CAPM Capitol Asset Pricing Model - Tesi

2.2 IL CAPM COME MODELLO DI FATTORIALE

Con l’espressione “modello fattoriale di mercato” si spiega l’andamento

di un particolare mercato a partire da un numero ridotto di fattori comuni

o esplicativi, che rappresentano una sintesi del sistema economico. Una

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delle proprietà rilevanti del CAPM è che è possibile caratterizzare il

trade-off rischio rendimento per tutte le attività trattabili sul mercato

senza tener conto dell’intera matrice di correlazione tra il rendimento, ma

limitandosi a considerare solamente la correlazione tra il rendimento di

ogni singola attività e il rendimento del portafoglio di mercato.

Questa proprietà dipende dal fatto che il CAPM può essere interpretato

come modello fattoriale, detto anche mono fattoriale o mono-indice,

ipotizzando che i movimenti imprevedibili dei rendimenti di tutte le

attività di mercato siano spiegati dai movimenti di un unico fattore

comune, che è individuato nel rendimento del portafoglio di mercato.

Questa rappresentazione è basata sull’osservazione empirica che i prezzi

dei singoli titoli tendano a muoversi nella stessa direzione del mercato

nel suo complesso; costituisce però, un’ipotesi fortemente semplificativa.

L’attuazione di questa ipotesi ha condotto alla costruzione dell’Arbitrage

un’estensione del CAPM.

Pricing Theory (APT),

L’approccio statistico utilizzato per spiegare la relazione lineare tra il

rischio e il rendimento è quello tipico della regressione lineare in cui,

comunque scelte due variabili aleatorie Y e Z, con Var(Z) > 0, sia

sempre possibile esprimere Y come:

Dove X è una variabile aleatoria con Cov(X,Z) = 0, cioè correlata con Z,

e il coefficiente β è definito come :

(2.2.b) ( )

( )

Se β è il rapporto tra la – βZ,

Cov(Y,Z) e la Var(Z) e X := Y allora si ha

che : ( ) [( ) ] 22

( ) ( )

( )

( ) Var(Z) = 0

( )

La relazione (2.2.a) è nota come regressione lineare di Y su z d è alla

base dell’interpretazione del CAPM come modello fattoriale. Il

coefficiente beta è il coefficiente di regressione della (2.2.a).

È possibile ora sfruttare l’approccio statistico della regressione lineare

per esprimere il rendimento dei titoli in funzione dell’indice di mercato.

Si considera l’indice di mercato variabile indipendente, e la variabile

aleatoria è considerata variabile dipendente.

Facendo riferimento a un generico asset si rappresenta la variabile

aleatoria nella forma:

(2.2.c)

Dove:

è una variabile aleatoria che misura la componente del rendimento

indipendente dall’andamento del mercato .

misura la sensibilità (sensivity) del rendimento alle variazioni

dell’indice di mercato . Rappresenta la reattività attesa del rendimento

rispetto all’indice di riferimento.

può essere scomposto come la somma di “media + scarto”:

( ) ( )

Con e 23

, detto termine di errore, è la componente non-anticipata di e, per

( )

costruzione, ha media nulla e varianza pari a .

ha correlazione nulla con l’indice di mercato, per cui la covarianza

del termine con sarà nulla:

( ) ( ))( )]

[(

Per i rendimenti si adotta il modello lineare:

(2.2.d)

Con termini di errore a media nulla e non-correlati con .

È possibile, allora, esprimere anche il rendimento atteso come

funzione lineare del valore atteso del fattore di mercato :

(2.2.e)

Considerando i valori attesi dei due membri della (2.3.d) si ottiene:

( ) ( ) ( )

In cui non figura il valore atteso dello scarto perché per costruzione è

nullo. Si ricava dalla (2.3.e) e si sostituisce nella (2.3.d).

Analiticamente diventa:

(2.2.f)

Si mette in evidenza e si ottiene: 24

( )

( )

Si definisce e la (2.3.f) diventa:

(2.2.g)

La componente non anticipata del rendimento del titolo

rappresenta il contenuto d’incertezza ed è scomparsa nella somma di un

termine , proporzionale alla componente non anticipata del

fattore di mercato, e di un termine di errore indipendente dall'

esprime l’incertezza dovuta alle variazioni

andamento di mercato.

impreviste dell’indice , e genera il rischio specifico del titolo .

Il rischio sistemico del titolo è determinato dalla covarianza del

titolo con il fattore di mercato.

Applicando la relazione (2.3.c) al portafoglio che definisce l’indice di

mercato. Diventa:

(2.2.h)

Che implica e , per cui .

Se il rischio specifico è nullo, il portafoglio di mercato è privo di

rischiosità specifica.

Il portafoglio di mercato è quello che da la migliore combinazione

rischio-rendimento, perché azzera il rischio specifico senza ridurre il

rendimento. Tra i portafogli composti esclusivamente da titoli rischiosi è

quello più efficiente ma non a rischio nullo, giacché esiste sempre la

componente di rischio sistematico non eliminabile. 25

Il ruolo cruciale del modello si svolge attorno all’andamento e ai valori

che i due coefficienti, , possono assumere.

