Modellistica e controllo di un razzo vettore

I Z

(s −A ) = α

M s−

Z

( ) α V

α

s s− −M α

V

Di conseguenza la G(s) diventa: 7

s 1

( ) Z

( )

f

Z Z

( ) ( )

G s Z 0 Z

( )= )

( +

α α

s s− s s− V

−M −M

α f

α α

V V M f

¿ ¿

Si noti che la seconda componente della matrice C è zero e pertanto non è necessario calcolare

−1

(sI −A ) Abbiamo, eseguendo i prodotti matriciali:

esplicitamente la seconda riga della matrice .

Z Z s Z M

α f α f Z

+ + f

G s 2 s Z

( )=¿ V s Z

−s −M 2 α

s

α α − −M α

V

e, facendo il minimo comune multiplo si trova l’espressione:

2

Z s Z M M

+ −Z

f α f f α

G s

( )= sZ

2 α

s − −M α

V

Sostituendo i valori numerici e, per semplicità, ponendo β=ρ=ε=0 otteniamo:

s+ 47.2)

(s−47.2)(

G s

( )=−371.6 2

s 248

+3.329s+

Al numeratore possiamo immediatamente identificare due zeri in 47.2 e in -47.2, per il

denominatore dobbiamo uguagliarlo a zero e trovarne le radici:

2

s +3.329s+248=0

che per Cartesio sappiamo essere entrambe a parte reale negativa, si trova:

√ 2

3.329

−3.329± −4∗248

s ± 15.65i

= =−1.66

1,2 2 8 ± 15.65i

−1.66

Quindi abbiamo due poli complessi coniugati in .

3 Luogo delle radici K

La funzione di trasferimento del sistema retroazionato al variare di è nella forma:

E

n(s )

G s

( )=K E d s)

(

K

con guadagno di Evans della G(s) negativo. Consideriamo la funzione di trasferimento del

E

sistema ad anello chiuso, ottenuta per retroazione unitaria negativa a partire da G(s), con un

C s

( )=K

controllore di tipo proporzionale . Risulta:

2

Kn(s) s

−371.6K +827850.05K

W s

( )= = 2

d s Kn(s)

( )+ 1−371.6K s 3.329s+248+827850.5K

( ) + K <0

Bisogna tenere conto che poiché la nostra G(s) in catena diretta ha un guadagno di Evans ,

E

studiando la stabilità del sistema retroazionato al variare di K, quando K varia nei valori positivi

K K 0

<

+∞

(cioè per K crescenti da 0 a ), il guadagno di Evans in catena aperta è perciò, di

E K K 0

>

−∞

fatto, stiamo descrivendo il luogo negativo. Viceversa se K varia da 0 a , allora E

quindi stiamo descrivendo il luogo positivo delle radici.

3.1 Luogo negativo 9

Iniziamo con K>0 (ovvero limitandoci al luogo negativo momentaneamente) si ricava che non sono

presenti asintoti in quanto G(s) è funzione propria con deg(num)-deg(den) = 0. Di conseguenza non

è necessario nemmeno calcolare il centro stella.

Gli eventuali punti doppi, ovvero i punti nell’asse reale in cui convergono due rami del luogo, si

' '

n d=n d

ricavano facilmente risolvendo l’equazione . Ovvero, nel nostro caso:

2 2

( )

2s s +3.329s+248 =(s −2228.26)(2s+3.329)

Effettuando i prodotti e sommando i termini simili si ottiene:

2

3.329 s 4951.68s+7416.50=0

+

Che ha come soluzione la posizione dei punti doppi, ovvero -1.5 e -1485.9. Questa equazione trova

i punti doppia sia del luogo negativo che del luogo positivo, infatti nel nostro caso -1.5 è del luogo

positivo mentre -1485.9 è del luogo negativo. Quindi sapendo che abbiamo un punto doppio in

-1485.9, lì i due rami si incroceranno.

Abbiamo così tutte le informazioni necessarie per poter tracciare il luogo negativo delle radici,

ricordando che in tale luogo i rami partono sempre dai poli e finiscono negli zeri:

10

I rami nel luogo positivo vanno sempre dai poli agli zeri e si allontanano dai poli all’aumentare di

K →+ ∞

K>0 per arrivare negli zeri per . Per K=0 siamo completamente nel semipiano reale

negativo, e vi rimaniamo per valori bassi di K finché, per un certo K che calcoleremo in seguito,

sbuchiamo nel semipiano positivo, perdendo così la stabilità.

3.2 Luogo positivo

Le porzioni dell’asse reale che appartengono al luogo positivo sono il complemento di quelle che

appartenevano al luogo negativo, dato che tutto l’asse reale deve essere contenuto nell’unione di

luogo positivo e luogo negativo. Il verso dei rami è discorde rispetto al verso in cui cresce K, nel

∞

senso che si assume che K vari da 0 a + partendo sempre da K=0.

11

Quindi abbiamo già tutte le informazioni per tracciare anche il luogo positivo delle radici: K <0

Qui invece i rami vanno sempre dai poli agli zeri ma si allontanano dai poli al diminuire di

K →+ ∞

per convergere negli zeri quando . È immediato vedere dal luogo, senza fare alcun

conto, che per valori bassi di K c’è stabilità perché siamo sul semipiano reale negativo. Invece per

grandezze di K superiori (tali valori li calcoleremo tra poco) al valore che corrisponde al passaggio

di un ramo per l’origine verso il semipiano positivo, la stabilità si perde.

