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Analisi critica di meccanismi di dissesto nella muratura

Tesi di ricerca di laurea magistrale che riguarda i meccanismi cinematici di collasso delle pareti in muratura. Argomentazioni sperimentali che approfondiscono i danni derivanti da sisma. Università degli Studi del Politecnico di Milano - Polimi. Scarica il file in formato PDF!

Materia di Consolidamento delle strutture relatore Prof. M. Pisani

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2.2.4.1. Ribaltamento composto di un cuneo diagonale coinvolgente un piano

In questo caso l’assenza di un efficace vincolo bilatero in testa all’elemento ribaltante limita

l’estensione della parete ribaltante al solo ultimo livello dell’edificio.

Figura 41 – Schema statico di un cuneo diagonale coinvolgente un piano, soggetto ad un

meccanismo cinematico di ribaltamento composto

Come illustrato in Figura 41, si elencano le varie azioni di progetto:

W [N] = peso proprio del maschio murario in esame;

• W [N] = peso proprio del cuneo di distacco;

• 0

P [N] = peso del solaio agente sulla parete;

• S

P [N] = carico verticale relativo al solaio agente sul cuneo di distacco (calcolato in base

• S,0

all’area d’influenza);

F [N] = componente verticale della spinta di archi o volte sulla parete;

• V

F [N] = componente orizzontale della spinta di archi o volte sulla parete;

• H

F [N] = valore massimo dell’azione di un eventuale tirante;

• tir.

F [N] = spinta statica trasmessa dalla copertura.

• cop. 74

Come eseguito finora, si ripete l’operazione con cui si valutano gli spostamenti in corrispondenza

dei punti di applicazione delle differenti sollecitazioni in funzione della rotazione virtuale unitaria,

= 1°:

ϑ z ( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

A O A z A

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

A O A z A

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

B O z

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

B O B z B

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

C O C z C

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v s s

C O z

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u y y

G O G z G

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v x x

G O G z G

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u y y

G ,0 O G ,0 z G ,0

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v x x

G ,0 O G ,0 z G ,0

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

L O z

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

L O L z L

Di conseguenza, sviluppando l’equazione dei Lavori Virtuali si ha:

( )

( )

α α

− ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ +

F F u F v P F u P v F u

0 V H A V A 0 S cop . B S B tir . C

( )

( ) ( )

α α α (2.34)

− ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ +

W u W v W u W v P u

0 0 0 ,0 0 ,0 0 ,0

G G G G S L

− ⋅ =

0

P v

,0

S L ( )

( )

α α

⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ +

F F h F d P F h P d F h

V H A V A S cop S B tir C

0 0 . .

( )

( )

( )

α α α (2.35)

+ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ +

W y W x W y W x P h

G G G G S

0 0 0 ,0 0 ,0 0 ,0

− ⋅ =

P d 0

S L

,0 − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅

F h F d F h P d F h

α +

H A V A cop . S B tir . C

( )

⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅

0 F h P P h W y W y

V A S S ,0 G 0 G ,0 (2.36)

⋅ + ⋅ + ⋅

W x W x P d

+ G G S L

0 ,0 ,0

( )

⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅

F h P P h W y W y

V A S S ,0 G 0 G ,0

75

2.2.4.2. Ribaltamento composto di un cuneo diagonale coinvolgente più piani

Nel caso in cui l’edificio, in corrispondenza delle solette deformabili, dovesse risultare privo di

dispositivi in grado di contrastare efficacemente il ribaltamento della facciata, allora il meccanismo

cinematico in esame coinvolgerebbe diversi livelli.

Figura 42 – Schema statico di un cuneo diagonale coinvolgente più piani, soggetto ad un

meccanismo cinematico di ribaltamento composto

76

Di nuovo, in riferimento a quanto illustrato in Figura 42, si definiscono le varie sollecitazioni:

W [N] = peso proprio dell’i-esimo maschio murario in esame;

• i

W [N] = peso proprio del cuneo di distacco;

• 0

P [N] = peso del k-esimo solaio agente sulla parete;

• S,k [N] = carico verticale relativo al k-esimo solaio agente sul cuneo di distacco, calcolato in

P

• s,0,k

base all’area d’influenza;

F [N] = componente verticale della spinta di archi o volte sulla m-esima parete;

• V,m [N] = componente orizzontale della spinta di archi o volte sulla m-esima parete;

F

• H,m

F [N] = valore massimo dell’azione di un eventuale tirante sulla m-esima parete;

• tir,m

F [N] = spinta statica trasmessa dalla copertura.

• cop. = 1° sono elencati di seguito:

Gli spostamenti conseguenti alla rotazione virtuale unitaria ϑ z

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

A O A z A

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

A O A z A

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

B O 1 z 1

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

B O B z B

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

C O C z C

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v s s

C O 1 z 1

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

D O D z D

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

D O D z D

( ) ϑ

= − + ⋅ =

− −

u u h h h h

E O 1 2 z 1 2

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

E O E z E

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

F O F z F

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v s s

F O 2 z 2

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u y y

G ,1 O G ,1 z G ,1

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v x x

G O G z G

,1 ,1 ,1

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u y y

G ,2 O G ,2 z G ,2

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v x x

G ,2 O G ,2 z G ,2

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u y y

G ,0,1 O G ,0,1 z G ,0,1

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v x x

G ,0,1 O G ,0,1 z G ,0,1

77

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u y y

G ,0,2 O G ,0,2 z G ,0,2

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v x x

G ,0,2 O G ,0,2 z G ,0,2

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

L O 1 z 1

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

L O L z L

)

( ϑ

= − + ⋅ =

− −

u u h h h h

P O 1 2 z 1 2

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

P O P z P

Per cui l’equazione dei Lavori Virtuali, rispetto al caso monopiano, viene modificata come segue:

( )

( )

α α

− ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ +

F F u F v P u P v F u

0 V ,1 H ,1 A V ,1 A 0 S ,1 B S ,1 B tir .1 C

( )

( )

α α

− ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ +

F F u F v P F u P v

V H D V D S cop E S E

0 ,2 ,2 ,2 0 ,2 . ,2

( ) ( )

α α (2.37)

+ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ +

F u W u W v W u W v

tir F G G G G

.2 0 1 ,1 1 ,1 0 2 ,2 2 ,2

) ( )

( α α ⋅ − ⋅ +

− ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ u W v

W u W v W 2 G ,0,2 0,2 G ,0,2

G G

0 0,1 ,0,1 0,1 ,0,1 0 0,

( ) ( )

α α

− ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ =

P u P v P u P v 0

S L S L S P S P

0 ,0,1 ,0,1 0 ,0,2 ,0,2

)

( ) (

α α

⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ +

F F h F d P h P d F h

V H A V A S S B tir C

0 ,1 ,1 ,1 0 ,1 1 ,1 .1

( )

( ) ( )

α α

+ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + − ⋅ +

F F h F d P F h h P d

V H D V D S cop S E

0 ,2 ,2 ,2 0 ,2 . 1 2 ,2

)

( ) (

α α (2.38)

− ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ +

F h W y W x W y W x

tir F G G G G

.2 0 1 ,1 1 ,1 0 2 ,2 2 ,2

( )

)

( α α ⋅ ⋅ − ⋅ +

+ ⋅ ⋅ − ⋅ + W y W x

W y W x G G

0 0,2 ,0,2 0,2 ,0,2

G G

0 0,1 ,0,1 0,1 ,0,1

( ) ( ) ( )

α α

+ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ =

P h P d P h h P d 0

S S L S S P

0 ,0,1 1 ,0,1 0 ,0,2 1 2 ,0,2

α 

=− ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ +

F h F d P d F h F h F d

0 H ,1 A V ,1 A S ,1 B tir .1 C H ,2 D V ,2 D

( )

− ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

F h h P d F h W x W x W x

cop . 1 2 S ,2 E tir .2 F 1 G ,1 2 G ,2 0,1 G ,0,1

( ) (2.39)

 

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ +

W x P d P d F h P P h

 

0,2 G ,0,2 S ,0,1 L S ,0,2 P V ,1 A S ,1 S ,0,1 1

( ) ( )

+ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ P P h h W y W y W y

F h S ,2 S ,0,2 1 2 1 G ,1 2 G ,2 0,1 G ,0,1

V ,2 D 

+ ⋅

W y 

0,2 G ,0,2 78

Sia n il numero di piani coinvolti nel cinematismo; l’espressione (2.39) appena formulata può essere

riscritta in forma compatta: n n

∑ ∑

( )

− ⋅ + − ⋅ + ⋅

F h h F h F d

. 1 2 , , , ,

cop H m V m V m V m

α +

= =

1 1

m m

0 n n n n

( )

∑ ∑ ∑ ∑

⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅

F h P P h W y W y

, , , ,0, , 0, ,0,

V m V m S k S k k i G i i G i

= = = =

1 1 1 1

m k i i (2.40)

n n n n

( )

∑ ∑ ∑ ∑

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

P P d F h W x W x

, ,0, . , , 0, ,0,

S k S k k tir m tir m i G i i G i

+

= = = =

1 1 1 1

k m i i

n n n n

( )

∑ ∑ ∑ ∑

⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅

F h P P h W y W y

, ,

V m V m S , k S ,0, k k i G , i 0, i G ,0, i

= = = =

m 1 1 1 1

k i i

79

2.2.4.3. Ribaltamento composto di un cuneo a doppia diagonale coinvolgente un piano

Come accennato in precedenza, il meccanismo composto si può manifestare “con il ribaltamento

della parete di facciata accompagnato dal distacco e trascinamento di un elemento a doppia

diagonale appartenente alla parete di controvento” [21].

La conformazione di quest’ultimo è dovuta alla rigidezza degli orizzontamenti nel proprio piano

medio, i quali impediscono l’innalzamento della porzione superiore della muratura di spina. Inoltre,

in presenza di cordolatura in C.A. nella parte sommitale dei pannelli murari di controvento, si

registra una rotazione rigida della soletta, la quale tende a sollevarsi dalla parete determinando un

effetto di decompressione nelle murature sottostanti: restando prive di tale confinamento

esercitato dai carichi verticali, le stesse potrebbero subìre un collasso per effetto dell’accelerazione

orizzontale associata all’azione di taglio.

Figura 43 – Schema statico di un cuneo a doppia diagonale coinvolgente un piano, soggetto

ad un meccanismo cinematico di ribaltamento composto

Secondo quanto illustrato nello schema statico in Figura 43, si definiscono i seguenti parametri:

W [N] = peso proprio del maschio murario in esame;

• W [N] = peso proprio del cuneo di distacco;

• 0

P [N] = peso del solaio agente sulla parete;

• S

F [N] = componente verticale della spinta di archi o volte sulla parete;

• V

F [N] = componente orizzontale della spinta di archi o volte sulla parete.

