Riassunti e schemi di Dynamic Asset Pricing

SCHEMA RISK

CHOICES UNDER

l lo

è

criterio

miglior scelta

di di siate

incertezza state

in caso By

applicato

DOMINANCE può

non essere

MA sempre

Asseti difficile osseti osseta

tra

scegliere e

Asset 3 Asset

Allora il calcola valore atteso

criterio

si variance si

mean

usa 6

e

variabile

degli asset

considerando ritorno

il

asset degli come una

casuale

Anche chiaramente

possibile

può

in caso scegliere

essere

non

questo

tra Ratio

SHARPE

Asset

2 to sceglie

SHARPE quello

RATIO Ratio

Sharpe

si con maggiore

EGLI

lo che gli

ratio

Usare agenti ugualmente

pesano

Sharpe assume

ECM NON SI

64 L'AVVERSITÀ

CONSIDERA

e AL RISCHIO

dell'utilità

La di

di alcune

tra

teoria scegliere

permette con

mix consumo

in

modifiche di

può condizioni

essere scegliere

applicata incertezza

per

le

che

PROPRIETÀ preferenze devono rispettare

3

A A2B BEA

preferenze

le dicono complete se o

si nelle preferenze

possibile ambiguità

è

non

A2 le allora

dicono A2B Bec

preferenze A

transitive

si se c

le

As preferenze cambiamenti

dicono piccoli

continue

si nei

se nelle

bundle di cambiamenti

comportano grandi

consumo non

preferenze bundle

tra i

al

ti totalmente razionale

richiedono

Ar consumatore di essere

e le

soddisfatte

Se preferenze

A

Ai A2 essere

sono possono

da solo Zullo

b

R R

funzione n

rappresentate 92

u se a

una delle utilità

trasformazioni crescenti

monotone funzioni di

N.B rappresentano

le stesse preferenze

sempre FUNCTION

XPECTED UTILITY

ROPRIETÀ DA RISPETTARE solo

Gli le probabilità

guardano

investitori payoff e

asset

gli by

preferiscono state State dominance

Agenti con

Se allora

del crescente

P

utilità è

payoff

ao misura

1

a u del

c'è dominance

state

Se by preferiscono stati

state si

non

mondo probabili

più le rispetta

che

criterio payoff

expected

un 8

T

ECP T

I

Pg PB Pg

Pg

con

da probabilità

solo payoff

Dipende e

tal di Pb

crescere e

Pg probabili

da gli

più stati

peso

Roblema Rischio

IL

NON CONSIDERA uguali

Tutti

ECP

As free

risk

Bernoulli utilità

la f

assume concava rendimento

gli preferiscono marginale

agenti con

ma

a

decrescente che

certezza

Meglio 5 con Te

8 2 Con E

T K

con 0

La del

f utilità

di deve payoff

funzione

crescente concava

e in

probabilità

lineare

In in AVERSION

MEASURE RISK

OF

di di indifferenza

utilità curve

te

concava convesse

unzione normali hanno

i consumatori

che

condizioni significa

questo

n for diversity

Taste di incertezza desiderio

rappresenta

Condizioni consumption

n per smoothing

del

Tra diversi mondo

stati

B tanto

P consumatore preferisce

che

U o significa poco

a

è

consumatore al

che rischio

LO significa

e

n avverso

di

Misure Aversion

Risk RE

RISK AVERSION

ABSOLUTE Re

Risk iI

Relative AVERSION income

Y ya

Absolute di

descrive confronti

Risk l'attitudine nei

AVERSION agente

un

fanno ammontare 5

che

scommesse Absolute vincere un

Y Elp o

tal

income se Risk

no Per

scommessa compens

Viti accetta

I

agente 4 non

con scommessa la

indifferente

renderebbe

i

quale scommessa

l'agente verso

E

t'acyth 44 5

Y 1

u

UTILITÀ LA

SE

UTILITÀ ACCETTA

SE ACCETTA

NI SCOMMESSA

ATTESA

LA SCOMMESSA

Calcoliamo di per

Taylor

approx h

ht juicy

alyth Uy y

u E

ht

My y

b only 4

u n

t nell'eq

sostituiamo htu.ly h

e LUCY L 4

Lucy l e

c'Cythttu

et

4 y

io l

h 4

Ziti n

44

a y

4 n

e I

L E

RACY

diversi stesso Racy dipende

Soggetti day

Yi hanno non

con

Relative l'attitudine

descrive di agente

RISK AVERSION un con

del

gli fanno

che incuna

porzione

perdere una

BETS vincere suo

y di KY

stessa con I

scommessa prima TJULY

Italy KYI

CI

Ely KY

fanno di

si approssimazioni TAYLOR

EIH K E

in

da Rely

dipende y dunque F

agenti avranno

Yi

2 con

Un È

Reddito payoff

investitore incerto

asset

con un

e

y con al

ha utilità ed

ECE è

vivi rischio

f avverso

se

e

preferirà payoff

asset risk FREE

ECE

con

un ULYTECENZELULYTE utili

of the

than expectation

Utility the

expectations greater of

are

Jensen inequality

Il scambia

che al

payoff Risk rischio

massimo avverso

free agente

un

con rischioso è

payoff sarà

un equivalent

certain

detto e sempre

CECE

inferiore ECE

a YLE RISK

