Che materia stai cercando?

Modellistica e controllo di un razzo vettore Appunti scolastici Premium

La mia tesi di laurea triennale in controlli automatici per Ingegneria, Università degli Studi di Padova - Unipd elaborata dall’autore nell’ambito del corso di Controlli automatici tenuto dalla professoressa Valcher dal titolo Modellistica e controllo di un razzo vettore. Scarica il file in formato PDF!

Materia di Controlli automatici relatore Prof. M. Valcher

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

I rami nel luogo positivo vanno sempre dai poli agli zeri e si allontanano dai poli all’aumentare di

K →+ ∞

K>0 per arrivare negli zeri per . Per K=0 siamo completamente nel semipiano reale

negativo, e vi rimaniamo per valori bassi di K finché, per un certo K che calcoleremo in seguito,

sbuchiamo nel semipiano positivo, perdendo così la stabilità.

3.2 Luogo positivo

Le porzioni dell’asse reale che appartengono al luogo positivo sono il complemento di quelle che

appartenevano al luogo negativo, dato che tutto l’asse reale deve essere contenuto nell’unione di

luogo positivo e luogo negativo. Il verso dei rami è discorde rispetto al verso in cui cresce K, nel

senso che si assume che K vari da 0 a + partendo sempre da K=0.

11

Quindi abbiamo già tutte le informazioni per tracciare anche il luogo positivo delle radici: K <0

Qui invece i rami vanno sempre dai poli agli zeri ma si allontanano dai poli al diminuire di

K →+ ∞

per convergere negli zeri quando . È immediato vedere dal luogo, senza fare alcun

conto, che per valori bassi di K c’è stabilità perché siamo sul semipiano reale negativo. Invece per

grandezze di K superiori (tali valori li calcoleremo tra poco) al valore che corrisponde al passaggio

di un ramo per l’origine verso il semipiano positivo, la stabilità si perde.

In particolare, non ci rimane che studiarne analiticamente la stabilità per entrambi i luoghi, per far

ciò usiamo la seguente equazione (ovvero il denominatore della nostra W(s):

2

q s s Kn s 1−371.6K s

( )=d ( ) ( )=( )

+ +3.329s+(248+827850.5K )

12

Andiamo a studiare la stabilità BIBO della W(s) verificando la collocazione dei poli della W(s) al

variare di K. Poiché il polinomio al denominatore nella rappresentazione della W(s) è di secondo

grado, possiamo utilizzare la regola dei segni di Cartesio. Tale regola stabilisce che, dato un

polinomio di secondo grado a coefficienti reali non nulli, ad ogni permanenza di segno (ovvero

quando due coefficienti consecutivi hanno lo stesso segno) corrisponde una radice a parte reale

negativa (e quindi il sistema è BIBO stabile), mentre ad ogni variazione di segno una radice a parte

reale positiva (e quindi il sistema è instabile). Detto ciò non ci rimane che verificare quando i nostri

coefficienti hanno due permanenze di segno al variare di K così da vedere quando il nostro sistema

d s Kn(s)

( )+

è BIBO stabile. Ora, il polinomio è di Hurwitz se e solo se le seguenti

diseguaglianze sono simultaneamente verificate:

1−371.6K >0

248+827850.5K >0

Distinguiamo i seguenti intervalli di valori:

K <−0.0003

• K

−0.0003< <0.0027

• K >0.

• 0027 2

K <−0.0003 s

Per il coefficiente di diventa negativo, quindi si presenta una variazione (i

segni dei coefficienti sono: -,+,+) e quindi il polinomio ha una radice positiva; per

K

−0.0003< <0.0027 non abbiamo variazioni ma solo permanenze, quindi non abbiamo radici a

K >0.0027

parte reale positiva, ovvero per tali K il nostro sistema è BIBO stabile; infine per , la

situazione è analoga alla prima, cioè abbiamo una variazione (i coefficienti sono +,+,-) e quindi il

polinomio ha una radice a parte reale positiva.

In conclusione si ha stabilità BIBO se –0.0003<K<0.0027 , instabilità altrimenti.

Ricapitolando: la W(s) ha tutti i poli a parte reale minore di zero (se –0.0003<K<0.0027), di

conseguenza tutti i modi elementari della risposta impulsiva w(t) sono convergenti, quindi abbiamo

stabilità BIBO per ogni scelta dell’ingresso di controllo (purché limitato).

13

4 Nyquist

Data G(jω) risposta in frequenza del nostro sistema, poiché G(s) è una funzione razionale allora

+∞

G(jω) ha un numero finito di discontinuità. Se facciamo variare ω con continuità da 0 a , il

punto corrente G(jω) descrive nel piano complesso una curva generalmente continua ad eccezione

al più di un numero finito di discontinuità. Tale curva è parametrizzata su ω e orientata nel verso di

ω crescenti, ed è chiamata diagramma di Nyquist.