Il coefficiente , in un sistema di assi cartesiani, non è altro che

l’intercetta sull’asse delle ordinate della retta di regressione il cui

coefficiente angolare è beta.

può assumere due valori:

 : il titolo è capace di mettere a segno guadagni,

indipendentemente dal movimento dell’indice di riferimento.

 : il titolo è capace di mettere a segno perdite,

indipendentemente dal movimento dell’indice.

può assumere valori in quattro range:

 : il titolo reagisce alle variazioni della situazione

economica generale nella stessa misura in cui reagisce il

portafoglio di mercato. Si deve corrispondere al titolo un premio

al rischio pari a quello da corrispondere per il portafoglio di

mercato. L’investimento è privo di rischio specifico.

 : il titolo non ha rischio, e il suo rendimento atteso

coincide con il tasso privo di rischio.

 : la variazione del rendimento del portafoglio si ripercuote

sul rendimento atteso del titolo. Il titolo risulta reattivo in misura

più che proporzionale. Il premio al rischio dovrà essere maggiore

a quello che viene corrisposto per il portafoglio di mercato

 : il titolo è poco reattivo, per cui le reazioni del mercato si

riflettono meno che proporzionalmente sul rendimento atteso del

titolo. Il premio al rischio dovrà essere inferiore a quello che

viene corrisposto per il portafoglio di mercato. 26

È possibile mettere in atto delle strategie, in base ai valori assunti dai due

coefficienti:

1. In presenza di una tendenza rialzata: la scelta dovrebbe cadere sui

titolo con un valore di e, a parità di beta, con .

2. In presenza di una tendenza ribassista: la scelta dovrebbe cadere

su titoli a basso beta, e, preferibilmente, con .

In presenza di una tattica “aggressiva” e al ribasso:

3. la scelta

dovrebbe concentrarsi su titoli ad alto beta e con .

DELL’INDICE DI MERCATO

2.3 LA SCELTA

La derivazione originale del modello d’equilibrio sul mercato delle

attività finanziarie, prevede che tutti gli investitori allochino parte della

propria ricchezza, in misura proporzionale alle scelte di consumo (asset

nel “portafoglio di mercato”, ove con questo termine si fa

allocation),

riferimento all’insieme di tutte le attività rischiose, ponderate per il

proprio peso relativo sul totale delle attività medesime.

Una prima approssimazione per la stima del rendimento di un mercato

potrebbe essere data dal rendimento offerto dall’indice rappresentativo di

tutte le azioni trattate; si pensi, ad esempio, al MIBTEL con riferimento

al caso italiano.

Tale approccio, per quanto teoricamente ineccepibile, pone dei

termini di: trattazione di una mole d’informazioni

sostanziali problemi in

tanto più elevata quanto più risulti sviluppato il mercato, tasso di

rotazione delle imprese al suo interno, da cui discende la non

confrontabilità nel tempo dei risultati estratti da tali valori.

di aggirare l’ostacolo è possibile ricorrere a un’ulteriore

Al fine

approssimazione. In luogo dell’indice di mercato calcolato sul paniere

complessivo di titoli, è possibile ricorrere a un sottoinsieme

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rappresentato da indici statistici. Tale procedura risulta avallata anche

dall’elevatissima correlazione (superiore sempre a 0.9) espressa da tali

indici rispetto al mercato del quale costituiscono una proxy.

Di seguito sono riportati nella tabella i principali indici azionari nazionali

e internazionali utilizzati.

CITTA' INDICE CITTA' INDICE

New

Francoforte FDAX 30 S&P 500

York

New DOW JONES

Londra FTSE 100 York 30

Madrid IBEX 35 Parigi CAC 40

Milano MIB 30 Tokyo NIKKEY 225

COMIT

Milano Toronto TSE 300

30

Particolare cautela deve essere posta nella definizione dei criteri di

costruzione e revisione dell’indice considerato. Alcuni indici risultano,

infatti, costituiti da un paniere di titoli costante nel tempo in termini di

composizione. Tale caratteristica, se da un lato rende eccellente la

confrontabilità nel tempo, dall’altro ne inficia la validità sia in termini di

rappresentatività e realismo rispetto alle dinamiche di mercato, sia in

termini di efficacia, allorquando titoli inseriti al suo interno cessino di

esistere come titoli quotati e debbano perciò essere sostituiti.

All’estremo opposto, si trovano quei panieri costruiti in maniera tale da

riflettere continuamente i titoli a capitalizzazione maggiore, presenti in

una data economia. Quanto più aderente al reale si propone di essere

ciascuno di tali indici, tanto più frequenti dovranno necessariamente

essere le revisioni del paniere sottostante, con il rischio di introdurre una

variabilità tale da ridurne considerevolmente il valore informativo,

rendendo impossibile, ad esempio, effettuare confronti intertemporali; è

questo il caso, in Italia, del COMIT 30. La scelta della proxy è una

decisione di estrema delicatezza che, sebbene non problematica dal

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richiede l’esplicitazione delle ipotesi poste alla

punto di vista operativo,

base dei criteri di selezione.

Particolare cura bisogna dedicare al calcolo del premio a rischio, al fine

di non commettere l’errore di utilizzare dati relativi a mercati azionari

di appartenenza dell’attività da valutare. Occorre

diversi da quello

considerare come l’entità del premio al rischio dipenda fortemente dal

contesto geografico di riferimento.