• H 80

Di conseguenza, lo sviluppo analitico risulta del tutto analogo a quanto proposto in precedenza:

)

( ϑ

= − ⋅ =

u u h h

A O A z A

)

( ϑ

= + ⋅ =

v v d d

A O A z A

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

B O z

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

B O B z B

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u y y

G O G z G

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v x x

G O G z G

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u y y

G ,0 O G ,0 z G ,0

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v x x

G ,0 O G ,0 z G ,0

( ) ( ) ( )

α α α

− ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ +

F F u F v P u P v W u (2.41)

V H A V A S B S B G

0 0 0

( )

α

− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ =

W v W u W v 0

G G G

0 0 ,0 0 ,0

( ) ( ) ( )

α α α

⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ +

F F h F d P h P d W y (2.42)

0 0 0

V H A V A S S B G

( )

α

− ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ =

W x W y W x 0

0 0 ,0 0 ,0

G G G

− ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

F h F d P d W x W x

α (2.43)

= H A V A S B G 0 G ,0

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

0 F h P h W y W y

V A S G 0 G ,0

Normalmente questo tipo di cinematismo garantisce un moltiplicatore di collasso superiore rispetto

ai casi di studio trattati finora. 81

2.2.4.4. Ribaltamento composto di un cuneo a doppia diagonale coinvolgente più piani

È questo il caso in cui le condizioni di vincolo che consentono l’attivazione del meccanismo di

ribaltamento di cuneo a doppia diagonale riguardano più livelli di un edificio: anche qui, si tratta

generalmente di edifici dotati di efficienti collegamenti tra le murature e contestualmente di

dispositivi di connessione di scarsa qualità in corrispondenza di alcuni nodi soletta-maschio murario,

copertura-maschio murario.

Figura 44 – Schema statico di un cuneo a doppia diagonale coinvolgente più piani,

soggetto ad un meccanismo cinematico di ribaltamento composto

82

Di seguito si riportato le diverse sollecitazioni di progetto evidenziate in Figura 44:

W [N] = peso proprio dell’i-esimo maschio murario in esame;

• i

W [N] = peso proprio del cuneo di distacco;

• 0

P [N] = peso del k-esimo solaio agente sulla parete;

• S,k [N] = peso del k-esimo solaio agente sul cuneo di distacco, calcolato in base all’area

P

• S,0,k

d’influenza (non presente all’ultimo piano);

F [N] = componente verticale della spinta di archi o volte sulla m-esima parete;

• V,m [N] = componente orizzontale della spinta di archi o volte sulla m-esima parete;

F

• H,m

F [N] = valore massimo dell’azione di un eventuale tirante sulla m-esima parete (non

• tir,m

presente all’ultimo piano).

Gli spostamenti determinati per effetto della rotazione virtuale unitaria, ϑ = 1°, vengono qui

z

elencati: ( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

A O A z A

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

A O A z A

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

B O 1 z 1

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

B O B z B

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

C O C z C

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v s s

C O 1 z 1

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

D O D z D

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

D O D z D

)

( ϑ

= − + ⋅ =

− −

u u h h h h

E O 1 2 z 1 2

)

( ϑ

= + ⋅ =

v v d d

E O E z E

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u y y

G ,1 O G ,1 z G ,1

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v x x

G O G z G

,1 ,1 ,1

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u y y

G O G z G

,2 ,2 ,2

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v x x

G ,2 O G ,2 z G ,2

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u y y

G ,0,1 O G ,0,1 z G ,0,1

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v x x

G ,0,1 O G ,0,1 z G ,0,1

83

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u y y

G ,0,2 O G ,0,2 z G ,0,2

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v x x

G ,0,2 O G ,0,2 z G ,0,2

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

L O 1 z 1

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

L O L z L

Rispetto all’analogo caso di studio di tipo monopiano visto al paragrafo 2.2.4.3, è necessario

modificare l’equazione dei Lavori Virtuali:

( ) ( )

α α

− ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ +

F F u F v P u P v F u

V H A V A S B S B tir C

0 ,1 ,1 ,1 0 ,1 ,1 .1

( ) ( )

α α

− ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ +

F F u F v P u P v

V H D V D S E S E

0 ,2 ,2 ,2 0 ,2 ,2 (2.44)

( )

( ) ( )

α α α

− ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ +

W u W v W u W v W u

G G G G G

0 1 ,1 1 ,1 0 2 ,2 2 ,2 0 0,1 ,0,1

( ) ( )

α

α − ⋅ ⋅ − ⋅ =

− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ 0

P u P v

W v W u W v

G G G

0,1 ,0,1 0 0,2 ,0,2 0,2 ,0 ,2 0 ,0,1 ,0,1

S L S L

( ) ( )

α α

⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ +

F F h F d P h P d F h

0 V ,1 H ,1 A V ,1 A 0 S ,1 1 S ,1 B tir .1 C

( ) ( ) ( )

α α

+ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ +

F F h F d P h h P d

0 V ,2 H ,2 D V ,2 D 0 S ,2 1 2 S ,2 E (2.45)

( )

( ) ( )

α α α

+ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ +

W y W x W y W x W y

0 1 G ,1 1 G ,1 0 2 G ,2 2 G ,2 0 0,1 G ,0,1

( ) ( )

α α

− ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ =

W x W y W x P h P d 0

0,1 ,0,1 0 0,2 ,0,2 0,2

G G G ,0,2 0 S ,0,1 1 S ,0,1 L

α 

=− ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ +

F h F d P d F h F h

0 ,1 ,1 ,1 .1 ,2

H A V A S B tir C H D

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

F d P d W x W x W x W x

,2 ,2 1 ,1 2 ,2 0,1 ,0,1 0,2 ,0,2

V D S E G G G G (2.46)

 

+ ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + +

( ) ( )

P d F h P P h F h P h h

 

,0,1 ,1 ,1 ,0,1 1 ,2 ,2 1 2

S L V A S S V D S

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

W y W y W y W y 

1 ,1 2 ,2 0

G G ,1 ,0,1 0,2 ,0,2

G G

Il simbolo n indica il numero di livelli coinvolti nel cinematismo; l’espressione (2.46) può essere

riformulata in maniera compatta come segue: −

n n n n 1

∑ ∑ ∑ ∑

− ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

F h F d P d P d

H , m V , m V , m V , m S , k k S ,0, k k

α +

= = = =

m 1 m 1 k 1 k 1

0 n n n 1 n n

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

F h P h P h W y W y

V , m V , m S , k k S ,0, k k i G , i 0, i G ,0, i

= = = = =

m 1 k 1 k 1 i 1 i 1 (2.47)

n 1 n n

∑ ∑ ∑

⋅ + ⋅ + ⋅

F h W x W x

tir . m tir , m i G , i 0, i G ,0, i

+ = = =

m 1 i 1 i 1

n n n 1 n n

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

F h P h P h W y W y

V , m V , m S , k k S ,0, k k i G , i 0, i G ,0, i

= = = = =

m 1 k 1 k 1 i 1 i 1

84

2.2.4.5. Ribaltamento del cantonale

“Tra i meccanismi di ribaltamento composto viene qui considerato anche quello che prevede il

ribaltamento della parte alta del cantonale degli edifici, generalmente determinato dalla spinta dei

puntoni dei tetti a padiglione. Il meccanismo si manifesta attraverso la rotazione di un cuneo di

distacco, delimitato da superfici di frattura nelle pareti concorrenti nell’angolo libero” [21].

Il polo di rotazione coincide con la base di tale macroelemento di separazione. La conformazione

del cuneo stesso può variare in funzione della qualità dei materiali costituenti le murature che

confluiscono nel nodo (a cui è possibile associare la variazione di inclinazione della frattura), ma

anche della presenza di aperture in prossimità del cantonale.

Figura 45 – Esempio di un meccanismo di ribaltamento del cantonale

Questo tipo di fenomeno è determinato, quindi, dall’assenza di un’adeguata tecnologia di ritegno

in testa ai pannelli murari in esame e favorito da eventuali coperture spingenti; nel caso in cui tale

criticità dovesse interessare anche i nodi strutturali parete-soletta, il meccanismo potrebbe

estendersi ai piani sottostanti l’ultimo livello dell’edificio. Per questa ragione, sulla base delle

caratteristiche meccaniche e geometriche rilevate in situ, sarebbe utile in fase di calcolo considerare

la possibilità che si formino cunei di diversa conformazione, al fine di poter valutare il minimo valore

di moltiplicatore di collasso possibile (a cui si associa il più probabile meccanismo cinematico).

85

In funzione di quanto appena descritto, si considera un moto di rotazione intorno ad un asse

passante per un generico polo di rotazione O (ricordiamo, posizionato in corrispondenza dell’angolo

libero tra le due pareti ortogonali fra loro) e perpendicolare ad un piano, il quale contiene lo spigolo

e forma 45° con i pannelli murari; l’entità di tale ampiezza è stata definita a partire dalla direzione

(approssimata) della spinta di un puntone in un tetto a padiglione.

Figura 46 – Trasmissione delle azioni concentrate relative ai puntoni di una copertura a padiglione

Figura 47 – Rappresentazione tridimensionale dello schema statico di un cantonale

soggetto ad un meccanismo cinematico di ribaltamento

86

Figura 48 – Rappresentazione bidimensionale dello schema statico di un cantonale

soggetto ad un meccanismo cinematico di ribaltamento

Data la complessità del problema, principalmente legata al numero di parametri in gioco e alle

proiezioni di questi stessi nel piano di ribaltamento, si ritiene opportuno riassumerli come segue (in

riferimento a quanto illustrato in Figura 48):

[N] = peso proprio del cuneo di distacco;

W

• 0

P [N] = peso della copertura in testa alla m-esima parete;

• S,m

F [N] = componente verticale della spinta di archi o volte esercitata su una delle due pareti

• V

convergenti nello spigolo;

F [N] = componente orizzontale della spinta di archi o volte esercitata su una delle due

• H

pareti convergenti nello spigolo;

F ’ [N] = proiezione nella direzione del ribaltamento della componente verticale della spinta

• H

di archi o volte esercitata su una delle due pareti convergenti nello spigolo:

 

2

= ⋅  

F ' F  

H H 2

 

F [N] = valore massimo dell’azione di un eventuale tirante sulla m-esima parete

• tir,m

convergente nello spigolo; 87

’ [N] = proiezione dell’azione massima di un eventuale tirante sulla m-esima parete

F

• tir,m

convergente nello spigolo:  

2

= ⋅  

F F

'  

tir m tir m

, , 2

 

F [N] = spinta statica trasmessa dal puntone della copertura a padiglione sul cantonale

• cop.

nella direzione del ribaltamento.