Esistono due metodi per tracciare il diagramma di Nyquist: ω≥ 0

• Il metodo analitico, che consiste nel tracciare il diagramma di Nyquist di G(jω) per

a partire da un semplice studio di funzione;

• Il metodo basato su Bode, che consiste nel tracciare prima i diagramma di Bode e poi

ricavarsi quello di Nyquist guardando come variano il modulo e la fase al variare di ω

Noi useremo il metodo basato su Bode, quindi intanto scriviamo la G(s) in forma di Bode:

s s

(1− )(1+ )

47.2 47.2

G s

( )=3338.17 2

3.329 s

1+ s+

248 248

ω=0

Il modulo in dB per vale:

∣ ∣

W jω) log 3338.17 dB

( )=70.47

( =20

dB 10

E, i diagrammi di Bode saranno i seguenti: 14

Dove il diagramma arancione è il diagramma asintotico, mentre quello azzurro è il diagramma

reale. Il picco è presente a causa della coppia di poli complessi coniugati, il cui smorzamento

3.329 ω

n

ξ= =0.106

2∗248

ω 248

=

dove è la pulsazione naturale.

n

Per quanto riguarda il diagramma di Bode della fase, risulta:

15

Dove si può notare che il diagramma reale si avvicina molto a quello asintotico, dato che il

coefficiente ξ che abbastanza piccolo.

Il diagramma di bode e quello di Nyquist forniscono informazioni del tutto equivalenti sulla risposta

in frequenza W(jω) di un sistema. Dal diagramma di Bode delle ampiezze, infatti, una volta

riconvertiti i valori da dB in valori assoluti, è possibile determinare per ogni pulsazione ω la

∣ ∣

W jω)

(

grandezza e quindi, con riferimento al diagramma di Nyquist, la lunghezza del vettore

che congiunge l’origine del piano al punto W(jω) del diagramma. Dal diagramma di Bode delle fasi,

si determina arg(W(jω)) e quindi l’angolo che il vettore dall’origine a W(jω) forma con il semiasse

reale positivo.

Detto ciò siamo in grado di tracciare il diagramma di Nyquist:

16

Poiché il sistema in catena aperta G(s) è BIBO stabile e non ha poli sull’asse immaginario (e

pertanto il suo diagramma di Nyquist resta al finito), il criterio di Nyquist ridotto mi dice che il

risultante sistema retroazionato è BIBO stabile se e solo se il diagramma di Nyquist del sistema non

circonda né passa per il punto -1, e come evidente dalla figura, questo è il caso. Quindi il sistema

in catena chiusa risulta BIBO stabile. 17

5 Progetto del controllore

In questo paragrafo verrà esposto il progetto di un controllore in grado di stabilizzare la dinamica

del razzo e di far sì che il sistema finale soddisfi a determinate specifiche di progetto.

Per realizzare ciò si utilizza uno schema in retroazione negativa, cioè si realizza un sistema in

catena chiusa in cui l’uscita viene riportata all’ingresso e confrontata con il segnale di riferimento. I

vantaggi di questi sistemi sono molteplici (stabilità, robustezza, qualità del transitorio, etc.) ma nella

maggior parte dei casi la semplice retroazione non è sufficiente. Questa infatti potrebbe stabilizzare

il sistema, ma ad esempio potrebbe (quasi sicuramente) ridurre l’amplificazione del sistema o

ancora non far rispettare altri parametri critici. Per rimediare a questo in molti casi è sufficiente

porre in cascata a monte del sistema G da controllare, un blocco C, ovvero un controllore.

Il sistema retroazionato, con retroazione negativa, usando il controllore sarà:

Inoltre bisogna stare attenti nel caso in cui siano presenti zeri instabili, dal momento che essi

introducono, per poter mantenere la stabilità BIBO, forti vincoli sulla qualità delle prestazioni

dinamiche dei sistemi da essi ottenibili mediante retroazione. Se G(s) possiede (almeno) uno zero a

parte reale positiva, sicuramente il sistema retroazionato diviene instabile se il guadagno di G(s) è

K →+ ∞

troppo elevato, in quanto sappiamo che per un ramo del luogo delle radici si porta nella

regione di instabilità, dovendo avvicinarsi a tale zero instabile.

