Analisi critica di meccanismi di dissesto nella muratura

G O G z G

,1 ,1 ,1

67

( ) ϑ

= − ⋅ =

−

u u y y

G ,2 O G ,2 z G ,2

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v x x

G ,2 O G ,2 z G ,2

Rielaborando l’equazione dei Lavori Virtuali si ottiene:

( ) ( )

α α

− ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ +

F F u F v P u P v F u

0 ,1 ,1 ,1 0 ,1 ,1 .1

V H A V A S B S B tir C

)

(

( )

α α (2.27)

− ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ +

F F u F v P F u P v

0 ,2 ,2 ,2 0 ,2 . ,2

V H D V D S cop E S E

( ) ( )

α α

+ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ =

0

F u W u W v W u W v

.2 0 ,1 1 ,1 0 2 ,2 2 ,2

tir F G G G G

1 )

) (

( α α

⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ +

F F h F d P h P d F h

V H A V A S S B tir C

0 ,1 ,1 ,1 0 ,1 1 ,1 .1

( )

( ) ( )

α α (2.28)

+ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + − ⋅ +

F F h F d P F h h P d

V H D V D S cop S E

0 ,2 ,2 ,2 0 ,2 . 1 2 ,2

( )

( )

α α

− ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ =

F h W y W x W y W x 0

tir .2 F 0 G ,1 1 G ,1 0 2 G ,2 2 G ,2

1

− ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅

F h F d P d F h F h F d

α +

H ,1 A V ,1 A S ,1 B tir .1 C H ,2 D V ,2 D

( )

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅

0 F h P h F h P h h W y W y

V ,1 A S ,1 1 V ,2 D S ,2 1 2 1 G ,1 2 G ,2 (2.29)

( )

− ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

F h h P d F h W x W x

+ cop . 1 2 S ,2 E tir .2 F 1 G ,1 2 G ,2

( )

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅

F h P h F h P h h W y W y

V ,1 A S ,1 1 V ,2 D S ,2 1 2 1 G ,1 2 G ,2

Sia n il numero di piani coinvolti nel cinematismo; l’espressione (2.29) appena formulata può essere

riscritta in forma compatta: n n n

∑ ∑ ∑

( )

− ⋅ + − ⋅ + ⋅ + ⋅

F h h F h F d P d

. 1 2 , , , , ,

cop H m V m V m V m S k k

α +

= = =

1 1 1

m m k

0 n n n

∑ ∑ ∑

⋅ + ⋅ + ⋅

F h P h W y

, , , ,

V m V m S k k i G i

= = =

1 1 1

m k i (2.30)

n n

∑ ∑

⋅ + ⋅

F h W x

, , ,

tir m tir m i G i

+

= =

1 1

m i

n n n

∑ ∑ ∑

⋅ + ⋅ + ⋅

F h P h W y

, , , ,

V m V m S k k i G i

= = =

1 1 1

m k i 68

2.2.3.3. Ribaltamento semplice di una parete a doppia cortina ad un piano

“Negli edifici di antica costruzione sono spesso presenti pareti di muratura che non garantiscono un

comportamento monolitico per l’assenza o l’insufficienza di diatoni di collegamento (ovvero blocchi

disposti in senso trasversale) tra i paramenti. Le cortine murarie possono arrivare ad avere

comportamenti pressoché indipendenti come nel caso limite delle murature a sacco” [21].

I due paramenti, infatti, non sono interconnessi reciprocamente in alcun modo, anzi la cavità

intermedia può risultare vuota o al massimo riempita con del materiale sciolto di risulta.

L’introduzione di nuove variabili, legate alla trasmissione relativa di sforzi da un paramento all’altro,

rende la definizione di un modello attendibile piuttosto complessa.

Figura 38 – Schema statico di una parete a doppia cortina ad un piano, soggetta ad

un meccanismo cinematico di ribaltamento semplice

Nel caso le cortine siano accostate, come testimonia lo schema proposto in Figura 38, l’interazione

tra le due avviene tramite dei vincoli interni monolateri di tipo a carrello. Di conseguenza, il

trasferimento delle sole azioni orizzontali verso il paramento esterno comporta un incremento delle

sollecitazioni flettenti, in relazione ad un livello di compressione che permane su valori costanti; ne

deriva un possibile collasso della sola cortina esterna secondo un meccanismo di ribaltamento

attorno al vincolo esterno (posizionato alla base di questa stessa, punto O ).

1

69

In riferimento allo schema statico riportato, si definiscono i seguenti parametri:

W [N] = peso proprio dell’i-esimo paramento murario in esame;

• i

P [N] = frazione del peso del solaio agente sulla k-esima cortina muraria;

• S,k

F [N] = componente verticale della spinta di archi o volte sulla parete;

• V [N] = componente orizzontale della spinta di archi o volte sulla parete;

F

• H [N] = valore massimo dell’azione di un eventuale tirante;

F

• tir.

F [N] = spinta statica trasmessa dalla copertura.

• cop.