In funzione della rotazione virtuale unitaria ϑ = 1° è possibile quantificare i seguenti spostamenti:

z

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

A O A z A

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

A O A z A

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

B O z

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

B O B z B

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

C O C z C

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

C O C z C

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u y y

G O G z G

,0 ,0 ,0

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v x x

G O G z G

,0,1 ,0,1 ,0,1

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

R O z

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

R O R z R

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

S O z

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

S O S z S

La conseguente equazione dei Lavori Virtuali risulta:

( )

( )

α α

− ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ +

F F ' u F v F u F v

0 V H A V A 0 cop . B cop . B

( )

( ) ( )

α α (2.48)

+ + ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ +

F ' F ' u W u W v P u

tir ,1 tir ,2 C 0 0 G ,0 0 G ,0 0 S ,1 R

( )

α

− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ =

P v P u P v 0

S i R S S S S

, 0 ,2 ,2

( )

( )

α α α α

⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ +

F F ' h F d F P P h

0 V H A V A 0 cop . 0 S ,1 0 S ,2

( ) ( )

α (2.49)

− ⋅ − + ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ +

F d F ' F ' h W y W x P d

cop . B tir ,1 tir ,2 C 0 0 G ,0 0 G ,0 S ,1 R

− ⋅ =

P d 0

S S

,2 88 ( )

− ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅

' '

F h F d F d F F h

α +

. ,1 ,2

H A V A cop B tir tir C

( )

⋅ + + + ⋅ + ⋅

0 F h F P P h W y

. ,1 ,2 0 ,0

V A cop S S G (2.50)

⋅ + ⋅ + ⋅

W x P d P d

+ 0 ,0 , ,2

G S i R S S

( )

⋅ + + + ⋅ + ⋅

F h F P P h W y

V A cop . S ,1 S ,2 0 G ,0

89

2.2.5. Flessione verticale

La struttura muraria è costituita da elementi lapidei e/o laterizi vincolati fra loro per mezzo della

sola malta cementizia: se la risultante delle azioni di compressione dovesse risultare interna alla

sezione (e h/2, L/2), il suddetto legante sarebbe in grado di fornire un supporto nei confronti degli

sforzi di flessione; in caso contrario, in corrispondenza di tale sezione si prevede la formazione di

una cerniera cilindrica orizzontale attorno alla quale vi sarà un moto di rotazione relativo tra i due

blocchi murari formatosi.

Figura 49 – Possibili configurazioni del cuneo di distacco relativo ad un

meccanismo di flessione verticale

Il meccanismo cinematico di flessione verticale è una situazione piuttosto ricorrente negli edifici in

muratura, specie se la tesa muraria è efficacemente vincolata agli estremi verticali e libera nella

zona centrale: è il caso di quei fabbricati dotati di cordolatura superiore in C.A. e/o di solai intermedi

scarsamente ammorsati al resto della struttura, ma anche di quelle porzioni di parete comprese tra

due solette ben ammorsate. Tale fenomeno è favorito anche dalla presenza di efficaci dispositivi di

ritegno, quali tiranti metallici, ancoraggi delle travi lignee, da una qualità scadente della muratura e

dalla presenza di azioni di taglio concentrate.

La flessione verticale è facilmente identificabile mediante un’analisi dello stato fessurativo di un

edificio danneggiato, in particolare si evidenziano spanciamenti e fuori piombo delle pareti

interessate dovuti all'insorgere di un effetto arco verticale. Anche in questo caso il meccanismo può

coinvolgere uno o più piani, a seconda delle condizioni di vincolo, e diverse geometrie, in relazione

alla presenza di aperture o azioni statiche localizzate.

90

2.2.5.1. Flessione verticale di una parete monolitica ad un piano

In questo paragrafo vengono trattati quegli edifici dotati di efficaci vincoli di connessione in

corrispondenza dei nodi solaio-parete, quindi la tesa muraria è trattenuta alle estremità: è chiaro

come questo tipo di procedura analitica debba necessariamente essere ripetuta per tutti i piani

dell’edificio, o almeno in corrispondenza di quei livelli in cui si registrano le caratteristiche

costruttive appena enunciate.

La posizione verticale della cerniera cilindrica non è definibile a priori: questa dipende dalla

distribuzione di aperture sulla facciata e da eventuali fessurazioni pre-esistenti; pertanto è

ξ

necessario esprimere il moltiplicatore di collasso in funzione di un parametro =+ >

( h h ) / h 1,

1 2 2

con cui sarà possibile determinare a posteriori la posizione esatta del polo di rotazione relativa (cui

corrisponde il minimo valore del moltiplicatore stesso).

Figura 50 – Schema statico di una parete monolitica ad un piano, soggetta

ad un meccanismo cinematico di flessione verticale

Di seguito vengono descritte le sollecitazioni illustrate in Figura 50:

W [N] = peso proprio complessivo del maschio murario in esame;

• W [N] = peso proprio della porzione inferiore della parete (corpo 1):

• 1 ξ

 

− 1

= ⋅

 

W W

ξ

1  

91

W [N] = peso proprio della porzione superiore della parete (corpo 2):

• 2  

1

= ⋅

 

W W

ξ

2  

P [N] = peso del solaio agente sulla parete;

• S [N] = componente verticale della spinta di archi o volte sulla parete;

F

• V

F [N] = componente orizzontale della spinta di archi o volte sulla parete.

• H

Per quanto concerne le condizioni di vincolo, è possibile mettere in evidenza un vincolo esterno a

cerniera alla base (punto O ), un carrello verticale in sommità (punto O ) ed un vincolo a cerniera

1 2

interna che limita gli spostamenti relativi tra il corpo 1 e il corpo 2 (punto R), perciò:

=

u 0

O ,1 =

v 0

O ,1 = 0

u

O ,2 =

u u

R ,1 R ,2

=

v v

R ,1 R ,2

Pertanto, applicando una rotazione virtuale unitaria al corpo 1, ϑ = 1°, ne deriva:

z,1

( ) ϑ ϑ

= − ⋅ =

− ⋅

u u h h

,1 ,1 1 ,1 1 ,1

R O z z 

  

h h

( ) ( )

ϑ ϑ ϑ ϑ ξ

= − − ⋅ = ⋅ =

− ⋅ =

− =

  

1 1

u u h h 1

⇒

,2 ,2 2 ,2 2 ,2

R O z z z z

,2 ,1

  

h h

( ) ϑ ϑ 2 2

= + ⋅ =⋅

 

v v s s =

,1 ,1 ,1 ,1

R O z z v s

 O ,2

=

v v

 ,2 ,2

R O

A questo punto vengono determinati gli spostamenti dei punti di applicazione di tutte le

sollecitazioni elencate in precedenza: ( ) ( )

ϑ ξ

= − ⋅ = ⋅ −

u u h h 1

A O A z A

,2 ,2

( ) ( )

ϑ ξ

= + − ⋅ = + ⋅ −

v v d s d 1

A O A z A

,2 ,2

= =

u u 0

B O ,2 ( ) ( )

ϑ ξ

= + − ⋅ = + ⋅ −

v v d s d 1

B O ,2 B z ,2 B

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u y y

G ,1 O ,1 G ,1 z ,1 G ,1

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v x x

G ,1 O ,1 G ,1 z ,1 G ,1

92

( ) ( )

ϑ ξ

= − ⋅ = ⋅ −

u u y y 1

G ,2 O ,2 G ,2 z ,2 G ,2

( ) ( )

ϑ ξ

= + − ⋅ = + ⋅ −

v v x s x 1

G ,2 O ,2 G ,2 z ,2 G ,2

La conseguente equazione dei Lavori Virtuali risulta:

( ) ( )

α α

− ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ +

F F u F v P v W u W v (2.51)

0 V H A V A S B 0 1 G ,1 1 G ,1

( )

α

− ⋅ ⋅ − ⋅ =

W u W v 0

G G

0 2 ,2 2 ,2

[ ]

) ( )

( α ξ ξ

− ⋅ + ⋅ ⋅ − − ⋅ + ⋅ − +

 

F F h F s d

( 1) 1

 

V H A V A

0 ( ) ( )

ξ α (2.52)

− ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ − ⋅ +

 

P s d W y W x

1

 

S B G G

0 1 ,1 1 ,1

) ( )

) (

( α ξ ξ

   

− ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ + ⋅ − =

W y W s x

1 1 0

   

G G

0 2 ,2 2 ,2 ( )

( )

)

( ξ ξ ξ

⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ −

     

F h F s d P s d

1 1 1

     

( )

α ξ +

H A V A S B

( )

)

( ξ ξ

 

⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅ ⋅ −

 

0 F h W y W y

1 1

   

V A G G

1 ,1 2 ,2 (2.53)

( )

ξ

 

⋅ + ⋅ + ⋅ −

W x W s x 1

 

+ G G

1 ,1 2 ,2 )

(

( )

ξ ξ

 

⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅ ⋅ −

 

F h W y W y

1 1

   

V A G G

1 ,1 2 ,2

Non rimane che definire con esattezza la posizione della cerniera cilindrica attorno alla quale avverrà

il moto di tipo rotazionale e calcolare l’effettivo valore del moltiplicatore di collasso:

α

d ( ) ( )

α ξ α ξ ξ

ξ

= ≤ ∀

0 0 t.c. * ,

*

ξ 0 0

d ( ) ( )

ξ ξ

⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅ −

   

* 1 * 1

F h F s d

   

( )

α ξ +

H A V A

* ( ) ( )

ξ ξ

 

⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅ ⋅ −

 

0 1 * 1 *

F h W y W y

   

1 ,1 2 ,2

V A G G (2.54)

( ) ( )

ξ ξ

 

⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ + ⋅ −

 

* 1 * 1

P s d W x W s x

   

+ 1 ,1 2 ,2

S B G G

( ) ( )

ξ ξ

 

⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅ ⋅ −

 

1 * 1 *

F h W y W y

   

1 ,1 2 ,2

V A G G

93

2.2.5.2. Flessione verticale di una parete monolitica a più piani

Nel caso in cui alcuni solai intermedi non dovessero risultare ammorsati al resto della struttura e

contestualmente la tesa muraria dotata di efficaci vincoli di connessione, allora il cinematismo

potrebbe coinvolgere più livelli del fabbricato.

Figura 51 – Schema statico di una parete monolitica a più piani, soggetta ad

un meccanismo cinematico di flessione verticale

94

In questa variante di studio vengono introdotte ulteriori sollecitazioni; quindi, come illustrato in

Figura 51, si definiscono i seguenti parametri:

W [N] = peso proprio dell’i-esima porzione di maschio murario in esame;

• i

P [N] = peso del k-esimo solaio agente sulla parete;

• S,k [N] = componente verticale della spinta di archi o volte sulla m-esima porzione di parete;

F

• V,m [N] = componente orizzontale della spinta di archi o volte sulla m-esima porzione di

F

• H,m

parete;

F [N] = valore massimo dell’azione di un eventuale tirante sulla m-esima porzione di

• tir,m

parete (non presente all’ultimo piano).

In base ai riscontri avuti su un campione sufficientemente esteso di edifici colpiti da meccanismi di

flessione verticale, è stato possibile notare come la posizione della cerniera plastica relativa ad una

parete a due livelli sia in corrispondenza della quota del solaio intermedio (ξ* noto). Per un numero

superiore di piani, invece, è necessario eseguire un procedimento analitico similare rispetto a quello

proposto nel § 2.2.5.1 a causa dell’impossibilità di definire a priori la posizione della cerniera

cilindrica orizzontale.