Vogliamo dunque progettare un controllore C(s) che garantisca le seguenti specifiche:

m

e [ ]

1) Errore a regime permanente in modulo inferiore a 0.03 , in corrispondenza di

rp 2

s

α

un riferimento a gradino per l’accelerazione normale ;

N

M °

>60

2) Margine di fase ;

f 18

3) Attenuazione pari a 0.01 per disturbi di misura con componenti frequenziali

rad

ω ≥ 100[ ] ;

s

4) Qualora il sistema presenti delle variazioni parametriche, garantire che la sensibilità del

sistema complessivo sia inferiore di un fattore 10 alla sensibilità del sistema in condizioni

rad

ω ≤ 0.1[ ]

nominali, per ingressi a frequenze .

s

Il progetto del controllore C(s) verrà diviso in 2 parti, cioè assumeremo che il controllore fattorizzi

nella forma:

C s s C

( )=C ( ) (s)

1 2

C (s)

Dove regola solo le prestazioni a regime, ovvero il tipo e l’errore a regime permanente

1

e C (s)

, mentre le prestazioni nel transitorio, ovvero, l’eventuale pulsazione di

2

rp ω

attraversamento desiderata (nel nostro caso non abbiamo vincoli circa la pulsazione di

a M

attraversamento) e il margine di fase desiderato. Dopo aver sistemato le specifiche di solito

f

la stabilità arriva senza bisogno di far conti ulteriori grazie al criterio di Bode.

5.1 Controllo proporzionale

Come primo passo, vediamo l’effetto che ha un semplice controllore proporzionale del tipo

C s

( )=K . Visto il tipo di specifiche, il metodo migliore per trovare il valore di K che permetta

1

di soddisfarle maggiormente è utilizzando il diagramma di Bode, sia delle ampiezze che delle fasi

dato che il sistema non è a fase minima a causa della presenza dello zero a parte reale positiva.

Ricordiamo che la G(s) in forma di Bode vale: 19

s s

(1− )(1+ )

47.2 47.2

G s

( )=3338.17 2

3.329 s

1+ s+

248 248 K (G)

dalla quale è immediato riconoscere il guadagno di Bode della funzione G(s) che vale B

C (s)

=3338.17. Ora è conveniente attribuire al controllore una struttura preliminare, atta a

1

soddisfare i vincoli su tipo ed errore permanente, dato che non abbiamo vincoli sul tipo ci

limiteremo a soddisfare i vincoli sull’errore permanente. Ricordiamo che se non andiamo a

modificare il tipo del sistema retroazionato, il tipo corrente è 0.

e W

=1−W (0) (s)

L’errore di regime permanente al gradino è definito come , con funzione

rp C s G( s)

( )

di trasferimento del sistema ottenuto per retroazione unitaria negativa a partire da . Il

1

W 0 ≠1

( )

sistema è di tipo 0 se e solo se .

Vogliamo quindi, nell’ipotesi

C s)

(s )G(

1

W s

( )= 1+C s)G

( (s)

1 C G(s) W

(s) (0)≠1

Determinare sotto quali condizioni su , W(s) soddisfi la condizione .

1

Osserviamo che:

C (0)G(0)

1

W 0

( )= 1+C 0) G(0)

(

1 W 0

( )=1

è immediato vedere che la condizione necessaria e sufficiente che è che

C 0 G 0

( ) ( )=∞ , perché:

1 20

C (0)G(0) 1

1

W 0

( )= =

1+C 0) G(0) 1

(

1 +1

C s G( s)

( )

1

C 0 G 0 C 0 G 0

( ) ( ) ( ) ( )=∞

e se facciamo tendere all’infinito è evidente la tesi. La condizione

1 1

C s G s

( ) ( )

si raggiunge semplicemente se ha un polo nell’origine, ma il nostro sistema è di tipo

1 C s G s

W ( ) ( )

(0)≠1

0 e, abbiamo detto prima che deve soddisfare . Il che significa che deve

1

essere priva di poli nell’origine per garantire al sistema di essere di tipo 0. Notiamo che per sistemi

C s G s

K K ( ) ( )

(G) (C )

di tipo 0, se indichiamo con il guadagno di Bode di , l’assenza di

B B 1 1

C 0 G 0 K

( ) ( )=K (G) (C )

zeri e poli nell’origine assicura che e quindi:

1 B B 1

1 1

e 0

( )=

=1−W =

rp 1+C 0 G 0 1+ K K

( ) ( ) (G) (C )

B B 1

1

K C

( )

Ricordando che è incognito ed è proprio il guadagno del controllore che stiamo cercando,

B 1 ¿

e =0.03

proviamo a soddisfare la prima specifica sull’errore permanente. Se indichiamo con rp

l’errore a regime massimo tollerato in base alle specifiche, allora per trovare il guadagno sarà

sufficiente risolvere la seguente disequazione:

1 ¿

e ≤ e

=

rp rp

1+ K (G)K (C )

B B 1 K C

( )

=K

quindi, sostituendo i valori noti e chiamando per semplicità di notazione , otteniamo:

B 1

1 ≤0.03

1+3338.17K

1 ≤1+3338.17K

0.03 21

K ≥0.009

Che ci impone un valore del guadagno .

