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Modelli per l'interazione fluido-struttura nelle turbomacchine

Di Marco Canovaro

Il problema

Introduzione ai modelli per l'interazione fluido-struttura

Nel mondo moderno, lo studio di un sistema che coinvolga un fluido interagente con un solido ricopre un ruolo di estrema importanza in ogni branca dell'ingegneria, trovando applicazioni più disparate. Queste spaziano dallo studio del fluido interagente con le palettature in ambito turbomacchinistico [1], all'analisi dell'interazione tra il flusso sanguigno e la parete arteriosa [2], fino, addirittura, allo studio degli impatti di una colata detritica sugli edifici [3].

Visti i numerosi campi di applicazione, è importante contestualizzare adeguatamente il problema per riuscire a comprendere in modo sistematico come muoversi nella trattazione di un problema così vasto. A tal proposito, la seguente trattazione si pone l'obiettivo di delineare una panoramica di quelli che sono i principali metodi di modellazione per l'interazione fluido-struttura utilizzati in ambito turbomacchinistico, senza, tuttavia, la pretesa di analizzare ogni singolo aspetto relativo a questa branca dell'ingegneria.

Come già detto, data la vastità di applicazioni, lo sviluppo di un modello agli elementi finiti più efficiente ricopre un ruolo di primaria importanza in numerosi ambiti di ricerca. Ciò è dovuto al fatto che, grazie all'avanzare della tecnologia e della capacità computazionale dei dispositivi moderni, il metodo ad elementi finiti ed il metodo a volumi finiti sono diventati molto diffusi e hanno raggiunto dei costi ragionevoli nell'ambito delle ricerche scientifiche ed ingegneristiche.

Lo studio di un corpo immerso in un fluido vede la necessità di dover trattare due elementi di natura differente, appunto il solido e il fluido. Questi sono soggetti a comportamenti differenti e sono modellati ciascuno in modo peculiare, viste le differenti leggi fisiche che li governano. A tal proposito, ricopre un ruolo fondamentale non solo la modellazione con la quale vengono ottenute le soluzioni di fluido e struttura, ma anche la strategia mediante la quale viene effettuata la relazione tra i due domini e le particolari condizioni al contorno da imporre sulla superficie di interazione tra essi.

Esistono numerose strategie per riuscire a risolvere il problema relativo all'interazione tra fluido e struttura. La selezione del metodo più efficace dipende fortemente dall'applicazione e dalle caratteristiche del problema da analizzare. In particolare, il modello matematico utilizzato nella descrizione del comportamento del fluido gioca un ruolo decisivo nella scelta della procedura risolutiva migliore.

La categoria di problemi relativa allo studio dell'interazione fluido-struttura (FSI) è generalmente affetta da una mutua dipendenza tra solido e fluido. Il comportamento del fluido è fortemente influenzato dalla struttura con la quale interagisce e dal suo movimento, mentre il moto e la deformazione della struttura dipendono dal comportamento del fluido. È importante sottolineare che questa mutua interazione non è sempre verificata; talvolta l'interazione fluido-struttura ha una sola direzione: il fluido può influenzare la struttura senza che la struttura influenzi in modo rilevante il flusso con la quale interagisce. La distinzione tra questi due casi (rispettivamente one-way e two-way) verrà analizzata successivamente.

Gli effetti dovuti allo studio dell'interazione FSI sono rintracciabili negli ambiti più disparati: in ingegneria, medicina, e anche in episodi di vita quotidiana. È possibile definire alcuni esempi in cui il comportamento FSI diventa rilevante: il fluttering delle ali di un aereo [4], il volo di un insetto con ali flessibili [5], la deflessione delle pale di una turbina eolica [6], il gonfiaggio di un airbag [7], la dinamica dei paracadute dei veicoli spaziali [8], i carichi accidentali sulle navi dovuti alla messa a terra e al contatto con il fondale [9], il pompaggio del sangue dai ventricoli del cuore umano accompagnato dall'apertura e chiusura delle valvole cardiache e dalla dinamica del flusso sanguigno nell'analisi di aneurismi cerebrali [10].