Essendo le condizioni di vincolo del tutto identiche al caso di studio precedente, è possibile

richiamarne alcuni dati fondamentali: =

u 0

O ,1 =

v 0

O ,1 =

u 0

O ,2 =

u u

R ,1 R ,2

=

v v

R ,1 R ,2

Applicando nuovamente una rotazione virtuale unitaria al corpo 1, ϑ = 1°, ne deriva:

z,1

( ) ϑ ϑ

 = − ⋅ =

− ⋅

u u h h

R ,1 O ,1 1 z ,1 1 z ,1 

  

h h

( ) ( )

ϑ ϑ ϑ ϑ ξ

= + ⋅ = ⋅ =

− ⋅ =

− =

  

1 1

u u h h 1

⇒

R ,2 O ,2 2 z ,2 2 z ,2 z ,2 z ,1

  

h h

( ) ϑ ϑ 2 2

= + ⋅ =

 

v v s s =

R ,1 O ,1 z ,1 z ,1 v s

 O ,2

=

v v

 R ,2 O ,2 ( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

A O ,2 A z ,1 A

)

( ϑ

= + ⋅ =

v v d d

A O ,1 A z ,1 A

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

,1 ,1

B O B z B

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

B O ,1 B z ,1 B

95

)

( ϑ

= − ⋅ =

u u h h

C O C z C

,1 ,1

)

( ϑ

= + ⋅ =

v v s s

C O z

,1 1 ,1 1 ( )

)

( ϑ ξ

= − ⋅ = ⋅ −

u u h h 1

D O D z D

,2 ,2 ( )

( ) ϑ ξ

= + − ⋅ = + ⋅ −

v v d s d 1

D O D z D

,2 ,2 2

) ( )

( ϑ ξ

= − ⋅ = ⋅ −

u u h h 1

E O E z E

,2 ,2 )

) (

( ϑ ξ

= + − ⋅ = + ⋅ −

v v d s d 1

E O E z E

,2 ,2 2 ( )

( ) ϑ ξ

= − ⋅ = ⋅ −

u u h h 1

F O F z F

,2 ,2

= =

v v s

F O ,2 2

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u y y

G ,1 O ,1 G ,1 z ,1 G ,1

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v x x

G ,1 O ,1 G ,1 z ,1 G ,1

( ) ( )

ϑ ξ

= − ⋅ = ⋅ −

u u y y 1

G ,2 O ,2 G ,2 z ,2 G ,2

( ) ( )

ϑ ξ

= + − ⋅ = + ⋅ −

v v x s x 1

G ,2 O ,2 G ,2 z ,2 2 G ,2

( ) ( )

ϑ ξ

= − ⋅ = ⋅ −

u u h h 1

,2 ,2

L O L z L

( ) ( )

ϑ ξ

= + − ⋅ = + ⋅ − 1

v v d s d

L O ,2 L z ,2 2 L

= =

u u 0

P O ,2 ( ) ( )

ϑ ξ

= + − ⋅ = + ⋅ −

v v d s d 1

P O ,2 P z ,2 2 P

In relazione alle modifiche apportante in questa sezione, l’espressione dei Lavori Virtuali viene

rielaborata come segue: ) ( )

( α α

− ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ +

F F u F v P u P v F u

V H A V A S B S B tir C

0 ,1 ,1 ,1 0 ,1 ,1 .1

)

) (

( α α

− ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ +

F F u F v P u P v F u

V H D V D S E S E tir F

0 ,2 ,2 ,2 0 ,2 ,2 .2 (2.55)

)

(

)

( ) (

α α α

− ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ +

W u W v W u W v F F u

G G G G V H L

0 1 ,1 1 ,1 0 2 ,2 2 ,2 0 ,3 ,3

)

( α =

− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ 0

F v P u P v P

V L S P S

,3 0 ,3 ,3 96

( ) ( )

α α

⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ +

F F h F d P h P d F h

V H A V A S B S B tir C

0 ,1 ,1 ,1 0 ,1 ,1 .1

( ) ( ) ( )

α ξ ξ

− ⋅ + ⋅ ⋅ − − ⋅ + ⋅ − +

   

1 1

F F h F s d

   

V H D V D

0 ,2 ,2 ,2 2

( ) ( ) ( ) ( )

α ξ ξ ξ

− ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ − +

     

1 1 1

P h P s d F h

     

S E S E tir F

0 ,2 ,2 2 .2 (2.56)

( ) ( ) ( )

α α ξ

  +

+ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − 1

W y W x W y

 

G G G

0 1 ,1 1 ,1 0 2 ,2

( ) ( )

( )

ξ α ξ

 

− ⋅ + ⋅ − − ⋅ + ⋅ ⋅ − +

 

W s x F F h

1 1

 

 

G V H L

2 2 ,2 0 ,3 ,3

( ) ( )

ξ ξ

− ⋅ + ⋅ − − ⋅ + ⋅ − =

   

F s d P s d

1 1 0

   

V L S P

,3 2 ,3 2

{

( ) ( )

α ξ ξ

=− ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − +

 

F h F d P d F h F h 1

 

H A V A S B tir C H D

0 ,1 ,1 ,1 .1 ,2 )

) (

) (

( ξ ξ ξ

+ ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ − − ⋅ ⋅ − +

     

F s d P s d F h

1 1 1

     

V D S E tir F

,2 2 ,2 2 .2

( ) ( )

ξ ξ (2.57)

 

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ − +

 

W x W s x F h

1 1

 

 

G G H L

1 ,1 2 2 ,2 ,3 }

( )

( )

ξ ξ  ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ − 

   F h P h

F s d P s d

1 1

    V A S B

,1 ,1

V L S P

,3 2 ,3 2 )

(

)

( 

ξ

+ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

W y F h P h W y F h

1 

G V D S E G V L

1 ,1 ,2 ,2 2 ,2 ,3

Sia n il numero di piani coinvolti nel cinematismo; l’equazione (2.57) appena formulata può essere

riscritta in forma compatta (data la presenza simultanea di più poli di rotazione relativa in questo

caso il moltiplicatore di collasso si esprime in funzione delle componenti di spostamento, u e v , e

k k

non dei corrispettivi sviluppi analitici): −

1

n n n n

∑ ∑ ∑ ∑

− ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

F u F v P v F u

, , , , , . ,

H m V m V m V m S k k tir m tir m

( )

α ξ +

= = = =

1 1 1 1

m m k m

0 1

n n n

∑ ∑ ∑

⋅ + ⋅ + ⋅

F u P u W u

, , , ,

V m V m S k k i G i

= = =

1 1 1

m k i (2.58)

n

∑ ⋅

W x ,

i G i

+ =

1

i −

1

n n n

∑ ∑ ∑

⋅ + ⋅ + ⋅

F u P u W u

, , , ,

V m V m S k k i G i

= = =

1 1 1

m k i 97

Per concludere, non rimane che definire con esattezza la posizione della cerniera cilindrica, per poi

quantificare l’effettivo valore del moltiplicatore di collasso:

α

d ( ) ( )

α ξ α ξ ξ

ξ

= ≤ ∀

0 0 t.c. * ,

*

ξ 0 0

d

{ ( )

( )

α ξ ξ

=− ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − +

 

F h F d P d F h F h

* * 1

 

H A V A S B tir C H D

0 ,1 ,1 ,1 .1 ,2 )

) (

(

( )

ξ ξ ξ

+ ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ − − ⋅ ⋅ − +

     

F s d P s d F h

* 1 * 1 * 1

     

V D S E tir F

,2 2 ,2 2 .2

( )

)

( ξ ξ (2.59)

 

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ − +

 

W x W s x F h

* 1 * 1

 

 

G G H L

1 ,1 2 2 ,2 ,3 }

( )

)

( ξ

ξ 

⋅ − ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ + ⋅ − + ⋅ +

 

  d F h P h

* 1

F s d P s

* 1  

  

P V ,1 A S ,1 B

V L S

,3 2 ,3 2

( )

)

( 

ξ

+ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

W y F h P h W y F h

1 * 

1 G ,1 V ,2 D S ,2 E 2 G ,2 V ,3 L

98

2.2.5.3. Flessione verticale di una parete a doppia cortina ad un piano

In presenza di una parete a doppia cortina è possibile considerare (in maniera distinta) un

meccanismo di flessione verticale per ognuno dei due paramenti isolati, ignorandone quindi la

reciproca interazione.

Figura 52 – Schema statico di una parete a doppia cortina ad un piano, soggetta

ad un meccanismo cinematico di flessione verticale

99

In alternativa (soluzione consigliata da parte dell’autore), si può valutare l’effettivo comportamento

del maschio murario in esame secondo la schematizzazione riportata in Figura 52: a differenza di

quanto descritto nel § 2.2.3.3 la propagazione degli sforzi tra le due cortine non risulta ideale, bensì

è necessario valutare la frazione di carichi orizzontali trasmessa verso l’elemento murario esterno;

tale quota, ρ, dipende dalle caratteristiche di rigidezza dei paramenti, ma anche dalle modalità di

connessione in corrispondenza dell’interfaccia tra questi. In ragione di quanto appena introdotto, si

definiscono i seguenti parametri:

W [N] = peso proprio dell’i-esima porzione muraria in esame;

• i [N] = peso del solaio agente sulla cortina muraria interna;

P

• S

F [N] = componente verticale della spinta di archi o volte sulla parete;

• V [N] = componente orizzontale della spinta di archi o volte sulla parete.

F

• H

Il meccanismo cinematico in questione, come si può evincere dalla sopracitata illustrazione,

interessa solo il paramento esterno, sul quale generalmente agiscono carichi verticali più bassi.

Anche qui, la posizione verticale della cerniera cilindrica è definibile solamente a posteriori; come

per le pareti monolitiche, quindi, è necessario esprimere il moltiplicatore di collasso in funzione del

ξ

parametro =+ >

( h h ) / h 1.

1 2 2

Per quanto concerne le condizioni di vincolo, per ogni paramento si evidenzia un vincolo esterno a

cerniera alla base (punto O per la cortina esterna, O per quello interna), un carrello verticale in

1 3

sommità (punto O per la cortina esterna, O per quello interna) ed un vincolo a cerniera interna

2 4

che limita gli spostamenti relativi tra il corpo 1 e il corpo 2 (punto R utile al solo paramento esterno):

=

u 0

O ,1 =

v 0

O ,1 =

u 0

O ,2 =

u 0

O ,3 =

v 0

O ,3 =

u 0

O ,4 =

u u

R ,1 R ,2

=

v v

R ,1 R ,2

Pertanto, applicando una rotazione virtuale unitaria al corpo 1, ϑ = 1°, ne deriva:

z,1

( ) ϑ ϑ

 = − ⋅ =

− ⋅

u u h h

R ,1 O ,1 1 z ,1 1 z ,1 

  

h h

( ) ( )

ϑ ϑ ϑ ϑ ξ

= − − ⋅ = ⋅ =

− ⋅ =

− =

  

1 1

u u h h 1

⇒

R ,2 O ,2 2 z ,2 2 z ,2 z z

,2 ,1

  

h h

( ) ϑ ϑ 2 2

= + ⋅ =⋅

 

v v s s =

,1 ,1 ,1 ,1

R O z z v s

 ,2

O

=

v v

 R ,2 O ,2 100

Gli spostamenti dei punti messi in evidenza nel modello di riferimento vengono determinati di

conseguenza: ( )

( ) ϑ ξ

= − ⋅ = ⋅ −

u u h h 1

A O ,2 A z ,2 A

=

v 0

A ( )

( ) ϑ ξ

= − ⋅ = ⋅ −

u u h h 1

B O z

,2 ,2

=

v 0

B ( ) ϑ

= − ⋅ =

u u y y

G ,1 O ,1 G ,1 z ,1 G ,1

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v x x

G ,1 O ,1 G ,1 z ,1 G ,1

( ) ( )

ϑ ξ

= − ⋅ = ⋅ −

u u y y 1

G O G z G

,2 ,2 ,2 ,2 ,2

( ) ( )

ϑ ξ

= + − ⋅ = + ⋅ −

v v x s x 1

G O G z G

,2 ,2 ,2 ,2 ,2

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u y y

,3 ,1 ,3 ,1 ,3

G O G z G

= 0

v ,3

G ( ) ( )

