Codifica a descrittori multipli per comunicazioni multimediali

T T

s R y + s R s < ln λ

2 37

CAPITOLO 3. DECISIONE DELLA SOGLIA

1

−1 −1

T T

s R y < ln λ + s R s (3.18)

2

Il membro a destra della disuguaglianza è la soglia di decisione. Se accade

−1

T

s R y H

che è minore della soglia, la decisione è per l'ipotesi , altrimenti si

0

H

sceglie per l'ipotesi alternativa . Dalla 3.18 si può ricavare l'espressione

1

della probabilità di falso allarme: 1

−1 −1

T T

P = P (s R y > ln λ + s R s|H = H ) (3.19)

f a 0

2

−1

T

H s R y

In ipotesi la quantità risulta avere una distribuzione gaussiana

0 −1

T

s R s

con valore atteso nullo e varianza .

−1 −1

→

T T

s R y N (0, s R s)

La 3.19 può allora riscriversi come segue: −1

−1 T

T s R s

s R y 1 1

√ √ √

− |H

P = P ( > ln λ = H ) =

f a 0

−1 −1 −1

2

T T T

s R s s R s s R s

∫ ∞ 1 2

− t

√ dt

= exp =

2

2π

∆(λ)

1

= erf c(∆(λ)) = α (3.20)

2

∆(λ)

dove l'estremo inferiore , utile al ne del calcolo della soglia, si calcola

come segue: ∆(λ) = inverf c(2P )

f a

√

ln λ 1

√ −1

T

∆(λ) = + s R s (3.21)

−1 2

T

s R s

λ

Dalla 3.21 si ricava il valore di

√ 1 −1

−

−1 T

T

ln λ = ∆(λ) s R s s R s (3.22)

2

Sostituendo nella 3.18 la 3.22 √

−1 −1

T T

s R y < ∆(λ) s R s (3.23)

38

CAPITOLO 3. DECISIONE DELLA SOGLIA

H

Il valore della soglia calcolato in ipotesi è utile al ne di calcolare la

0

P H

probabilità di detection . In ipotesi di presenza del marchio , il ter-

D 1

−1 −1

T T

s R s s R s

mine risulta avere distribuzione guassiana con valore atteso

−1

T

s R s

e varianza . −1 −1 −1

→

T T T

s R y N (s R s, s R s)

La probabilità di detection può essere allora scritta nella forma 3.24

1

−1 −1

T T

P = P (s R y > ln λ + s R s|H = H ) =

D 0

2

−1 −1

T T

1 1

s R y s R s

√ √ √

− |H

P = P ( > ln λ = H ) =

0

D −1 −1 −1

2

T T T

s R s s R s s R s

∫ ∞ 1 2

− t

√ dt

= =

exp 2

2π

′

∆ (λ) √

1

1 ln λ

√ − −1

T

= erf c( s R s) =

−1

2 2

T

s R s

1 −1

− T

= erf c(∆(λ) s R s) =

2

dove: √

ln λ 1

′ √ − −1

T

∆ (λ) = s R s (3.24)

−1 2

T

s R s

In Figura 3.4(b) sono riportate in termini graci il signicato di proba-

bilità di falso allarme 3.4(b) e probabilità di detection 3.4(a). 39

CAPITOLO 3. DECISIONE DELLA SOGLIA

(a) probabilità di detection

(b) Probabilità di falso allarme

Figura 3.4: Probabilita di detection e di falso allarme

Capitolo 4

Detection a un descrittore

4.1 Introduzione

Sia I un'immagine che vuole essere trasmessa da un mittente verso un

destinatario usando ad esempio la rete Internet, e che questa debba essere

protetta in termini di copyright inserendo al suo interno un marchio iden-

ticativo che permetta di riconoscerne la proprietà. Un possibile schema

di marchiatura robusta che può essere sfruttato per eettuare l'operazione

richiesta può essere quello descritto nel paragrafo 2.3, il quale fa uso di un

sistema a descrittori multipli.

In uscita dallo schema di marchiatura si ottengono due descrittori marchiati

che in una fase successiva vengono spediti attraverso uno o due canali trasmis-

sivi che introducono rumore su essi. All'atto della ricezione si ricevono i due

descrittori dai quali si procede all'estrazione del marchio tuttavia, spesso per

motivi collegati ad esempio alla congestione di rete che implica perdita di

pacchetti, un descrittore può perdersi o addirittura essere cestinato prima

di arrivare a destinazione. Sebbene il secondo descrittore non arrivi a desti-

nazione, la ricostruzione dell'immagine al ne di migliorare la qualità prevede

che questi venga ricostruito a partire da quello ricevuto mediante tecniche

di interpolazione avanzate. Al ne della detection, la ricerca del marchio

avviene sul solo descrittore ricevuto con una certa probabilità di detection

e di errore che comportano una giusta o errata scelta di una delle ipotesi

possibili tra presenza e assenza del marchio.

Lo schema di detection, descritto nel paragrafo 2.4 sfrutta, secondo la

teoria della decisione, una regola per la decisione basata su di una soglia

40 41

CAPITOLO 4. DETECTION A UN DESCRITTORE

costruita sfruttando oltre che una base teorica descritta dalla decisione di

Neyman-Pearson (par. 3.3), anche le peculiarità del marchio usato in fase di

marchiatura (par. 3.4).

