Ricerca bibliografica sui modelli per l'interazione fluido struttura

ELEMENTI BIDIMENSIONALI

Gli elementi bidimensionali possono essere triangoli o quadrilateri i cui lati possono essere

caratterizzati da curve polinomiali del primo secondo o terzo ordine.

ELEMENTI TRIANGOLARI

- Lineari, caratterizzati da due nodi per curva, tre nodi complessivamente:

- Quadratici, caratterizzati da tre nodi per curva, sei nodi complessivamente:

- Cubici, caratterizzati da quattro nodi per curva, nove nodi complessivamente:

ELEMENTI COMPOSTI DA QUADRILATERI

- Lineari, lati caratterizzati da due nodi per curva, quattro per elemento.

- Quadratici, lati caratterizzati da tre nodi per curva, otto per elemento.

- Cubici, lati caratterizzati da quattro nodi per curva, quattro per elemento.

Alcuni esempi di applicazione di elementi delle mesh bidimensionale possono essere quelli relativi

allo studio della propagazione di un onda su di una lastra piana come fatto in [29] oppure lo studio

del trasferimento del calore in domini di forma irregolare mediante l’uso di una discretizzazione

triangolare come in [30].

ELEMENTI TRIDIMENSIONALI

Gli elementi tridimensionali possono essere tetraedri, esaedri o prismi, le cui facce possono essere

superfici polinomiali del primo secondo o terzo ordine

ELEMENTI TETRAEDRICI

- Lineari, caratterizzati da quattro nodi per elemento.

- Quadratici, caratterizzati da dieci nodi.

- Cubici, caratterizzati da sedici nodi.

ELEMENTI ESAEDRICI

- Lineari, caratterizzati da otto nodi.

- Quadratici, caratterizzati da 20 nodi.

- Cubici, caratterizzati da trentadue nodi.

ELEMENTI PRISMATICI

- Lineari, caratterizzati da sei nodi.

- Quadratici, caratterizzati da quindici nodi.

- Cubici, caratterizzati da ventiquattro nodi.

I triangoli in due dimensioni si generalizzano a tetraedri passando a tre dimensioni. La

corrispondente generalizzazione di un quadrilatero è un esaedro. Un esaedro è topologicamente

equivalente a un cubo. Ha otto angoli, dodici spigoli o lati e sei facce. Gli elementi finiti con questa

geometria sono ampiamente utilizzati nella modellazione dei solidi tridimensionali [31].

Tendenzialmente, quando vengono studiati dei componenti caratterizzati da una geometria

assialsimmetrica come un albero può risultare conveniente utilizzare elementi che sfruttino tale

simmetria come, per esempio, elementi esaedrici. Invece, per elementi geometricamente

complessi come palettature, giranti e cuscini può risultare conveniente utilizzare elementi

tetraedrici. [21]

CLASSIFICAZIONE DELLA GRIGLIA

La griglia può essere suddivisa in due tipologie principali: Griglia strutturata e griglia non

strutturata. La griglia strutturata è caratterizzata da maglie regolari. La scelta degli elementi ricade

tra quadrilateri bidimensionale o esaedri per una griglia tridimensionale. Questa tipologia di

modello è altamente efficiente in termini di spazio. Alcuni vantaggi che comporta avere una griglia

strutturata piuttosto che non strutturata sono avere una migliore convergenza e una risoluzione

più elevata [32] [33]. Una griglia non strutturata, invece, è caratterizzata da maglie irregolari.

Questo può essere facilmente espresso mediante array bidimensionali e tridimensionali. Questo

modello, rispetto alle mesh strutturate, è altamente inefficiente per la risoluzione spaziale,

sfruttano strutture triangolari (per problemi bidimensionali) e strutture tetraedriche (per la

risoluzione di problemi tridimensionali).

Un’altra struttura di griglia è la griglia ibrida. La griglia ibrida è costituita da alcune porzioni di

griglia strutturata e altre composte da griglia non strutturata. Le zone del problema più regolari

sono risolte mediante griglia strutturata, mentre, le zone più complesse sono risolte mediante la

griglia non strutturata.

Qualità della mesh

Si ritiene che una mesh abbia una qualità elevata se è possibile ottenere una soluzione accurata in

modo rapido. È importante considerare che accuratezza e velocità di calcolo, generalmente, sono

in contrasto. Tendenzialmente una soluzione più accurata vede un incremento dei costi

computazionali e quindi dei tempi di calcolo. L’accuratezza di una soluzione è in parte dovuta agli

errori di discretizzazione. Essendo che una mesh consiste in un approssimazione discreta dello

spazio fisico, l’errore di discretizzazione non è nient’altro che l’errore dovuto a tale

approssimazione. La soluzione fisica non sarà mai identica a quella ottenuta mediante

discretizzazione. Quindi è importante effettuare una mesh tale da non avere un errore di

discretizzazione che porti ad una soluzione eccessivamente distante dalla realtà. L’accuratezza

della soluzione dipende dal numero totale degli elementi, dalla forma dei singoli elementi. La

velocità di ogni iterazione cresce con il numero di elementi, e il numero di iterazioni necessario

dipende dal valore della soluzione locale e dal gradiente comparato alla forma e alla dimensione

degli elementi locali.

