori di sogliaPicco, si verifica se elemento è compreso in

i

( )

, , - e se la condizione è soddisfatta la coordinata di elemento i

viene memorizzata e questa corrisponde a quella del pixel che sarà messo in evidenza sulla nuova

immagine blank .

2.2.4 Closing

è un insieme di due operazioni fondamentali svolte in successione sull‟immagine:

Il closing dilation

e erosion.

Dilation è usata per espandere elementi presenti in una immagine usando structuring elements

(come ad esempio un kernel rettangolare) .Essa è definita dalla seguente equazione:

centrato nell‟origine, abbiamo che

Supposto che B sia il nostro structuring element A dilate B può

essere definito come il luogo dei punti coperti da B mentre il suo centro viene mosso sui margini di

A.

16 Tecniche per il miglioramento dell’analisi automatica di immagini mammografiche

Figura 2.2.4: A dilate B effettuata graficamente

al contrario dell‟operazione precedente,

Erosion, è usata invece per contrarre. Essa è definita come:

centrato nell‟origine)

In pratica A erosion B (B structuring element è il luogo dei punti raggiunti

mosso all‟interno di

dal centro di B mentre B stesso viene A toccandone sempre i margini.

Figura 2.2.5: A erode B effettuata graficamente

2.2.5 Ransac

RANSAC sta per RANdom Sample And Consesus, si tratta di un algoritmo iterativo per la stima

dei parametri di un modello. È un algoritmo non deterministico, pubblicato da Fischler e Bolles nel

1981, basato sulla selezione casuale degli elementi generatori del modello.

17 Tecniche per il miglioramento dell’analisi automatica di immagini mammografiche

RANSAC, e tutte le sue varianti, possono essere viste come un algoritmo che iterativamente si

alterna tra due fasi: la fase di generazione delle ipotesi (hypothesis generation) e la fase di

valutazione delle ipotesi (hypothesis evaluation). L'assunzione di base per il funzionamento è che i

dati siano costituiti da inlier, dati la cui distribuzione può essere caratterizzata dall'insieme di

parametri di un modello, e outlier cioè dati che non sono rappresentati da tale modello, inoltre i dati

possono essere affetti da rumore. Nel nostro caso, ad esempio, alla fine si arriva ad un modello che

è fortemente condizionato dagli outlier. Gli outlier possono provenire, ad esempio, da valori estremi

del rumore o da misure erronee o ipotesi incorrette sull'interpretazione dei dati. RANSAC assume

inoltre che, dato un insieme (solitamente ridotto) di inlier, esiste una procedura che può stimare i

parametri di un modello che rappresenta in modo ottimale i dati.

L'algoritmo consiste nel selezionare casualmente s campioni fra tutti gli n campioni in

s

ingresso X ={x .......,x }, con sufficientemente grande per ricavare un modello (l'ipotesi).

1, n n X

Ottenuta un'ipotesi, vengono contati quanti degli elementi di sono abbastanza vicini ad essa

x

per appartenergli. Un campione S appartiene o meno al modello (ovvero è un inlier o

un outlier) se la sua distanza rispetto al modello d (x) è inferiore o superiore a una soglia data ,

β

soglia normalmente dipendente dal problema. In questo caso è comunque necessario definire una

p

probabilità di individuazione degli inlier per definire la soglia . Tutti gli elementi in ingresso che

soddisfano l'ipotesi si chiamano consensi (consensus). L'insieme dei consensi S associati

β β

all'ipotesi è il consensus set di : ( )=* ( ) +

Tra tutti i modelli generati casualmente viene infine scelto il modello che soddisfa una determinata

metrica, per esempio, per RANSAC originale, quella che ha il consenso di cardinalità massima.

Uno dei problemi è scegliere quante ipotesi generare per avere una buona probabilità di ottenere il

N

modello corretto. Esiste una relazione statistica tra il numero di iterazioni e la probabilità p di

individuare una soluzione di soli inlier: ( )

= ( ( )

indicando con la probabilità a priori della densità degli outlier e s il numero di punti necessari a

definire un modello.

Di seguito è riportato lo pseudocodice della variante Locally Optimized RANSAC, Nella nostra

trattazione, particolare importanza assumono i parametri t e d che vanno presi in base a valutazioni

sperimentali .

18 Tecniche per il miglioramento dell’analisi automatica di immagini mammografiche

input:

dati - un insieme di osservazioni

modello - un modello che può essere assegnato ai dati

n - il numero minimo di dati per cui si richiede la appartenenza al modello

k - il numero di iterazioni eseguite dall'algoritmo

t - un valore di soglia per determinare quando un dato appartiene al modello

d - il numero di dati "vicini" richiesti per asserire che un modello

rappresenta bene i dati

output:

miglior_modello - parametri del modello che meglio rappresenta i dati (o nil

se nessun modello sufficientemente buono viene trovato)

miglior_consensus_set - dati dai quali il modello è stato stimato

miglior_errore - l'errore del modello stimato relativo ai dati

algoritmo:

iterazioni := 0

miglior_modello := nil

miglior_consensus_set := nil

miglior_errore := infinito

while iterazioni < k

possibili_inlier := n valori scelti casualmente dai dati

possibile_modello := parametri del modello stimati su possibili_inlier

consensus_set := possibili_inlier

for ogni punto di dati not in possibili_inlier

if punto appartiene a possibile_modello con un errore minore di t

aggiungi punto a consensus_set

if numero di elementi in consensus_set > d

(implica che abbiamo trovato un buon modello,

testiamo ora quanto è buono)

modello_migliorato := parametri del modello stimato su tutti i punti di

consensus_set

errore_attuale :=misura di quanto bene mod