In particolare, non ci rimane che studiarne analiticamente la stabilità per entrambi i luoghi, per far

ciò usiamo la seguente equazione (ovvero il denominatore della nostra W(s):

2

q s s Kn s 1−371.6K s

( )=d ( ) ( )=( )

+ +3.329s+(248+827850.5K )

12

Andiamo a studiare la stabilità BIBO della W(s) verificando la collocazione dei poli della W(s) al

variare di K. Poiché il polinomio al denominatore nella rappresentazione della W(s) è di secondo

grado, possiamo utilizzare la regola dei segni di Cartesio. Tale regola stabilisce che, dato un

polinomio di secondo grado a coefficienti reali non nulli, ad ogni permanenza di segno (ovvero

quando due coefficienti consecutivi hanno lo stesso segno) corrisponde una radice a parte reale

negativa (e quindi il sistema è BIBO stabile), mentre ad ogni variazione di segno una radice a parte

reale positiva (e quindi il sistema è instabile). Detto ciò non ci rimane che verificare quando i nostri

coefficienti hanno due permanenze di segno al variare di K così da vedere quando il nostro sistema

d s Kn(s)

( )+

è BIBO stabile. Ora, il polinomio è di Hurwitz se e solo se le seguenti

diseguaglianze sono simultaneamente verificate:

1−371.6K >0

248+827850.5K >0

Distinguiamo i seguenti intervalli di valori:

K <−0.0003

• K

−0.0003< <0.0027

• K >0.

• 0027 2

K <−0.0003 s

Per il coefficiente di diventa negativo, quindi si presenta una variazione (i

segni dei coefficienti sono: -,+,+) e quindi il polinomio ha una radice positiva; per

K

−0.0003< <0.0027 non abbiamo variazioni ma solo permanenze, quindi non abbiamo radici a

K >0.0027

parte reale positiva, ovvero per tali K il nostro sistema è BIBO stabile; infine per , la

situazione è analoga alla prima, cioè abbiamo una variazione (i coefficienti sono +,+,-) e quindi il

polinomio ha una radice a parte reale positiva.

In conclusione si ha stabilità BIBO se –0.0003<K<0.0027 , instabilità altrimenti.

Ricapitolando: la W(s) ha tutti i poli a parte reale minore di zero (se –0.0003<K<0.0027), di

conseguenza tutti i modi elementari della risposta impulsiva w(t) sono convergenti, quindi abbiamo

stabilità BIBO per ogni scelta dell’ingresso di controllo (purché limitato).

13

4 Nyquist

Data G(jω) risposta in frequenza del nostro sistema, poiché G(s) è una funzione razionale allora

+∞

G(jω) ha un numero finito di discontinuità. Se facciamo variare ω con continuità da 0 a , il

punto corrente G(jω) descrive nel piano complesso una curva generalmente continua ad eccezione

al più di un numero finito di discontinuità. Tale curva è parametrizzata su ω e orientata nel verso di

ω crescenti, ed è chiamata diagramma di Nyquist.

Esistono due metodi per tracciare il diagramma di Nyquist: ω≥ 0

• Il metodo analitico, che consiste nel tracciare il diagramma di Nyquist di G(jω) per

a partire da un semplice studio di funzione;

• Il metodo basato su Bode, che consiste nel tracciare prima i diagramma di Bode e poi

ricavarsi quello di Nyquist guardando come variano il modulo e la fase al variare di ω

Noi useremo il metodo basato su Bode, quindi intanto scriviamo la G(s) in forma di Bode:

s s

(1− )(1+ )

47.2 47.2

G s

( )=3338.17 2

3.329 s

1+ s+

248 248

ω=0

Il modulo in dB per vale:

∣ ∣

W jω) log 3338.17 dB

( )=70.47

( =20

dB 10

E, i diagrammi di Bode saranno i seguenti: 14

Dove il diagramma arancione è il diagramma asintotico, mentre quello azzurro è il diagramma

reale. Il picco è presente a causa della coppia di poli complessi coniugati, il cui smorzamento

3.329 ω

n

ξ= =0.106

2∗248

√

ω 248

=

dove è la pulsazione naturale.

n

Per quanto riguarda il diagramma di Bode della fase, risulta:

15

Dove si può notare che il diagramma reale si avvicina molto a quello asintotico, dato che il

coefficiente ξ che abbastanza piccolo.

Il diagramma di bode e quello di Nyquist forniscono informazioni del tutto equivalenti sulla risposta

in frequenza W(jω) di un sistema. Dal diagramma di Bode delle ampiezze, infatti, una volta

riconvertiti i valori da dB in valori assoluti, è possibile determinare per ogni pulsazione ω la

∣ ∣

W jω)

(

grandezza e quindi, con riferimento al diagramma di Nyquist, la lunghezza del vettore

che congiunge l’origine del piano al punto W(jω) del diagramma. Dal diagramma di Bode delle fasi,

si determina arg(W(jω)) e quindi l’angolo che il vettore dall’origine a W(jω) forma con il semiasse

reale positivo.

Detto ciò siamo in grado di tracciare il diagramma di Nyquist:

16

Poiché il sistema in catena aperta G(s) è BIBO stabile e non ha poli sull’asse immaginario (e

pertanto il suo diagramma di Nyquist resta al finito), il criterio di Nyquist ridotto mi dice che il

risultante sistema retroazionato è BIBO stabile se e solo se il diagramma di Nyquist del sistema non

circonda né passa per il punto -1, e come evidente dalla figura, questo è il caso. Quindi il sistema

in catena chiusa risulta BIBO stabile. 17

5 Progetto del controllore

In questo paragrafo verrà esposto il progetto di un contro