ϑ ξ

= − ⋅ = ⋅ −

u u y y 1

,4 ,2 ,4 ,2 ,4

G O G z G

=

v 0

,4

G

La conseguente equazione dei Lavori Virtuali risulta:

( ) ( )

ρ α α

− ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ +

F F u F v P v W u W v

V H A V A S B G G

0 0 1 ,1 1 ,1

( )

) ( )

( α ρ α ρ α (2.60)

− ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ +

W u W v W u W v W u

G G G G G

0 2 ,2 2 ,2 0 3 ,3 3 ,3 0 4 ,4

− ⋅ =

W v 0

G

4 ,4

( ) ( ) ( )

ρ α ξ α

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ +

 

F F h 1 W y W x

 

V H A G G

0 0 1 ,1 1 ,1

( ) ( ) ( ) ( )

α ξ ξ ρ α (2.61)

   

+ ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ +

W y 1 W s x 1 W y

   

G G G

0 2 ,2 2 ,2 0 3 ,3

( ) ( )

ρ α ξ

 

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − =

W y 1 0

 

G

0 4 ,4 ( ) ( )

ρ ξ ξ

 

− ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅ ⋅ −

 

F h 1 W x W y 1

   

( )

α ξ = H A G G

1 ,1 2 ,2 }

( ) ( ) ( )

ρ ξ ξ ρ ρ ξ

0    

⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ −

 

F h 1 W y W y 1 W y W y 1

     

V A G G G G

1 ,1 2 ,2 3 ,3 4 ,4

(2.62)

101

Iterando quanto eseguito nei precedenti casi di flessione verticale, si procede con la determinazione

del parametro ξ* corrispondente alla posizione verticale della cerniera cilindrica, a cui verrà

associato il valore di moltiplicatore di collasso minimo:

α

d ) ( )

(

α ξ α ξ ξ

ξ

= ≤ ∀

0 0 t.c. * ,

*

ξ 0 0

d ( ) ( )

ρ ξ ξ

 

− ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅ ⋅ −

 

F h * 1 W x W y 1 *

   

( )

α ξ = H A 1 G ,1 2 G ,2

* ( ) ( ) ( )

ρ ξ ξ ρ ρ ξ

   

⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ −

 

0 F h W y W y W y W y

* 1 1 * 1 *

     

V A 1 G ,1 2 G ,2 3 G ,3 4 G ,4

(2.63)

102

2.2.5.4. Flessione verticale di una parete a doppia cortina a due piani

L’ultimo caso di studio della trattazione relativa alla flessione verticale riguarda una tesa muraria a

doppia cortina collegata efficacemente alle estremità per mezzo di vincoli ammorsanti, ed un solaio

intermedio non adeguatamente trattenuto.

Figura 53 – Schema statico di una parete a doppia cortina a più piani, soggetta

ad un meccanismo cinematico di flessione verticale

103

Le sollecitazioni introdotte nel modello sono le seguenti:

W [N] = peso proprio dell’i-esima porzione muraria in esame;

• i

P [N] = peso del k-esimo solaio agente sulla cortina muraria interna;

• S,k

F [N] = componente verticale della spinta di archi o volte sulla m-esima porzione di parete;

• V,m [N] = componente orizzontale della spinta di archi o volte sulla m-esima porzione di

F

• H,m

parete.

Il meccanismo cinematico in questione, come si evince dalla Figura 53, interessa solo il paramento

esterno; quello interno, invece, è schematizzato come un isostatica (non labile). Analogamente a

quanto detto nella sezione § 2.2.5.2, nelle pareti a due piani soggette a flessione verticale è possibile

individuare rapidamente la posizione della cerniera plastica in quanto coincidente con la quota del

solaio intermedio (ξ* noto).

Per ogni cortina si ha un vincolo esterno a cerniera alla base (punto O per la cortina esterna, O per

1 3

quello interna), un carrello verticale in sommità (punto O per la cortina esterna, O per quello

2 4

interna) ed un vincolo a cerniera interna che limita gli spostamenti relativi tra il corpo 1 e il corpo 2

(punto R utile al solo paramento esterno): =

u 0

O ,1 =

v 0

O ,1 = 0

u

O ,2 =

u 0

O ,3 =

v 0

O ,3 = 0

u

O ,4 =

u u

R R

,1 ,2

=

v v

R R

,1 ,2

Pertanto, applicando una rotazione virtuale unitaria al corpo 1, ϑ = 1°, ne deriva:

z,1

( ) ϑ ϑ

 = − ⋅ =

− ⋅

u u h h

R ,1 O ,1 1 z ,1 1 z ,1 

  

h h

( ) ( )

ϑ ϑ ϑ ϑ ξ

= − − ⋅ = =

− ⋅ =

− =

  

1 1

u u h h 1

⇒

R ,2 O ,2 2 z ,2 2 z ,2 z z

,2 ,1

  

h h

( ) ϑ ϑ 2 2

= + ⋅ =⋅

 

v v s s =

R ,1 O ,1 z ,1 z ,1 v s

 O ,2

=

v v

 R ,2 O ,2 104

A questo punto è possibile quantificare gli spostamenti dei punti di applicazione di tutte le

sollecitazioni elencate in precedenza: ( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

A O ,1 A z ,1 A

=

v 0

A ( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

B O z

,1 1 ,1 1

=

v 0

B ( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

C O C z C

,1 ,1

=

v 0

C ( )

( ) ϑ ξ

= − ⋅ = ⋅ −

u u h h 1

D O D z D

,2 ,2

=

v 0

D ( ) ( )

ϑ ξ

= − ⋅ = ⋅ −

u u h h 1

E O ,2 2 z ,2 2

=

v 0

E ( ) ϑ

= − ⋅ =

u u y y

G ,1 O ,1 G ,1 z ,1 G ,1

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v x x

G ,1 O ,1 G ,1 z ,1 G ,1

( ) ( )

ϑ ξ

= − ⋅ = ⋅ −

u u y y 1

G ,2 O ,2 G ,2 z ,2 G ,2

( ) ( )

ϑ ξ

= + − ⋅ = + ⋅ −

v v x s x 1

G ,2 O ,2 G ,2 z ,2 G ,2

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u y y

G ,3 O ,1 G ,3 z ,1 G ,3

= 0

v

G ,3 ( ) ( )

ϑ ξ

= − ⋅ = ⋅ − 1

u u y y

G ,4 O ,2 G ,4 z ,2 G ,4

=

v 0

G ,4

L’espressione dei Lavori Virtuali che ne consegue ha la seguente forma:

( ) ( )

ρ α ρ α

− ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ +

F F u F v P u P v

0 V ,1 H ,1 A V ,1 A 0 S ,1 B S ,1 B

( ) ( )

ρ ρ α α

+ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ +

F u F F u F v P v W u (2.64)

tir C V H D V D S E G

. 0 ,2 ,2 ,2 ,2 0 1 ,1

( ) ( )

α ρ α

− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ +

W v W u W v W u W v

G G G G G

1 ,1 0 2 ,2 2 ,2 0 3 ,3 3 ,3

( )

ρ α

− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ =

W u W v 0

0 4 G ,4 4 G ,4 105

( ) ( )

ρ α ρ α ρ

⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ +

F F h P h F h

0 V ,1 H ,1 A 0 S ,1 1 tir . C

( ) ( ) ( )

ρ α ξ α

+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − ⋅ +

 

F F h W y W x

1

 

V H D G G

0 ,2 ,2 0 1 ,1 1 ,1 (2.65)

( ) ( ) ( ) ( )

α ξ ξ ρ α

   

+ ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ +

W y W s x W y

1 1

   

G G G

0 2 ,2 2 ,2 0 3 ,3

( ) ( )

ρ α ξ

 

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − =

W y 1 0

 

G

0 4 ,4

{

( ) ( )

α ξ ρ ρ ρ ξ

= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ +

 

F h F h F h 1 W x

 

0 ,1 . ,2 1 ,1

H A tir C H D G

} {

) ( )

( ξ ρ ρ ρ ξ (2.66)

 

+ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − +

 

W y 1 F h P h F h 1

 

 

2 G ,2 V ,1 A S ,1 1 V ,2 D }

( ) ( )

ξ ρ ρ ξ

   

+ ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ −

W y W y 1 W y W y 1

   

1 G ,1 2 G ,2 3 G ,3 4 G ,4

106

2.2.6. Flessione orizzontale

I fabbricati soggetti a flessione orizzontale sono dotati di murature di controvento efficacemente

vincolate alle pareti ortogonali, i cui estremi superiori non risultano trattenuti da alcun dispositivo

di ritegno: la risposta strutturale che ne consegue è rappresentata da un effetto arco orizzontale

all’interno dell’ammasso murario investito dall’azione orizzontale di taglio. Lo spessore di

quest’ultimo e l’interasse tra le pareti di controvento definiscono la configurazione e la curvatura

più o meno accentuata degli archi orizzontali, da cui deriva l’entità delle spinte trasferite alle

imposte (cantonali). Basti pensare ad un’eventuale presenza di aperture o cavità (canne fumarie,

tracce impiantistiche) nel setto di riferimento: la riduzione della sezione resistente, infatti,

comporterebbe una concentrazione di sforzi ed un arretramento della cerniera in chiave.

Figura 54 – Meccanismo resistente di arco a tre cerniere [16]

Figura 55 – Meccanismo resistente di arco a tre cerniere, ribassato per

effetto della presenza di una cavità verticale [16]

In corrispondenza delle intersezioni murarie la spinta complessiva degli archi orizzontali viene

scomposta come segue:

T [N] = componente ortogonale al piano medio della parete, la quale deve essere contrastata

• dai dispositivi di ammorsamento tra le pareti o da eventuali tiranti;

H [N] = componente parallela al piano medio della parete investita dall’azione di taglio. Il

• meccanismo di flessione orizzontale si innesca quando il suddetto pannello murario non

trova alcun elemento strutturale in grado di supportare tale sollecitazione: sostanzialmente,

l’evoluzione del cinematismo dipende dalla capacità delle pareti di controvento di

contrastare le spinte degli archi; nel caso questa risulti insufficiente, lo schema isostatico

diverrebbe labile, ovvero i punti in grado di definire la posizione delle tre cerniere dell’arco

sarebbero allineati. 107

Figura 56 – Scomposizione vettoriale della spinta dell’arco di scarico [21]

Questo tipo di cinematismo è tipico di quelle pareti trattenute da tiranti, dotate di copertura

spingente o soggette all’azione di martellamento degli elementi di grossa orditura del tetto (solette

di copertura, travi di colmo); la scarsa resistenza a trazione della muratura, inoltre, comporta dei

rischi di espulsione del materiale esposto esternamente, a causa delle tensioni di trazione createsi

per effetto del meccanismo stesso.

Figura 57 – Rappresentazione tridimensionale del meccanismo di flessione orizzontale

108

Figura 58 – Conformazione parabolica dei macroelementi di distacco [16]

Come rappresentato in Figura 58, i cunei di distacco hanno un profilo di tipo parabolico,

schematizzabili anche secondo una forma triangolare: questa particolare conformazione è legata

alla variabilità dell’effetto arco lungo l’altezza della parete, causata a sua volta da un progressivo

incremento di carico verticale (che si ha all’aumentare della distanza dal lembo superiore della

parete) e da una serie di reazioni di tipo attritive (che determina una riduzione delle azioni T e H).