In questo caso è necessario mettere in evidenza i vincoli esterni alla traslazione alla base delle due

e O ), attorno ai quali si verificherà una rotazione

cortine murarie (in corrispondenza dei punti O

1 2

rigida. Le condizioni di vincolo che ne derivano sono:

=

u 0

O ,1 =

v 0

O ,1 =

u 0

O ,2 =

v 0

O ,2

Assegnando due rotazioni virtuali unitarie concordi ϑ = ϑ = 1°, si procede alla valutazione degli

z,1 z,2

spostamenti di tutti i punti di applicazione delle forze in gioco:

)

( ϑ

= − ⋅ =

−

u u h h

A O A z A

,2 ,2

)

( ϑ

= + ⋅ =

v v d d

A O A z A

,2 ,2

( ) ϑ

= − ⋅ =

−

u u h h

B O ,2 z ,2

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

B O ,2 B z ,2 B

( ) ϑ

= − ⋅ =

−

u u h h

C O ,2 C z ,2 C

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v s s

C O ,2 2 z ,2 2

)

( ϑ

= − ⋅ =

−

u u h h

D O z

,1 ,1

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

D O D z D

,1 ,1

( ) ϑ

= − ⋅ =

−

u u y y

G ,1 O ,1 G ,1 z ,1 G ,1

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v x x

G ,1 O ,1 G ,1 z ,1 G ,1

( ) ϑ

= − ⋅ =

−

u u y y

G ,2 O ,2 G ,2 z ,2 G ,2

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v x x

G ,2 O ,2 G ,2 z ,2 G ,2

70

Applicando l’equazione dei Lavori Virtuali si ha: )

(

( )

α α

− ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ +

F F u F v P u P v F u

0 0 ,2 ,2 .

V H A V A S B S B tir C

( ) ( )

α α (2.31)

− ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ +

P F u P v W u W v

0 ,1 . ,1 0 ,1 1 ,1

S cop D S D G G

1

( )

α

− ⋅ ⋅ − ⋅ =

W u W v 0

0 2 ,2 2 ,2

G G )

(

( )

α α

⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ +

F F h F d P h P d F h

V H A V A S S B tir C

0 0 ,2 ,2 .

( ) ( )

α α (2.32)

+ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ +

P F h P d W y W x

S cop S D G G

0 ,1 . ,1 0 1 ,1 1 ,1

( )

α

+ ⋅ ⋅ − ⋅ =

W y W x 0

G G

0 2 ,2 2 ,2

− ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅

F h F d P d F h F h P d

α +

H A V A S ,2 B tir C cop . S ,1 D

( )

⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅

0 F h P P h W y W y

V A S ,1 S ,2 1 G ,1 2 G ,2 (2.33)

⋅ + ⋅

W x W x

+ 1 G ,1 2 G ,2

( )

⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅

F h P P h W y W y

V A S ,1 S ,2 1 G ,1 2 G ,2

71

2.2.4. Ribaltamento composto

“Per ribaltamento composto si vuole qui indicare un insieme di situazioni in cui al ribaltamento della

parete ortogonale all’azione sismica si accompagna il trascinamento di una porzione di struttura

muraria appartenente ad un’angolata libera oppure a pareti di spina” [21].

Figura 39 – Esempi di meccanismi di ribaltamento composto

Tale fenomeno è legato alla presenza di efficienti dispositivi di connessione tra le murature che

confluiscono in un nodo, determinandone il coinvolgimento nel cinematismo; affinché questo possa

verificarsi, però, è altresì necessario rilevare un’assenza di vincoli in sommità nella parete ribaltante.

Nel caso di orizzontamenti tradizionali, quindi privi di irrigidimento mediante soletta armata, il

meccanismo di ribaltamento è generalmente accompagnato dal distacco di un cuneo diagonale in

corrispondenza del maschio murario ortogonale; al contrario, in presenza di solai rigidi, il

cinematismo determina il trascinamento di un cuneo a doppia diagonale nella parete di spina.

Figura 40 – Macroelementi di distacco a singola e doppia diagonale

Questa variante del ribaltamento semplice è fortemente influenzata dal tipo di muratura e dalla

presenza di aperture nelle pareti di controvento, da cui dipendono in maniera particolare le

72

dimensioni e la configurazione del cuneo di distacco: analogamente a quanto introdotto

brevemente nella sezione 2.2 di questo documento, infatti, si osserva che l’angolo formato dalla

fessurazione del cuneo e la verticale aumenta proporzionalmente con la qualità muraria, in

particolare con le dimensioni medie degli ortostati (blocchi disposti in senso longitudinale). In

questo tipo di meccanismo cinematico, inoltre, è possibile rilevare come quanto più contenuta

dovesse risultare la porzione muraria trascinata nel moto di ribaltamento tanto più ridotto sarà il

moltiplicatore di collasso (fino al caso limite in cui il ribaltamento composto equivale al ribaltamento

semplice); tale assunzione trova riscontro proprio nelle considerazioni sulla qualità dei pannelli

murari appena messe in evidenza, in quanto strettamente correlata alle caratteristiche di resistenza

meccanica dei relativi costituenti.

Per quanto concerne le condizioni di vincolo, queste risultano del tutto identiche a quelle proposte

in precedenza nel paragrafo relativo al ribaltamento semplice, per cui:

=

u 0

O =

v 0

O 73

2.2.4.1. Ribaltamento composto di un cuneo diagonale coinvolgente un piano

In questo caso l’assenza di un efficace vincolo bilatero in testa all’elemento ribaltante limita

l’estensione della parete ribaltante al solo ultimo livello dell’edificio.

Figura 41 – Schema statico di un cuneo diagonale coinvolgente un piano, soggetto ad un

meccanismo cinematico di ribaltamento composto

Come illustrato in Figura 41, si elencano le varie azioni di progetto:

W [N] = peso proprio del maschio murario