Nelle applicazioni ingegneristiche, lo studio FSI gioca un ruolo importante ed influenza anche le decisioni da prendere in termini di design. Pertanto, metodi FSI che siano affidabili e che aiutino ad affrontare con maggiore sicurezza questi problemi sono fortemente richiesti dall'industria, nei laboratori di ricerca, in ambito sanitario, in ambito di esplorazione spaziale, e molti altri contesti. Una delle principali sfide nell'interazione fluido-struttura consiste nella necessità di risolvere equazioni differenziali parziali complesse che descrivono il comportamento del fluido e della struttura, e di sviluppare un metodo efficace per l'interazione tra i due modelli.

Il problema della FSI insorge quando il fluido è soggetto a campi di pressione e velocità tali da imprimere sollecitazioni importanti sul solido, andando a condizionare fortemente il fluido e l'interazione fra i due sistemi, rendendo il problema complesso. Questo, per esempio, è il caso delle turbomacchine e motori a combustione interna. Tuttavia, è necessario, al fine di prevedere le sollecitazioni a cui sarà sottoposta la macchina durante la sua vita utile, descrivere quelle che sono le interazioni dinamiche tra fluido e struttura nel procedimento più accurato possibile e al contempo fattibile da un punto di vista computazionale con i mezzi a disposizione attualmente.

Ovviamente ci possono essere approcci differenti per riuscire a risolvere tale aspetto, alcuni dei quali prevedono una soluzione monolitica o partizionata. Ognuno di questi metodi verrà descritto nel corso della trattazione seguente.

Ruolo della modellazione FSI

La natura intrinsecamente non lineare e dipendente dal tempo del FSI rende difficoltoso l'utilizzo di un metodo analitico in questa classe di problemi. Solo una manciata di casi è stata risolta analiticamente, grazie ad una serie di ipotesi semplificative tali da permettere di ricavare una soluzione in forma chiusa delle equazioni alle derivate parziali relative al problema.

D'altra parte, ci sono stati progressi significativi nella ricerca FSI computazionale, specialmente negli ultimi decenni, sia nei metodi FSI generali, sia metodi FSI speciali mirati a classi di problemi specifici. Il punto focale di questi progressi è stata la ricerca di metodi computazionali che siano robusti, efficienti e accurati nella modellazione FSI in 3D e con configurazioni geometriche complesse.

Sfide della FSI computazionale

Le principali sfide alla quale deve far fronte la FSI computazionale possono essere riassunte sostanzialmente in tre diverse aree: La formulazione del problema, la discretizzazione numerica e l'accoppiamento fluido-struttura.

La formulazione del problema avviene a livello continuo, prima della discretizzazione. Tuttavia, bisogna tenere presente che le scelte di modellazione effettuate a livello continuo hanno implicazioni per le discretizzazioni numeriche più adatte al caso in esame.

In un tipico problema di meccanica a campo singolo (o dominio singolo), cioè un problema o solo fluidodinamico oppure solo strutturale, il punto di partenza dell'analisi consiste in un insieme di equazioni differenziali nel dominio del problema e un set di condizioni al contorno imposte sul confine del dominio stesso. Il dominio può essere o non essere in movimento; come vedremo in seguito, questo implicherà differenze sostanziali sulla definizione del problema.

La situazione per un problema FSI è più complicata. Il set di equazioni differenziali e condizioni al contorno associate al fluido e alla struttura devono essere soddisfatte simultaneamente. I domini non devono sovrapporsi, e i due sistemi sono accoppiati all'interfaccia fluido-struttura, che richiede un set di condizioni al contorno che rispecchino il significato fisico del problema. Queste condizioni di accoppiamento sono la compatibilità della cinematica e degli sforzi all'interfaccia fluido-struttura.