Abbiamo quindi trovato un intervallo di valori che soddisfano la prima specifica. Chiamiamo ora in

causa un'altra specifica da soddisfare, la quarta, ovvero vogliamo che la sensibilità del sistema a

rad

∣ ∣ ω ≤ 0.1[

S jω) ≤ 0.1 ]

(

basse frequenze soddisfi , per . Ovvero:

LF sec

∣ ∣

1

∣ ∣

S jω) ≤ 0.1

( =

LF 1+C jω G jω

( ) ( )

1

∣ ∣

10 ≤ 1+C jω G( jω)

( )

1

E, passando in decibel otteniamo, con buona approssimazione:

∣ ∣

C jω G( jω) ≥20 dB

( )

1 dB C s

( )=0.009

Se noi assumiamo come controllore proporzionale il controllore e proviamo a

1

tracciare i diagrammi di Bode del modulo e della frequenza possiamo notare che la disequazione

qui sopra è soddisfatta: 22

23

5.2 Rete anticipatrice

Il controllore proporzionale ci permette solo di soddisfare le specifiche inerenti l’errore e il tipo ma

non riesce a soddisfare le altre specifiche perché, come vedremo tra poco, per soddisfarle ho

bisogno di aggiungere un polo lontano dall’origine mentre il controllore proporzionale è solo un

guadagno.

Prima di proseguire ricordiamo il criterio di Bode che ci servirà per studiare la BIBO stabilità del

sistema. Tale criterio è usato per verificare se il sistema retroazionato W(s) sarà BIBO stabile,

controllando semplicemente il diagramma di Bode della funzione in catena aperta e vedendo se

soddisfa le seguenti ipotesi:

C s G(s

( ) )

1) non ha poli a parte reale positiva

K G) K

( (C )

2) Il suo guadagno di bode è positivo

B B 24

M C s G s

( ) ( )

3) Il margine di fase di è anch’esso positivo

f C s G( s)

( )

Il sistema ottenuto retroazionando risulta dunque instabile in retroazione perché,

1 M

anche se le prime due ipotesi sono soddisfatte, il margine di fase è pari a -180° quindi

f

negativo e contraddice la terza ipotesi del criterio di Bode. Andiamo ora a progettare un controllore

che permetta il soddisfacimento della terza specifica, ovvero l’attenuazione dei disturbi alle alte

frequenze. In tal modo, come vedremo, riusciremo anche a garantire la stabilità BIBO del sistema

retroazionato.

Per soddisfare la terza specifica, l’attenuazione, dobbiamo invocare la funzione sensibilità alle alte

S s)

(

frequenze che ricordiamo essere definita come:

HF

∣ ∣

C jω G jω)

( ) (

1

∣ ∣

S jω

( ) =

HF 1+C jω G( jω)

( )

1 ∣ ∣

S jω ≤0.01

( )

Essa, in base alle specifiche deve essere minore o uguale a 0.01, per

HF

rad

ω ≥ 100[ ] , ovvero ci porta alla seguente disequazione:

sec 0.01

∣ ∣

C jω G jω ≤ ≈ 0.01

( ) ( )

1 0.99

che, in decibel significa:

∣ ∣

C jω) G( jω) ≤−40dB

(

1 dB

Infatti è necessario diminuire il guadagno C (s)G(s) alle alte frequenze se vogliamo completamente

1

soddisfare la terza specifica. Per soddisfarla è necessario introdurre un polo prima dei due poli

complessi coniugati di G(s) (dato che C (s) non presenta ne zeri ne poli è sufficiente basarsi su

1 25


PAGINE

34

PESO

1,013.71 KB

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria dell'informazione
SSD:
Università: Padova - Unipd
A.A.: 2016-2017

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher francescof92 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Controlli automatici e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Padova - Unipd o del prof Valcher Maria Elena.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Controlli automatici

Controlli Automatici - Quaderno appunti definitivo 2016/2017
Appunto
Appunti di Controlli Automatici
Appunto
Riassunto esame Telecomunicazioni, prof. Badia, testo consigliato Principles of Communications Networks and Systems", Benvenuto, Zorzi
Appunto
Controlli Automatici - Quaderno appunti definitivo 2016/2017
Appunto