Su alcuni aspetti della filosofia del linguaggio di Frege

REGE ENCO ICARDI1720soggetto a obiezioni: com'è possibile che le due espressioni abbiano lo stesso significato se esprimono pensieri differenti?

Frege risponde che anche due uguaglianze come 4 · 4 = 16 e 4² = 16 esprimono pensieri diversi, ma in questo caso siamo più facilmente disposti a riconoscere che hanno lo stesso significato, perché le espressioni "4 · 4" e "4²" si riferiscono allo stesso numero. Quindi due espressioni possono avere lo stesso significato pur esprimendo pensieri differenti, o con le parole di Frege "l'uguaglianza di significato non implica l'uguaglianza di pensiero".

Abbiamo visto che la funzione x² = 1 assume come valore sempre un valore diverso. Per gli argomenti -1 e 1 assume il valore Vero, e si dice allora che i numeri 1 e -1 cadono sotto il concetto di radice quadrata di 1, mentre i numeri 0 e 2, come tutti gli altri, non cadono sotto il.

posto vuoto, si ottiene un segno del valore, che è la città di Madrid. In altre parole, il segno funzionale "la capitale di" denota una funzione che ha come decorso di valori Ibid., pp. 12-13. l'insieme delle coppie stato/capitale dello stato. Quindi, l'espressione funzionale "la capitale di" non denota un concetto.

Denota un concetto, invece, un predicato o termine concettuale, cioè un'espressione insatura ottenuta eliminando un termine singolare da un enunciato dichiarativo o assertorio. Partiamo, ad esempio, dall'enunciato assertorio "Socrate è un filosofo" ed eliminiamo il nome proprio "Socrate", ottenendo l'espressione insatura "è un filosofo". Questa espressione insatura denota un concetto, cioè una funzione che a ogni oggetto preso come argomento associa come valore un valore di verità: il concetto in questione, che non è altro che il concetto

Di filosofo, assume il valore Vero per gli argomenti Socrate, Aristotele, Cartesio, Kant ecc., e il valore Falso per tutti gli altri oggetti, presi come argomenti, che non siano filosofi. Frege chiama estensione del concetto l'insieme di tutti gli oggetti che cadono sotto il concetto, cioè l'insieme degli oggetti che presi come argomenti del concetto danno come valore il Vero. Due concetti hanno la stessa estensione se assumono lo stesso valore di verità per gli stessi argomenti.

Come si è visto, un enunciato si ottiene combinando un predicato o termine concettuale con un termine singolare, e a questo processo sintattico corrisponde al livello semantico la saturazione del concetto denotato dal predicato con l'oggetto che è denotato dal termine singolare. Ma che cos'è un oggetto? La risposta di Frege è la seguente:

Oggetto è tutto quel che non è funzione, la cui espressione pertanto non reca con sé alcun

Per oggetti Frege intende, quindi, non solo i numeri ma anche persone, luoghi, cose astratte, valori di verità, estensioni dei concetti, oggetti di tutti i tipi, insomma tutto ciò che, al contrario delle funzioni, è saturo. ^[1]

Abbiamo detto che il riferimento di un termine singolare è un oggetto, e di conseguenza anche il Vero e il Falso sono oggetti, dato che sono i due possibili riferimenti degli enunciati, che, a loro volta, sono nomi propri, appunto, del Vero e del Falso. Infatti, gli enunciati assertori non hanno posti vuoti e il loro significato deve essere necessariamente un oggetto. Il significato di un predicato, invece, è un concetto. Come mai non è la sua estensione? Perché l'estensione di un concetto è un insieme, che è qualcosa in sé conchiuso, quindi un oggetto, mentre un predicato, cioè un enunciato assertorio privato di un termine singolare, denota qualcosa che è ^[2]

^[1] Frege, G. (1922). La logica dei concetti, p. 16.

^[2] Ibid., p. 19.

A suavolta insaturo. Abbiamo detto che l'estensione di un concetto è l'insieme degli oggetti che cadono sotto il concetto, così l'estensione del concetto "essere blu" è l'insieme di tutte le cose blu. Il significato del predicato o termine concettuale "è blu", invece, è la funzione che, per ogni oggetto che si prende come argomento, assume il valore Vero se l'oggetto è blu, il valore Falso se l'oggetto non è blu. In altre parole, possiamo dire che il concetto denotato dal predicato "è blu" mette in corrispondenza ciascuna singola cosa blu con il valore Vero, e ciascuna singola cosa non blu con il valore Falso. Ora, dice Frege, le funzioni devono necessariamente assumere un valore per ogni argomento: in particolare, per ogni concetto denotato da un predicato, bisogna poter dire, per ogni oggetto, se esso cade sotto il concetto oppure no. Il concetto può essere vuoto,

Cioè è possibile che sotto il concetto non cada nessun oggetto. Per esempio sotto il concetto denotato dal predicato "è un unicorno" non cade nessun oggetto. Quindi, l'estensione del concetto denotato da "è un unicorno" è un insieme vuoto perché il concetto associa a ogni oggetto il valore Falso.

Un termine concettuale C si può sostituire salva veritate con un altro termine concettuale D se i due concetti denotati da C e D hanno la stessa estensione. Se un oggetto cade sotto un concetto cade anche sotto tutti i concetti che hanno la stessa estensione. Ovviamente cambia il pensiero con la sostituzione, ma il significato dell'enunciato, il valore di verità, rimane lo stesso. Questo tema verrà esposto in maniera approfondita alla fine del capitolo.

L'analisi delle funzioni non si ferma qui. Oltre alle funzioni i cui argomenti e i cui valori sono oggetti, chiamate da Frege funzioni di primo livello,

L'analisi semantica di un enunciato come "Qualche oggetto è rosso" si configura, secondo il modello di Frege, nel modo seguente: abbiamo il concetto di primo livello denotato dal predicato "è rosso" che figura come argomento del concetto di secondo livello denotato da "Esiste almeno un oggetto dell'universo che cade sotto il concetto ()". In altre parole, si può dire che il valore di verità dell'enunciato "Qualche oggetto è rosso" è il Vero perché l'estensione del concetto di primo livello denotato da "è rosso" non è vuota, cioè comprende almeno un oggetto, il che vuol dire che ad almeno un oggetto quel concetto di primo livello associa il Vero come valore. Invece, il riferimento dell'enunciato "Qualche oggetto è diverso da se stesso", per esempio, è il Falso perché l'estensione del concetto

livello denotato da “Tutti gli oggetti dell’universo cadono sotto il concetto( )”. Il valore di verità dell’enunciato “Ogni oggetto è rosso” è il Vero solo se l’estensione del concetto di primo livello denotato da “è rosso” comprende tutti gli oggetti dell’universo, cioè se quel concetto di primo livello associa a ogni oggetto il Vero come valore. Nel nostro esempio, il valore di verità dell’enunciato che risulta ponendo nel posto di argomento del quantificatore “Ogni oggetto”, che denota un concetto di secondo livello, il predicato “è rosso”, che denota un concetto di primo livello, è il Falso perché l’estensione del concetto di primo livello in questione non comprende tutti gli oggetti dell’universo. Mentre, per esempio, il riferimento dell’enunciato “Ogni oggetto è identico a se stesso” è il Vero