Competizione evolutiva tra equilibri di Nash e Walrasiani in mercati di concorrenza imperfetta, Tesi

Un esempio di duopolio di Cournot

Consideriamo il modello di oligopolio più semplice, noto come duopolio di Cournot.

Esso si basa su alcune ipotesi:

• Nell'industria ci sono solo due imprese che scelgono il loro volume di produzione contemporaneamente
• L'accesso all'industria è completamente bloccato, quindi non c'è possibilità di creare cartello
• I prodotti offerti dalle imprese sono omogenei
• Il costo marginale di produzione (Cmg) è costante e uguale per le due imprese

Le due imprese concorrono sulle quantità da produrre. Il prodotto offerto è omogeneo. Le curve dei costi hanno la tradizionale forma ad U. Le curve di domanda sono inclinate negativamente. Rmg = Cmg è l'ipotesi sottostante la massimizzazione del profitto.

Il duopolio di Cournot può evidentemente essere rappresentato come un gioco simultaneo con informazione imperfetta. Infatti gli...

è la quantità prodotta. Rispettivamente si avrà lo stesso perπ2 = p(y1+y2)y2.l'altra impresa, cioèLe due imprese al fine di massimizzare il proprio profitto formulano delle previsioniy1 y2sulla produzione dell’altra, ovvero si avrà e ipotizzato. Successivamente ley*1 y*2imprese realizzano una produzione e che risulta confermare le previsionidella concorrente, quindi nessuna delle due imprese avrà interesse a modificare ilproprio comportamento.In termini geometrici le quantità di equilibrio si ottengono dall’intersezione delley1 = f(y2) y2= f(y1)curve di reazione, funzioni delle quantità e che indicano lequantità che ogni duopolista intende offrire data la quantità prodotta dall’altro. Lefunzioni di reazione, per ciascuna impresa, rappresentano l'insieme delle best replydell'impresa al variare della quantità prodotta dall'altra.È possibile notare che le funzioni

(y1+y2) + dp(y) y1 – c = O

(y1+y2) + dp(y) y2 – c = Ody

L'equilibrio Cournot-Nash può essere quindi trovato tramite la risoluzione del seguente sistema lineare tra le due funzioni di reazione:

p(y1+y2) + dp(y) y1 – c = Ody

p(y1+y2) + dp(y) y2 – c = Ody

Rappresentazione grafica curve di isoprofitto

Rappresentazione grafica eq. Cournot-Nash

Essendo un equilibrio di Nash, possiamo giungere al medesimo risultato attraverso l'applicazione del Teorema del test per l'equilibrio di Nash.

R = p(y1+y2) = (A – y1 – y2)y1

Possiamo definire i ricavi delle aziende come e rispettivamente lo stesso per l'impresa 2. Rmg=Cmg,

Ricordando che la condizione di ottimo per massimizzare il payoff è quindi possiamo definire la funzione di payoff come π1 = (A–y1 π2 =(A–y1–y2)y1 –c1y1 e –y2)y2 –c2y2 poi calcolarne le derivate prime e porle = 0.

A tal

Nash sono i medesimi trovati attraverso l'intersezione delle funzioni di reazione. Questo indica che l'equilibrio di Cournot-Nash è anche un equilibrio di mercato. Infatti, per avere un equilibrio di mercato vanno individuate una coppia di livelli di produzione (y1, y2) e un prezzo p per cui sono soddisfatte le condizioni di equilibrio di un mercato, ovvero:

D(p) = p * (y1 + y2)

La quantità domandata al prezzo p è esattamente y1 + y2, che corrisponde all'output che le due aziende vogliono produrre e vendere nel mercato al prezzo p. Si ha quindi che deve essere soddisfatta la condizione "Domanda = Offerta".

Possiamo dimostrare che l'equilibrio di Cournot-Nash è un equilibrio di mercato attraverso le seguenti considerazioni:

Il prezzo che si realizza nel mercato (di duopolio) quando la prima azienda produce y1 e la seconda azienda produce y2 è:

p = P(y*1 + y*2) = A - y*1 = A - c2 - 2c1 = A + c1 - 2c2

A+c1+c2−y*2 − −3 3 3p* D(p*) = A−p* = 2A−c1

La quantità domandata a tale prezzo è −c2– 3y*1 + y*2 A + c2 + A + c1 = 2A−c1inoltre = −2c1 −2c2 −c23 3 3p*

Questo mostra che la quantità domandata al prezzo il prezzo che si realizzaall'equilibrio di Cournot-Nash, è esattamente quello che le aziende producono:D(p*) = y*1 + y*2

L'equilibrio di Cournot-Nash è quindi sia un equilibrio di mercato che di Nash,pertanto le due aziende non hanno incentivo a deviare da tali livelli di produzione.Infatti l'equilibrio si dice stabile: osservando la seguente immagine, rappresentanteil comportamento convergente delle due imprese, si può notare che partendo dallaQbsituazione iniziale E1 l'impresa B ha una produzione pari a 10.QbEssendo uguale a 10, l'impresa A determina la quantità di produzione ottimaleQa Qasulla propria curva di reazione, fissando la propria

produzione a 2 unità. L'equilibrio E1 non è però un equilibrio stabile poiché le imprese hanno incentivo a deviare, infatti non si trova su entrambe le funzioni di reazione. Si può notare quindi che a partire dalla quantità pari a 2, l'impresa B modifica la quantità di produzione da 10 a 6, spostando l'equilibrio da E1 a E2. E2 L'equilibrio non risulta però un equilibrio stabile. A partire dalla quantità pari a 6, l'impresa A modifica la quantità di produzione da 2 a 4, spostando l'equilibrio da E2 a E3, il quale non risulta ancora stabile. E* Di conseguenza B deve diminuire ancora la sua produzione al livello E3, poiché in E* l'impresa A ha incentivo a deviare aumentando la produzione fino al livello nel quale le due funzioni di reazione si intersecano. E* Il processo dinamico di aggiustamento converge verso l'equilibrio di duopolio (equilibrio di Cournot-Nash) in cui

entrambe le imprese A e B si trovano a un livello Q*b di produzione ottimale (Q*a). Nel punto di intersezione tra le due curve di reazione l'equilibrio è stabile, in quanto le imprese non hanno più alcun incentivo a modificare la propria quantità di produzione.

9.1 Un mercato di Duopolio

Consideriamo i livelli di produzione di equilibrio:

y*1 = A + c2

y*2 = A + c1

con -2c1 ≠ c2,

Si nota che le due aziende hanno diversi costi di produzione, da cui segue:

y*1 > y*2 ⇔ c2 > c1

Quindi l'azienda 1 produce più dell'azienda 2 quando i costi marginali dell'azienda 1 (c1) sono inferiori ai costi marginali dell'azienda 2 (c2). È importante ricordare che costi marginali più bassi è sinonimo di maggiore efficienza produttiva, quindi l'azienda che produce di più nel punto di equilibrio Cournot-Nash è quella più efficiente.

Prendendo ancora in considerazione