Secondariamente, è possibile riscontrare la formazione di lesioni diagonali nella zona sottesa dal

profilo parabolico, le quali sono associate agli sforzi tangenziali dovuti alle spinte dell’arco di scarico.

La definizione dei macroelementi di distacco è sensibilmente condizionata dalla qualità muraria e

dalla presenze di aperture: in presenza di tali discontinuità, il cinematismo coinvolge le fasce

murarie soprafinestra (vedi Figura 61 al paragrafo 2.2.6.2).

Come appena introdotto, la risposta della struttura è funzione della propria capacità di contrastare

la spinta dell’arco di scarico. Per questa ragione, è necessario definire due differenti modalità di

collasso:

Pareti di facciata non confinate (o confinate in maniera scarsamente efficace) nei confronti

• degli spostamenti paralleli al piano della stessa;

Pareti di facciata efficacemente confinate, ovvero trattenute dalla continuità della tesa

• muraria (es. cella interclusa in una schiera).

109

2.2.6.1. Flessione orizzontale di una parete monolitica non confinata

Il fenomeno è caratterizzato da un rigonfiamento della parete investita dall’azione di taglio, nonché

da una rotazione dei muri di controvento ad essa collegati per effetto della spinta dell’arco di

scarico, H: conseguentemente, “si prevede la formazione di macroelementi cuneiformi che si

separano dalla struttura muraria lungo cerniere cilindriche, oblique e verticali, attorno alle quali

ruotano fino al collasso” [21].

La definizione del modello per l’analisi richiede l’introduzione di qualche semplificazione per

rendere più agevole la procedura; i punti appartenenti ai due cunei di distacco subiscono

spostamenti in diverse direzioni, tra cui:

Direzione parallela al piano della parete, a cui corrisponde un allontanamento dei due cunei

• di distacco;

Direzione ortogonale al piano, che mette in evidenza il fenomeno di ribaltamento;

• Direzione verticale, cioè una traslazione verso l’alto.

Questi ultimi risultano meno significativi rispetti agli altri due, pertanto si ritiene legittimo

trascurarli. La semplificazione consente di esaminare il problema in due dimensioni (in riferimento

al piano rispetto al quale avviene la flessione orizzontale); ciò nonostante, si sottolinea come la

distribuzione dei carichi, utile al fine di individuare il centro di massa di ciascun corpo, tiene conto

della reale geometria spaziale dei macroelementi.

Figura 59 – Schema statico di una parete monolitica non confinata, soggetta

ad un meccanismo cinematico di flessione orizzontale

Dato lo schema statico illustrato in Figura 59, si descrivono le sollecitazioni riportatevi:

W [N] = peso proprio della i-esima porzione del maschio murario in esame;

• i

P [N] = k-esimo carico verticale trasmesso in testa al macroelemento 1;

• Vk,1

P [N] = k-esimo carico verticale trasmesso in testa al macroelemento 2;

• Vk,2

P [N] = k-esima spinta statica trasmessa dalla copertura in testa al macroelemento 1;

• Hk,1

P [N] = k-esima spinta statica trasmessa dalla copertura in testa al macroelemento 2;

• Hk,2

[N] = valore massimo dell’azione di un eventuale tirante sulla parete.

F

• tir. 110 con la spinta

In assenza di catene metalliche di rinforzo, è necessario sostituire il termine F tir.

orizzontale massima supportabile dalle pareti di controvento (connesse a quella oggetto di analisi),

H .

C Figura 60 – Schema statico di una parete monolitica soggetta ad un meccanismo cinematico di

ribaltamento semplice (per la valutazione della spinta orizzontale H )

C

Questa può essere valutata mediante semplice equilibrio alla rotazione, o Principio dei Lavori

Virtuali, di un pannello murario soggetto alle seguenti sollecitazioni statiche (vedi ribaltamento

semplice, § 2.2.3):

W [N] = peso proprio complessivo della parete di controvento in esame;

• C

P [N] = peso del solaio agente sulla parete di controvento;

• S,C

F [N] = componente verticale della spinta di archi o volte sulla parete di controvento;

• V,C

F [N] = componente orizzontale della spinta di archi o volte sulla parete di controvento;

• H,C

H [N] = spinta orizzontale massima supportabile dalle pareti di controvento;

• C

F [N] = valore massimo dell’azione di un eventuale tirante sulla parete di controvento.

• tir,C s

⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ C

F d F d P h F h W

V A C H C A C S C B C tir C c C C

,C , , , , , , , 2 (2.67)

=

H C h

H C

,

111

I parametri ed i punti appartenenti alla parete di controvento, per maggior chiarezza nella

trattazione, sono stati contraddistinti dall’aggiunta del pedice “C”. Si noti come nel modello in

Figura 60 non compaiono i termini legati alle forze d’inerzia dei carichi verticali, essendo la

sollecitazione sismica parallela alla parete di controvento stessa.

La posizione della cerniera cilindrica verticale non è definibile a priori; come nei casi relativi alla

flessione verticale, è quindi necessario esprimere il moltiplicatore di collasso in funzione di un

ψ con cui sarà possibile determinare a posteriori la posizione esatta

parametro =+ >

( L L ) / L 1,

1 2 2

del polo di rotazione relativa.

Per quanto concerne le condizioni di vincolo, è possibile mettere in evidenza un vincolo esterno a

cerniera all’estremo di sinistra (punto O ), un carrello orizzontale all’estremo di destra (punto O )

1 2

ed un vincolo a cerniera interna che limita gli spostamenti relativi tra il corpo 1 e il corpo 2

(punto R): =

u 0

O ,1 =

v 0

O ,1 = 0

v ,2

O =

u u

R ,1 R ,2

=

v v

R ,1 R ,2

Pertanto, applicando una rotazione virtuale unitaria al corpo 1, ϑ = 1°, si è in grado di quantificare

z,1

l’entità degli spostamenti dei punti d’applicazione delle diverse sollecitazioni di cui sopra:

( ) ϑ ϑ

= − ⋅ =− ⋅

u u s s

,1 ,1 ,1 ,1

R O z z 

  

L L

( ) ( )

ϑ ϑ ϑ ϑ ψ

= − ⋅ =− ⋅ =

− ⋅ =

− =

  

1 1

u u s s 1

,2 ,2 ,2 ,2

R O z z z ,2 z ,1

   

L L

( ) ϑ ϑ 2 2

= + ⋅ = ⋅

 

v v L L ( )

ϑ ψ

=− − ⋅ = ⋅ −

,1 ,1 1 ,1 1 ,1

R O z z u s s s 2

 ( ) O ,2 z ,1

ϑ ϑ

= + − ⋅ = − ⋅

v v L L

 ,2 ,2 2 ,2 2 ,2

R O z z ( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

A , k O ,1 A , k z ,1 A , k

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

A , k O ,1 A , k z ,1 A , k

( ) ( ) ( )

ϑ ψ ψ

= − ⋅ =⋅ − + ⋅ −

u u h s h

2 1

D , k O ,2 D , k z ,2 D , k

)

( ( )

ϑ ψ

= + − ⋅ = ⋅ −

v v d d 1

D k O D k z D k

, ,2 , ,2 ,

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u y y

G ,1 O ,1 G ,1 z ,1 G ,1

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v x x

G ,1 O ,1 G ,1 z ,1 G ,1

112

( ) ( ) ( )

ϑ ψ ψ

= − ⋅ =⋅ − + ⋅ −

u u y s y

2 1

G ,2 O ,2 G ,2 z ,2 G ,2

( ) ( )

ϑ ψ

= + − ⋅ = ⋅ −

v v x x 1

G O G z G

,2 ,2 ,2 ,2 ,2

L’equazione dei Lavori Virtuali viene elaborata di conseguenza:

n n ( )

( )

∑ ∑ ( )

α α α

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ +

P P v P P v W v (2.68)

Vk Hk A k Vk Hk D k G

0 ,1 ,1 , 0 ,2 ,2 , 0 1 ,1

= =

k k

1 1

( )

α

+ ⋅ ⋅ − ⋅ =

W v F u 0

G tir O

0 2 ,2 . ,2

n n

( ) ( )

∑ ∑ ( )

α α ψ

 

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − +

P P d P P d 1

 

0 ,1 ,1 , 0 ,2 ,2 ,

Vk Hk A k Vk Hk D k (2.69)

= =

1 1

k k

( ) ( ) ( ) ( )

α α ψ ψ

 

+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ −

⋅ =

 

W x W x 1 F s 2 0

 

 

0 1 ,1 0 2 ,2 .

G G tir

n n

∑ ∑ )

) (

(

ψ ψ

 

− −

− ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ 

P d P d F s

1 2

 

Hk A k Hk D k tir

,1 , ,2 , .

( )

α ψ (2.70)

=

= =

k k

1 1

0 n n

∑ ∑ )

(

)

(

ψ ψ

   

− + −

⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

P d P d W x W x

1 1

  

Vk A k Vk D k G G

,1 , ,2 , 1 ,1 2 ,2

= =

k k

1 1

Quanto formulato può essere riscritto in forma compatta (data la presenza simultanea di più poli di

rotazione relativa in questo caso il moltiplicatore di collasso si esprime in funzione delle componenti

di spostamento, u e v , e non dei corrispettivi sviluppi analitici):

k k n n

∑ ∑

− ⋅ − ⋅ + ⋅

P v P v F u

,1 , ,2 , . ,2

Hk A k Hk D k tir O

( )

α ψ (2.71)

=

= =

1 1

k k

0 n n n

∑ ∑ ∑

⋅ + ⋅ + ⋅

P v P v W v

Vk ,1 A , k Vk ,2 D , k i G , i

= = =

1 1 1

k k m

Pertanto l’analisi si conclude con la valutazione del parametro ψ corrispondente al minimo valore

del moltiplicatore di collasso:

α

d ( ) ( )

ψ

= ⇒ α ψ α ψ ψ

≤ ∀

0 0 * t.c. * ,

ψ 0 0

d n n

∑ ∑ ( ) ( )

ψ ψ

 

− −

− ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

 

P d P d F s

* 1 * 2

 

 

,1 , ,2 , .

Hk A k Hk D k tir

( )

α ψ (2.72)

=

= =

1 1

k k

*

0 n n

∑ ∑ ( ) ( )

ψ ψ

   

− +

⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −

P d P d W x W x

* 1 * 1

   

,1 , ,2 , 1 ,1 2 ,2

Vk A k Vk D k G G

= =

1 1

k k 113

2.2.6.2. Flessione orizzontale di una parete monolitica confinata

Se l’elemento murario dovesse risultare confinato il meccanismo si manifesterebbe con la

formazione di cerniere plastiche legate alla crisi per compressione del materiale, in particolare in

chiave ed alle reni dell’arco ideale. In tal senso, non risulta possibile applicare il Principio dei

Lavori Virtuali, bensì si ricorre ad una valutazione dello stato di tensione nella muratura,

per cui si confrontano gli sforzi agenti con i parametri resistenti del materiale.