Il dominio della struttura è in movimento e, nella maggior parte dei casi, il suo movimento segue le sue particelle materiali, o punti, che costituiscono la struttura. Questa è nota come descrizione lagrangiana del moto strutturale. Man mano che la struttura si muove nello spazio, la forma del sottodominio fluido cambia per conformarsi al movimento della struttura. Il moto del dominio fluido necessita di essere tenuto in considerazione nelle equazioni differenziali e nelle condizioni al contorno.

Ci sono due maggiori classi di metodi utilizzati per impostare un setting discreto: approcci a dominio fisso e approcci a dominio variabile. Inoltre, il moto del dominio fluido non è noto a priori ma è una funzione degli spostamenti strutturali incogniti. Questo rende FSI un problema riguardante tre diversi domini, dove il terzo campo incognito è il movimento del dominio fluido.

Essendo questo un problema di modellazione numerica, è da tenere in considerazione il fatto che tutti i problemi relativi alla discretizzazione numerica di un problema riguardante un singolo campo, come l'accuratezza, la stabilità, la robustezza, la velocità di esecuzione e la capacità di gestire geometrie complesse, sono ugualmente presenti in un problema FSI. Le sfide aggiuntive in FSI derivano dalla discretizzazione dell'interfaccia fluido-struttura.

Esistono due principali classi di accoppiamento FSI: ad accoppiamento debole (loosely-coupled) e ad accoppiamento forte (strongly-coupled), anche chiamati rispettivamente come separate o partizionate (staggered) e monolitiche o simultanee (monolithic). L'accoppiamento monolitico si riferisce spesso ad un forte accoppiamento con corrispondenti discretizzazioni dell'interfaccia. Invece, negli approcci debolmente accoppiati, le equazioni della meccanica dei fluidi, della meccanica strutturale e del movimento della mesh sono risolte in sequenza.

Le soluzioni partizionate sono molto diffuse in letteratura e sono caratterizzate da una discretizzazione svolta separatamente per i singoli sottodomini di interesse. Questo comporta una mesh non corrispondente all'interfaccia a causa del fatto che viene sviluppato un calcolo iterativo per riuscire a raggiungere la soluzione del problema di interazione dei vari domini. Infatti, in questa tipologia di accoppiamento vedremo una risoluzione distinta dei due domini (fluido e solido) nelle variabili di interesse (forze, velocità o spostamenti) all'interfaccia, che verrà trasmessa iterativamente da un campo all'altro fino ad arrivare alla convergenza della soluzione per ogni time-step.

Tuttavia, l'utilizzo di questa tipologia di accoppiamento porta ad una mancanza di flessibilità nelle scelte della discretizzazione e nei livelli di raffinamento della mesh per i sottoproblemi fluido-strutturali. D'altra parte, tale flessibilità diventa sempre più importante con l'aumentare della complessità della geometria dell'interfaccia fluido-struttura. Dunque, in determinate situazioni avere discretizzazioni corrispondenti all'interfaccia risulta l'approccio più efficace.

È possibile fornire un esempio di risoluzione di un tipico algoritmo debolmente accoppiato. Per un dato passo temporale, prevede di ricavare la soluzione delle equazioni della meccanica dei fluidi mediante l'utilizzo delle condizioni al contorno di velocità provenienti dagli spostamenti della struttura estrapolata all'interfaccia. Dopodiché viene ricavata la soluzione delle equazioni della meccanica strutturale aggiornata con gli sforzi e le grandezze compiute dal fluido e ricavate dall'interfaccia, seguita, infine, dalla soluzione delle equazioni di movimento della mesh con lo spostamento strutturale aggiornato all'interfaccia.

Questo comportamento di un risolutore iterativo permette l'utilizzo di risolutori di fluidi e strutture già esistenti, fattore che diventa estremamente importante e che può spostare gli equilibri per la scelta dell'approccio risolutivo ideale in una determinata casistica. Inoltre, è notevole affermare il funzionamento snello ed efficiente dell'approccio staggered, che si rivela una valida opzione risolutiva.