Precisione della soluzione

Una mesh a maglie grosse può fornire una soluzione accurata se tale soluzione non varia nel

tempo (per esempio un flusso indisturbato in un analisi CFD). È possibile affinare selettivamente la

mesh nelle aree in cui i gradienti di soluzione sono elevati, aumentando così la fedeltà (come viene

fatto nel calcolo dello strato limite di un profilo alare in un calcolo CFD). L’accuratezza dipende dal

tipo e dalla forma dell'elemento. Ogni iterazione riduce l'errore tra la soluzione calcolata e quella

vera. Un tasso di convergenza più veloce significa un errore minore con meno iterazioni. Una mesh

di qualità inferiore può tralasciare caratteristiche importanti come lo strato limite per il flusso del

fluido. In tal caso l'errore di discretizzazione sarà grande e il tasso di convergenza sarà

compromesso; la soluzione potrebbe non convergere affatto. Una soluzione è considerata

indipendente dalla griglia se la discretizzazione e l'errore di soluzione sono sufficientemente

piccoli per un dato numero di iterazioni. Uno studio di convergenza della mesh consiste

nell'affinare gli elementi e confrontare le soluzioni raffinate con le soluzioni “grossolane”, ovvero,

le soluzioni poco affidabili. Se ulteriore modifiche non cambiano in modo significativo la soluzione,

la mesh è una mesh a griglia indipendente.

Scelta della mesh

Nel caso in cui sia necessaria un elevata accuratezza, la mesh esaedrica è preferibile [35]. In tal

caso la densità della mesh deve essere sufficientemente alta da catturare tutte le caratteristiche

del flusso, ma allo stesso tempo, non deve essere così alta da catturare dettagli non necessari,

appesantendo così la CPU e aumentando drasticamente i tempi di simulazione.

Ogni volta che è presente una parete (si pensi alla superficie di un profilo alare), la mesh adiacente

a tale parete deve essere sufficientemente fine da risolvere il flusso dello strato limite. Per tale

tipologia di flussi sono preferibili generalmente celle quadrilatere, esagonali e prismatiche rispetto

a triangolari, tetraedriche e piramididali. Le celle quadrilatere ed esagonali possono essere

allungate dove il flusso è completamente sviluppato e monodimensionale. In base all'asimmetria,

alla levigatezza(smoothness) e alle proporzioni del sistema, è possibile selezionare la mesh

opportuna. [35] L’asimmetria di una griglia è un indicatore della qualità e dell'idoneità della mesh.

Avere una grande asimmetria compromette la precisione delle regioni interpolate. Il cambio di

dimensioni dovrebbe essere regolare, non dovrebbero esserci salti improvvisi nelle dimensioni

della cella perché ciò potrebbe causare risultati errati nei nodi vicini. È importante anche il

rapporto tra il lato più lungo e quello più corto in una cella (aspect ratio). Idealmente dovrebbe

essere uguale a 1 per garantire i migliori risultati. Per il flusso multidimensionale, dovrebbe essere

vicino a uno. Anche le variazioni locali nella dimensione delle celle dovrebbero essere minime, cioè

le dimensioni delle celle adiacenti non dovrebbero variare di oltre il 20%. Avere un aspect ratio

elevato può comportare un errore di interpolazione inaccettabile.

2.2 Modelli FEM per il solido

Il metodo agli elementi finiti, in breve, consiste nell’utilizzare un’approssimazione semplificativa

per riuscire a risolvere le variabili di un problema. Tale approssimazione permette di trasformare

un problema alle equazioni differenziali nella risoluzione di un problema algebrico. Tutto questo è

possibile grazie all’unione di tre diverse discipline: La formulazione fisica del problema mediante le

apposite leggi alle equazioni differenziali; metodi numerici per l’elaborazione della soluzione e per

la risoluzione delle equazioni algebriche; capacità di calcolo del computer.

Il metodo agli elementi finiti è utilizzato ampiamente in applicazioni industriali ed esistono

numerosi codici per l’utilizzo industriali di cui alcuni dei più utilizzati sono ADINA, AGLOR, AxisVM,

ANSYS, Cast3M, Cenaero, Creo Simulate, Compass. [36]

La modellazione numerica si pone l’obiettivo di simulare il comportamento fisico del problema

analizzato mediante il supporto del computer e questo comporta:

- La descrizione, in termini ingegneristici, del sistema fisico in questione (modello fisico)

- La trasposizione del problema ingegneristico in termini matematici (modello matematico)

- La costruzione di un modello numerico (o algebrico) che possa risolvere il problema

sfruttando l’utilizzo di un calcolatore. (come, per esempio, il metodo ad elementi finiti)

- Lo sviluppo di un codice che riesca a simulare il comportamento fisico del sistema

Ovviamente, possono essere una varietà di errori nel passaggio da un modello all’altro. Gli errori

principali che si possono riscontrare sono:

- Errori nella scelta del modello matematico, che rappresenta il passaggio tra la soluzione

esatta del modello matematico e il comportamento reale del sistema fisico.

- Errori di discretizzazione, rappresentano la differenza tra la soluzione esatta del modello

matematico e la soluzione del modello numerico.

- Errori computazionali, dovuti alla precisione limitata del calcolatore

La modellazione matematica si ottiene esprimendo le leggi di conservazione e le leggi costitutive

sotto forma di equazioni alle derivate parziali. Poiché questo problema deve essere risolto

utilizzando il metodo degli elementi finiti, sarà necessario dare anche una formulazione integrale

(o formulazione debole).

Il modello numerico associato al modello matematico è ottenuto utilizzando un metodo di

discretizzazione, come, per esempio: il metodo delle differenze finite, o il metodo degli elementi

finiti.

APPROSSIMAZIONE FEM

Come definit