Figura 61 – Rappresentazione tridimensionale della fascia di muratura presa

in considerazione per l’analisi tensionale

Figura 62 – Schema statico e sezione reagente di una parete monolitica confinata, soggetta

ad un meccanismo cinematico di flessione orizzontale

114

Quanto riportato in Figura 62 rappresenta il modello di riferimento: si tratta di una fascia di

muratura (generalmente quella soprafinestra) compresa tra due tiranti o due pareti di controvento.

Si assumano le seguenti ipotesi:

La muratura ha comportamento isotropo;

• L’elemento strutturale in muratura ha resistenza a trazione praticamente nulla;

• Le cerniere plastiche si formano in mezzeria, in prossimità dei tiranti o delle pareti di

• controvento;

Il centro di rotazione è in mezzeria;

• La curva delle pressioni nel maschio murario ha un profilo parabolico;

• La freccia massima dell’arco è in corrispondenza della mezzeria;

• Il diagramma delle tensioni per la muratura è di tipo rettangolare (vedi analoga

• semplificazione introdotta al § 1.3 di questo documento).

I carichi considerati in questo procedimento di verifica risultano:

W [N/m] = peso proprio del maschio murario (per unità di lunghezza):

• γ (2.73)

= ⋅ ⋅

W b s

P [N] = k-esimo carico verticale trasmesso in testa alla parete;

• V,k

p [N/m] = distribuzione di azioni inerziali (per unità di lunghezza):

• H n P

∑ (2.74)

= + Vk

p W

H L

=

1

k

P [N] = k-esima spinta statica trasmessa dalla copertura in testa alla parete;

• H,k

q [N/m] = = distribuzione equivalente alle azioni trasmesse dalla copertura:

• H n P

∑ (2.75)

= Hk

q H L

=

k 1

F [N] = componente orizzontale della spinta di archi o volte sulla m-esima parete.

• H

L’effetto arco che si viene a creare all’interno della porzione muraria non presenta caratteristiche

univoche in tutti i casi di studio; infatti, i fattori geometrici relativi alla freccia, f , e all’altezza della

A

sezione reagente, h (si ricorda l’ipotesi di resistenza a trazione nulla), sono funzione dei carichi

R

orizzontali applicati, della resistenza della struttura muraria, nonché della geometria di questa

stessa.

In condizioni limite, in cui si prevede la formazione di cerniere plastiche in mezzeria e alle sezioni di

imposta dell’arco, si ha una spinta massima agente, H , pari a:

Ed

( )

α

⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅

2

L p q F L

2 [ ] (2.76)

= H H H

0

H k

N

Ed f

8 115 , viene definita come segue:

La sollecitazione massima supportabile in direzione normale, H

Rd

[ ] (2.77)

= ⋅ ⋅ ⋅

H 2 f h b k

N

Rd w , Ck R

dove: f [MPa] = resistenza caratteristica a compressione del maschio murario.

• w,Ck

Eguagliando le due spinte è possibile determinare il moltiplicatore di collasso dei carichi orizzontali:

( )

α

⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅

2

L q p F L

2 (2.78)

= ⋅ ⋅ ⋅

H H H

0 f h b

2

⋅ w Ck R

,

f

8

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

16 f h b f p L F

2

α (2.79)

= −

w , Ck R H H

⋅ ⋅

0 2

q L q L

H H

116

2.2.6.3. Flessione orizzontale di una parete a doppia cortina non confinata

Quando la parete è costituita da due paramenti l’analisi può essere condotta con gli stessi criteri già

utilizzati nel caso di flessione verticale di parete a doppia cortina (vedi paragrafi 2.2.5.3 e 2.2.5.4).

Risulta, quindi, possibile trascurare l’interazione tra gli elementi murari, analizzando il cinematismo

per ogni paramento isolato; anche in questo caso, si consiglia il metodo di analisi alternativo basato

sulla valutazione delle azioni orizzontali trasferite dalla cortina interna a quella esterna.

Figura 63 – Schema statico di una parete a doppia cortina non confinata, soggetta

ad un meccanismo cinematico di flessione orizzontale

Lo schema statico riportato in Figura 63 riporta le seguenti sollecitazioni:

W [N] = peso proprio della i-esima porzione del maschio murario in esame;

• i

P [N] = k-esimo carico verticale trasmesso in testa al macroelemento 3 (porzione del

• Vk,3

paramento interno);

P [N] = k-esimo carico verticale trasmesso in testa al macroelemento 4 (porzione del

• Vk,4

paramento interno);

P [N] = k-esima spinta statica trasmessa dalla copertura in testa al macroelemento 3

• Hk,3

(porzione del paramento interno);

P [N] = k-esima spinta statica trasmessa dalla copertura in testa al macroelemento 4

• Hk,4

(porzione del paramento interno);

F [N] = valore massimo dell’azione di un eventuale tirante sulla parete.

• tir.

In assenza di catene metalliche di rinforzo, è necessario sostituire il termine F con la spinta

tir.

orizzontale massima supportabile dalle pareti di controvento connesse al maschio murario oggetto

di analisi, H . Il suo valore può essere calcolato in base all’espressione (2.67) riportata al § 2.2.6.1.

C 117

Rispetto ai cinematismi di flessione verticale, qui entrambe le cortine sono soggette a formazione

di cerniera plastica: la relativa posizione, equivalente nei due paramenti, è determinabile a

ψ

posteriori mediante l’ausilio del parametro il polo di rotazione relativa così

=+ >

( L L ) / L 1;

1 2 2

identificato corrisponde al minimo valore del moltiplicatore α .

0

Per quanto concerne le condizioni di vincolo, per ogni cortina si richiama la presenza di un vincolo

esterno a cerniera all’estremo di sinistra (punto O per il paramento esterno, O per quello interno),

1 3

per il paramento esterno, O per quello

un carrello orizzontale all’estremo di destra (punto O

2 4

interno) ed un vincolo a cerniera interna che limita gli spostamenti relativi tra il corpo 1 e il corpo 2

(punto R per il paramento esterno, S per quello interno):

=

u 0

O ,1 =

v 0

O ,1 =

u 0

O ,2 =

u 0

O ,3 =

v 0

O ,3 = 0

u ,4

O =

u u

R ,1 R ,2

=

v v

R ,1 R ,2

=

u u

S ,1 S ,2

=

v v

S ,1 S ,2

Applicando una rotazione virtuale unitaria al corpo 1, ϑ = 1°, ne deriva:

z,1

( ) ϑ ϑ

= − ⋅ =− ⋅

u u s s

,1 ,1 ,1 ,1

R O z z 

  

L L

( ) ( )

ϑ ϑ ϑ ϑ ψ

= − ⋅ =− ⋅ =

− ⋅ =

− =

  

1 1

u u s s 1

,2 ,2 ,2 ,2

R O z z z ,2 z ,1

   

L L

( ) ϑ ϑ 2 2

= + ⋅ = ⋅

 

v v L L ( )

ϑ ψ

=− − ⋅ = ⋅ −

,1 ,1 1 ,1 1 ,1

R O z z u s s s 2

 ( ) O ,2 z ,1

ϑ ϑ

= + − ⋅ = − ⋅

v v L L

 ,2 ,2 2 ,2 2 ,2

R O z z

Perciò si procede con la valutazione degli spostamenti dei punti di applicazione di tutte le

sollecitazioni elencate in precedenza:

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

, ,1 , ,1 ,

A k O A k z A k

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

, ,1 , ,1 ,

A k O A k z A k

118

( ) ( ) ( )

ϑ ψ ψ

= − ⋅ =⋅ − + ⋅ −

u u h s h

2 1

D , k O ,2 D , k z ,2 D , k

( ) ( )

ϑ ψ

= + − ⋅ = ⋅ −

v v d d 1

D k O D k z D k

, ,2 , ,2 ,

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u y y

G O G z G

,1 ,1 ,1 ,1 ,1

)

( ϑ

= + ⋅ =

v v x x

G O G z G

,1 ,1 ,1 ,1 ,1

( ) ( ) ( )

ϑ ψ ψ

= − ⋅ =⋅ − + ⋅ −

u u y s y

2 1

G ,2 O ,2 G ,2 z ,2 G ,2

( ) ( )

ϑ ψ

= + − ⋅ = ⋅ −

v v x x 1

G O G z G

,2 ,2 ,2 ,2 ,2

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u y y

G ,3 O ,1 G ,3 z ,1 G ,3

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v x x

G ,3 O ,1 G ,3 z ,1 G ,3

( ) ( ) ( )

ϑ ψ ψ

= − ⋅ =⋅ − + ⋅ −

u u y s y

2 1

G O G z G

,4 ,2 ,4 ,2 ,4

( ) ( )

ϑ ψ

= + − ⋅ = ⋅ −

v v x x 1

G O G z G

,4 ,2 ,4 ,2 ,4

Impiegando il principio dei Lavori Virtuali si ottiene la seguente espressione analitica:

n n

( ) ( )

∑ ∑ ( )

α α α

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ +

P P v P P v W v (2.80)

0 Vk ,1 Hk ,1 A , k 0 Vk ,2 Hk ,2 D , k 0 1 G ,1

= =

k 1 k 1 ( )

( ) ( )

α α α

+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ =

W v W v W v F u 0

0 2 G ,2 0 3 G ,3 0 4 G ,4 tir . O ,2

n n

( ) ( )

∑ ∑ ( )

ψ

α α  

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − +

1

P P d P P d

 

0 ,1 ,1 , 0 ,2 ,2 ,

Vk Hk A k Vk Hk D k

= =

1 1

k k

( ) ( ) ( ) ( )

α α α

ψ (2.81)

 

+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +

− 1

W x W x W x

 

0 1 ,1 0 2 ,2 0 3 ,3

G G G

( ) ( ) ( )

α ψ ψ

 

+ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

− − =

 

1 2 0

W x F s

 

 

0 4 ,4 .

G tir

 n n

∑ ∑

( ) ( )

α ψ ψ

 

=

− ⋅ − ⋅ ⋅ − +

 P d P d 1

 

0 Hk ,1 A , k Hk ,2 D , k

= =

k k

1 1

} n n

∑ ∑

( ) ( )

ψ ψ (2.82)

 

+ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − +

  

F s 2 P d P d 1

   

tir . Vk ,1 A , k Vk ,2 D , k

= =

k 1 k 1 }

( ) ( )

ψ ψ

   

+ ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅ ⋅ −

W x W x 1 W x W x 1

   

1 G ,1 2 G ,2 3 G ,3 4 G ,4

119

L’equazione (2.82) può essere riscritta in forma compatta (data la presenza simultanea di più poli di

rotazione relativa in questo caso il moltiplicatore di collasso si esprime in funzione delle componenti

e v , e non dei corrispettivi sviluppi analitici):

di spostamento, u k k n n

∑ ∑

− ⋅ − ⋅ + ⋅

P v P v F u

Hk A k Hk D k tir O

,1 , ,2 , . ,2

α (2.83)

=

= =

k k

1 1

0 n n n

∑ ∑ ∑

⋅ +

⋅ + ⋅

P v P v W v

Vk A k Vk D k i G i

,1 , ,2 , ,

= = =

k k m

1 1 1

Non rimane che determinare con esattezza la posizione della cerniera cilindrica in corrispondenza

della quale il moltiplicatore di collasso risulta minimo:

α

d ( ) ( )

α ψ α ψ ψ

ψ

= ≤ ∀

0 0 t.c. * ,

*

ψ 0 0

d  n n

∑ ∑

( ) ( )

α ψ ψ

 

=

− ⋅ − ⋅ ⋅ +

 P d P d

* * 1

 

Hk A k Hk D k

0 ,1 , ,2 ,

= =

k k

1 1

} n n

∑ ∑ ( )

)

(

ψ ψ (2.84)

 

+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

− − +

  

F s P d P d

* 2 * 1

  

tir Vk A k Vk D k

. ,1 , ,2 ,

= =

k k

1 1 }

( )

( )

ψ ψ

   

⋅ + ⋅ ⋅

+ −

⋅ + ⋅ ⋅ +

W x W x W x W x

* 1 * 1

   

G G G G

1 ,1 2 ,2 3 ,3 4 ,4

120

2.2.6.4. Flessione orizzontale di una parete a doppia cortina confinata

Nel caso di cella interclusa all’interno di una schiera, è possibile adottare il medesimo procedimento

descritto nel § 2.2.6.2 relativo ad una parete monolitica confinata: rispetto a questo, però, è

necessario integrare delle componenti legate all’interazione tra le cortine murarie, quindi alla

trasmissione degli sforzi; per tale scopo vengono introdotti due coefficienti che rappresentano

rispettivamente la quota di forze d’inerzia trasmessa dal paramento interno a quello esterno, ρ, e la

quota di azioni statiche orizzontali supportate da quest’ultimo, ρ .