In questo modo, conoscendo il marchio originale ed il descrittore marchi-

ato si calcola una correlazione tra i due che viene comparata con la soglia

suddetta. L'esito positivo o negativo di rilevamento del marchio all'interno

del descrittore dipende dall'esito della comparazione, in particolare la scelta

cadrà sull'ipotesi presenza del marchio se la correlazione è maggiore della

soglia e viceversa. Questi due elementi, fondamentali nella fase di detection,

risultano essere funzioni di tre variabili che giocano un ruolo fondamentale

alla scelta di decidere positivamente o negativamente alla presenza del mar-

α

chio: la potenza del marchio , il rapporto segnale rumore SNR e la prob-

P

abilità di falso allarme , anche se per quanto riguarda quest'ultima, in

f a

fase di calcolo della soglia viene ssata ad un valore ben determinato pari

−

P = 10 6

a . Purtroppo, può vericarsi in alcuni casi che un determinato

f a

accoppiamento tra un valore di SNR e di potenza del marchio porti ad una

scelta sbagliata in fase di detection creando quindi un errore di I o II specie a

seconda se il marchio è realmente presente o meno nel descrittore. In questo

caso è opportuno studiare come questi due parametri inuenzino la soglia e

la correlazione calcolata, al ne di poter capire quali sono quei set di valori

di SNR e di potenza del marchio che se accomunati tra di loro permettano

l'insorgere di errori di detection.

4.2 La soglia di decisione

Il ruolo della soglia in teoria della decisione assume un ruolo fondamen-

tale perché essa rappresenta la linea di conne tra la scelta tra una ipotesi

piuttosto che un'altra. Se questa risulta troppo bassa o magari troppo alta,

la linea di separazione che essa rappresenta tenderebbe a spostarsi da un lato

o da un altro rendendo troppo piccolo lo spazio di decisione per un'ipotesi

e troppo grande quello dell'altra con la conseguenza che si possa scegliere

l'ipotesi sbagliata. La Figura 4.1 mostra che una soglia scelta troppo bassa è

causa di falso allarme perché il suo valore risulterebbe inferiore anche ai pic-

chi di correlazione di quei descrittori marchiati con marchi dierenti o senza,

soprattutto se aetti da molto rumore. Viceversa, una soglia troppo alta

porta ad un mancato allarme in quanto non si soddisfa più la disuguaglianza

3.23 per la quale la correlazione debba essere maggiore a essa. 42

CAPITOLO 4. DETECTION A UN DESCRITTORE

Rilevazione del marchio

4

x 10

4.5 soglia

4 picchi

correlazione

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0 0 100 200 300 400 500

Figura 4.1: Detection: Soglia troppo bassa

Dall'espressione matematica 3.23 della soglia si può capire che essa

P α

dipende dalle tre variabili , e SNR e che solo rispetto a quest'ultima

f a

la soglia ha andamento crescente all'aumentare della medesima. A questo

punto ci si chiede come la soglia dipenda dalle tre variabili ed in particolar

modo per quale combinazione delle stesse, la detection fallisce. La prima

analisi che si eettua è capire come la soglia dipenda dal rapporto segnale

rumore introdotto a causa del canale rumoroso supposto gaussiano.

3500 α=0

3000 α=0.1

2500 α=0.5

soglia α=1

2000

1500

1000

500

0

−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100

SNR (dB) α

Figura 4.2: Soglia: Curve in funzione del SNR (dB) per diversi valori di 43

CAPITOLO 4. DETECTION A UN DESCRITTORE

1

Dalla Figura 4.2 ricavata sperimentalmente si osserva che la soglia per

2

SN R

diversi valori di segue un andamento simile ad una sigmoide partendo

dal valore prossimo allo zero e salendo nché non si assesta attorno ad un cer-

to valore nale. La gura, inoltre, permette di osservare anche una famiglia

α

di curve che si riferiscono a tre diversi valori della potenza del marchio .

Mentre per valori bassi di SNR inferiori allo 0 dB le curve si attestano a

valori prossimo allo zero, per valori superiori cresce no a che non arrivano

ad un valore nale sul quale si fermano. Tale valore risulta essere inuenzato

α

da infatti, quanto più la potenza del marchio cresce tanto più si questo si

abbassa.

In funzione del marchio, per diversi valori di SNR, le curve descritte

dalla Figura 4.3 possiedono andamenti diversi ma i loro valori coincidono

con quelli delle curve di Figura 4.2. Le curve assumono un andamento tipico

α = 0

gaussiano centrato in e con una certa varianza che dipende dal rapporto

segnale rumore. La famiglia delle curve per diversi rapporti segnale rumore è

rappresentata dunque da gaussiane a valor atteso nullo e varianza crescente

al decrescere dal rapporto segnale rumore.

Se al posto del SNR si osserva il comportamento delle curve in funzione del

P P

marchio per diverse , si osserva che la scelta di diverse non ne modica

f a f a

la varianza, come mostra la Figura 4.4, ma comporta solo un'alterazione del

P

valore medio che decresce con crescenti.

f a

Per completezza nelle Figura 4.5 e Figura 4.6 sono riportate le curve in

P

funzione della per diversi valori della potenza del marchio e del SNR.

f a P = 0.5

La curva subisce una rotazione attorno al suo fulcro in senso