Tuttavia, è importante tenere conto del fatto che solitamente questo approccio incontra difficoltà di convergenza, più comunemente quando la struttura è leggera e il fluido è pesante e quando un fluido incomprimibile è completamente racchiuso nella struttura.

Negli approcci monolitici, le equazioni di fluido, struttura e del movimento della mesh sono risolte simultaneamente in modo completamente accoppiato. Il vantaggio principale sta nel fatto che i risolutori fortemente accoppiati (monolitici) sono più robusti e molti dei problemi riscontrati con gli approcci staggered non sono presenti. Tuttavia, gli approcci monolitici richiedono la scrittura di un risolutore FSI completamente integrato, precludendo virtualmente l'uso di risolutori di fluidi e strutture preesistenti.

Nel dettaglio, in uno schema FSI monolitico le equazioni non lineari di accoppiamento sono risolte contemporaneamente sfruttando tecniche iterative come, per esempio, lo schema di Newton-Raphson. Dato che gli schemi monolitici sono privi di instabilità di massa aggiunta, i suoi svantaggi sono dovuti principalmente all'inevitabile requisito per il calcolo di matrici fuori diagonale (accoppiamento) e al loro costo computazionale. Questo riduce l'applicabilità di questi schemi solo ad un set di risolutori che soddisfino specifici requisiti.

Come anticipato, le procedure partizionate sono preferite quando è presente un'interazione fluido-struttura debole e la simultanea quando si ha un forte accoppiamento.

Un'altra sfida computazionale rilevante in applicazioni FSI è dovuta a quei casi in cui si vede la necessità di accogliere moti strutturali molto grandi. In tali contesti, è necessaria sia una robusta tecnica di spostamento della mesh, sia la possibilità di rigenerare periodicamente la mesh per preservare la qualità della stessa e di preservare, conseguentemente, l'accuratezza del calcolo FSI. Questa operazione è detta remesh. La procedura di remesh richiede l'interpolazione della soluzione a partire dalla vecchia mesh verso la nuova. L'operazione di remesh e di interpolazioni di dati è altresì necessaria per calcoli riguardanti campi esclusivamente fluidi con movimento dei domini noto.

Scopo del testo

Lo scopo del testo è fornire una panoramica su quelli che sono i principali metodi di modellazione per l’interazione fluido-struttura ottenuti in letteratura e di quali sono le problematiche principali relative alla causa. A tal fine è stata sviluppata una trattazione relativa alla formulazione dei vari domini per riuscire a comprendere il contesto del problema. In prima analisi, lo studio dell’interazione fluido-struttura è stato sviluppato per la categoria di problemi a dominio fisso, in cui è stato preso a riferimento il lavoro svolto dal professore Enrico Meli [21]. Successivamente, sono state analizzate le difficoltà dovute alla presenza di domini variabili e le tecniche di risoluzione di quest’ultimi. Infine, è stata svolta un'analisi di quelle che sono le principali tecniche di modellazione numerica e di gestione dei domini diffuse in letteratura.

Formulazione del problema

È importante effettuare la formulazione del problema sia per lo studio del fluido che per il solido, in modo tale da comprendere quelle che sono le peculiarità che definiscono ogni dominio. I prossimi capitoli tratteranno la formulazione del problema fluido (cap 1.3), la formulazione del dominio solido (cap 1.4), e il caso in cui il dominio sia in movimento mediante la formulazione ALE (Arbitrary Lagrangian Eulerian) analizzata nel capitolo 1.5.

Per modellare il comportamento dei mezzi solidi viene impiegata la formulazione lagrangiana del moto (cioè le particelle vengono seguite nel loro movimento), mentre per un'analisi del flusso viene solitamente utilizzata la formulazione euleriana poiché è interessante conoscere il comportamento del fluido in una particolare posizione.