CELE PREMIUM

ECE la Relazione tra

Vogliamo coefficienti

Premium

Risk

capire i

e

Rischio

al

di avversione ECE YE

che

sappiamo agy.EE

ELCYtED

t

ELUCHEDEULYTELES YLES

chiamiamo YEYTECE f Bet

I Bei

Size of

ELKLYTÉTECEDERLY YETI Per

Lo Per

2 DX

e

APPROX Taylor

FACCIAMO sx

ELEDYEUY ULYTYLE

UYSTULIELEELEITEUTHELLE

1 GET

t F YLE

It

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I

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E A

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I

E

Y utilità

di

allocazione

Consideriamo f

problema di viva

con

agente

un

un corrente

può asset rischioso

investire in conto

un o

E un

l nostro deve mai

dunque

agente É

LUCIDITA ED

E ACE

HK

RA ULYO

al

è rischio utilità

che l'agente i

f

avverso concava

appiamo la

suff

F

9C max

per

e

Necessaria

Ma RULE

CHAIN Ete

TE

4 itta

ELL E O

I 1

Wca

Torena I ECT TE

S.SE

O

CI ECE

S.SE

O O

CE S.SE E TE

SHORT LO E

SELL

Per dimostrare risultati

teorema ci 3

servono

questo

t.o.C.WC.at

W ti

a o HYLO

ELIÉICELE

wa decrescente in

a a

ELE

Line

Yo E

WCO l

NO ECE

lo

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stesso

wo di

segno

CE Watto

che

dato

E wo

ORA

Potizziano teso so

essendo was decrescente ing

of o

ECK dato che Wat

LO

TE

ORA

POTIZZIANO WCO o

LO

essendo decrescente

va in a

LO

F dato che

E

Potizziano Wat

Te

ORA co

o o o

atto

al rischio

ECE Re

Quindi utilità

f

con

agente avverso vivi

se un una

allocherò della ricchezza

parte rischiosi

asset

in

una sua

sempre

Allocation

sortfolio agente avversoacrischo

hey

aly yo

III

F ELE at

CIME

Try O

TE

come sceglie a

la utilità attesa

deve

L'agente Max sua hfyolithta.LK

ITALY G A

alta te te

Itte

Max

i l'ordine

derivata

IL B

I

te te

Ty

Yolltteltatry me

yoga _µ

e

t isola è

si umanità è posta

K

te

Cry K

È E yoi

se

It ELI Te

se

at spread

da

allontanano te

to preserving

mean

se Eye si al

consideriamo neutrale rischio

un agente

UCI B

XY a

deve

l'agente Max l

4 taffy

e possibile

a maggiore

per massimizare

Teorema che livello la

due di

investitori

Consideriamo Ricchezza valga

per y

ogni allora atly

RELY RI

disuguaglianza at

seguente Y

Y

Ri

vale identica y

per

il

Generalizziamo allocazione

di dell'investitore

problema asset

n

con

può

rischiosi tra scegliere

cui sia witty

te

Iia Iga a

I Yo

e È E A

Y

Y Wi

YT HK l'utilità

l'agente attesa Yt

deve mux

ULYOLAHTFIWIY.CI E

E

MAX

sulla

la at

variabile più

quale è

ora mal

per non

agiamo ma vi

il dell'asset Pte

nel

i

ossia peso risolve il investitori

gli

portfolio assumendo

problema

Modern che

Theory hanno utilità variance

mean

off

Trade EC 6

e

tra

utilità di

investitore avrà sotto almeno

Un una

variance

mean

ipotesi

queste piccolo futilità

ad

quadratica

Rischio PTF approx

a una una generica

Bernoulli è accurata

una

è

Bernoulliana

utilità

la quadratico

f nn

asset N

ritorni

I y

degli

È di

tipo preferenze

ragionevole questo

assumere Yi

Elu

investitore f utilità

Ipotizziamo un n

un con

ECT.lt 4

tapprox TAYLOR ELII

LI

LI ELIN ELECTA

ULYIEUGECIITULECY.IS

valore atteso

il

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ne

La IuiLECII

ELIEG

ELECIBEULECIITUELEELI.EC

è è

una o

costante

i ECY.DtEWLECID6YY

ELUCY.EU variance

Mean valore

crescente

è atteso

premia

w maggior

dunque

l'è decrescente varianza

penalizza

dunque maggior di

Elii

I è

piccola Taylor

la è

Se corretta

Bet

Pte questa approx

la futilità

che Bernoulli

ipotizziamo di è

2 quadratica

Yt b

by con

at cco

a

u y o

accurata anche

è grand

l'approx bets

Taylor

in per

questo caso Y

è

Ra crescente in

Ia

LEI

Y

Ra

NB allocata

la in

Se parte

Ya Risky

al

aumenta

diminuisce avv

asset rischio

allora di

il f può

atteso 5

di

valore

Y ogni

N

Se

3 di

scritta funzione

essere my e

come Gy

LUCID G

my

E da

la descritta

N me

completamente

è

perché 6

questo v4

crescente deyi

essendo u concava se

e 617

Se

le di indifferenza

curve sono convesse

abbiano TRADEOFF tra Ny e Gy

XN

Problema ritorni derivati dalla

analisi nn

mostra

empirica deviazioni

GAINS DALLA DIVERSIFICAZIONE dell'asset

il

Consideriamo asset peso

W W

1 ci

rischiosi e

sia

a

il asset a