H

In condizioni limite, in cui vi è la formazione di cerniere plastiche in mezzeria e alle sezioni di imposta

dell’arco, la spinta massima agente, H , è pari a:

Ed

( )

 

α ρ ρ ρ

⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

2 2

L q q p F L

  [ ] (2.85)

0 ,1 ,2

H H H H

= N

H k

Ed 8 f

1

Il valore massimo supportabile della spinta, H , viene determinato mediante l’equazione seguente:

Rd [ ] (2.86)

= ⋅ ⋅ ⋅

H 2 f h b kN

Rd w , Ck R ,1

Le grandezze contrassegnate con il pedice 1 caratterizzano il paramento murario esterno, con il

pedice 2 quello interno.

Il moltiplicatore di collasso dei carichi orizzontali si ricava imponendo l’equivalenza tra la (2.85) e

la (2.86): ( )

 

α ρ ρ ρ

⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

2

L q q p 2 F L

  (2.87)

0 ,1 ,2

H H H H = ⋅ ⋅ ⋅

2 f h b

⋅ , ,1

w Ck R

8 f

1 ( )

ρ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

f h b f

16 p L F

2

α (2.88)

= −

w , Ck R ,1 1 H H

( ) ( )

ρ ρ

+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

0 2

q q L q q L

H H H H

,1 ,2 ,1 ,2

121

2.2.6.5. Meccanismo di sfondamento della parete del timpano

“Lo sfondamento della parete del timpano attiva un meccanismo di flessione orizzontale

caratterizzato dall’individuazione di macroelementi cuneiformi che ruotano attorno a cerniere

cilindriche oblique” [21]. Questo tipo di fenomeno è associato all’assenza di adeguati dispositivi di

ammorsamento tra la struttura muraria del timpano e la copertura che vi grava sopra: l’azione ciclica

di martellamento della trave di colmo, infatti, trasmette una spinta d’intensità elevata (specie se di

notevoli dimensioni) che determina l’instaurarsi delle condizioni di instabilità.

Come discusso per altre tipologie di cinematismi, la geometria dei cunei di distacco è condizionato

dalla presenza di aperture e dalle caratteristiche di qualità della tessitura muraria; nel caso in cui

non fosse possibile rilevare un quadro dei dissesti definito, ovvero se la struttura dovesse apparire

integra, sarebbe necessario prendere in considerazione le analisi proposte in precedenza con cui

poter valutare il minimo moltiplicatore dei collassi in funzione delle diverse possibili geometrie dei

macroelementi cuneiformi.

A tal riguardo si procede con l’introduzione del parametro β [deg], il quale rappresenta l’angolo di

inclinazione delle cerniere oblique rispetto alla verticale: quanto più queste tendono ad avere

un’inclinazione orizzontale (β 90°), tanto più il meccanismo di sfondamento della parete del

timpano può essere assimilato ad un ribaltamento semplice; allo stesso modo, quanto più β tende

al valore di ampiezza angolare nullo tanto più il meccanismo si avvicina al caso di flessione

orizzontale. Di fatto, tutti i casi intermedi risultano dalla combinazione delle due situazioni

precedentemente esaminate, per cui sono analizzabili ricorrendo allo studio del cinematismo

spaziale che prevede la rotazione rigida dei cunei di distacco attorno alle cerniere cilindriche

oblique.

Preliminarmente, è importante mettere in evidenza l’ipotesi con cui si trascura l’effetto di

contenimento che si oppone all’allontanamento reciproco dei due cunei di distacco nel loro moto

rigido; inoltre, è possibile considerare un problema di tipo simmetrico rispetto alla verticale

passante per il colmo della parete del timpano, sia in termini di sollecitazioni agenti sia in termini di

geometrie degli elementi.

In primo luogo, per determinare le componenti di spostamento dei punti appartenenti ai cunei di

distacco, è necessario introdurre due sistemi di riferimento relativi, ciascuno dei quali è

caratterizzato dalle seguenti peculiarità (in riferimento alle schematizzazioni riportate in Figura 64

e Figura 65):

L’origine è in corrispondenza del punto O;

• Gli assi z coincidono con le cerniere cilindriche attorno alle quali ruotano rigidamente i due

• i

macroelementi;

Gli assi y sono perpendicolari al piano della parete, coincidenti per i due corpi;

• i

Gli assi x risultano perpendicolari ai corrispettivi assi z ed appartengono al piano della

• i i

parete. 122

Figura 64 – Sistema di riferimento assoluto

Figura 65 – Sistemi di riferimento relativi, solidali al corrispettivo cuneo di distacco

Figura 66 – Schema statico di una parete a doppia cortina non confinata, soggetta

ad un meccanismo cinematico di flessione orizzontale

123

Come visto in Figura 66, nel modello di riferimento sono state introdotte le seguenti sollecitazioni:

W [N] = peso proprio dell’i-esimo cuneo di distacco in esame;

• i

P [N] = peso del solaio agente sul macroelemento di distacco;

• S,k

F [N] = spinta statica trasmessa dalla copertura o dalla trave di colmo;

• cop.

[N] = valore massimo dell’azione di un eventuale tirante sul cuneo di distacco.

F

• tir.

Si considerino le coordinate del punto A nel sistema di riferimento locale [x , y , z ] solidale al cuneo

1 1 1

di distacco 1: =

x 0

A ,1 =

y s

A ,1 =

z 0

A ,1

Applicando una rotazione virtuale unitaria al macroelemento 1, ϑ = (-1°), ne deriva:

z,1

( ) ( )

ϑ ϑ ϑ

=

− ⋅ =

− ⋅ =

x ' y sin s sin s sin

A ,1 A ,1 z ,1 z ,1 z ,1

( ) ( )

ϑ ϑ ϑ

=

⋅ =

⋅ =

y ' y cos s cos s cos

A ,

1 A ,1 z ,1 z ,1 z ,1

=

z ' 0

A ,

1

Lo spostamento del punto A è determinabile attraverso la differenza tra le coordinate

’, y ’, z ’), calcolate poc’anzi in funzione di una rotazione pari a ϑ = (-1°), e le coordinate

(x

A,1 A,1 A,1 z,1

(x , y , z ), relative alla configurazione iniziale:

A,1 A,1 A,1 ϑ

= − =⋅  s

u x x s sin

'

A A A z

,1 ,1 ,1 ,1  

ϑ ϑ

=

− −

= − =

⋅ ⋅ 

s s

v y y s cos cos 1 0

'  

z

A A A z 1

,

,1 ,1 ,1 ,1

=

= −

w z z

' 0

A A A ,1

,1 ,1

A questo punto è necessario esprimere le tre componenti dello spostamento nel sistema di

riferimento assoluto [x, y, z]: a tal fine si procede con una rotazione degli assi [x , y , z ] di una

1 1 1

= β’ = (90°- β), in cui il complementare dell’angolo di fessurazione risulta β’ > 0.

quantità ϑ y,1 ( ) ( )

β β

= ⋅ =

u u cos s cos

' '

A A ,1

= =

v v 0

A A ,1 ( ) ( )

β β

= ⋅ = − ⋅

w u sin s sin

' '

A A ,1 124

Figura 67 – Trasformazione da sistema di riferimento relativo [x , y , z ] a

1 1 1

sistema di riferimento assoluto [x, y, z]

Per simmetria è chiaro che (con componenti di spostamento – in direzione z nel

=

1 2 1 2

w w w w

,

A A

A A

sistema di riferimento assoluto – del punto A appartenente rispettivamente al cuneo di distacco 1

e 2), assunzione vera solo se si considera uno scorrimento lungo l’asse z tale da annullare la

1

componente indotta dalla rotazione virtuale ϑ . Pertanto, il macroelemento 1 deve traslare lungo

z,1

il piano di distacco (y , z ) di una quantità la cui componente in direzione z (sistema di riferimento

1 1

globale) è pari a .

w

A ,1

Ne consegue una componente traslatoria (indicata per mezzo di un apice “t”):

( ) ( )

β β

=⋅ ⇒ =

t t

w w =

s sin ' w s tan '

A A A ,1

In base alle considerazioni riguardanti la simmetria appena riportate, è possibile affermare:

   

u 0

O ,1

   

v 0

   

O ,1 ( )

  β

 

 

w s tan '

( )

β

= = ⋅ ⇒ = =

O ,1

t    

ta n d

w w s ' ϑ

O

O A

,1 ,1 ,1 0

   

x ,1

   

ϑ 0

   

y ,1

ϑ −

   

  1

z ,1

125

Allo stesso modo:    

u 0

O ,2

   

v 0

   

O ,2 ( )

  β

 

 

w s tan '

= =

O ,2

   

d ϑ

O ,2 0

   

x ,2

   

ϑ 0

   

y ,2

ϑ

   

 1

z ,2

A questo punto, è possibile determinare gli spostamenti dei punti di applicazione delle forze

(rispetto al sistema di riferimento assoluto):

) ( ) ( ) ( ) ( )

(

( )

β β β ϑ β β β

=

− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ + ⋅

 

u u s tan sin y cos s tan sin y co

' ' ' ' ' s '

 

B O ,1 B z ,1 B

( ) ϑ

= =

+ − ⋅

v v x x

B O ,1 B z ,1 B

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

β β β ϑ β β β

= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ +

   

u u s tan ' sin ' s cos ' s tan ' sin ' cos '

  

C O ,1 z ,1

( ) ϑ

= + − ⋅ =

v v x x

C O ,1 C z ,1 C )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

β β β ϑ β β β

= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅

  s

u u s tan ' sin ' y cos ' s tan ' sin ' y co '

 

D D

D O ,1 z ,1

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v x x

D O ,1 D z ,2 D ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

β β β ϑ β β β

= − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅

 

u u s tan sin y cos s tan sin y cos

' ' ' ' ' '

 E

E O ,2 E z ,2

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v x x

E O E z E

,2 ,2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

β β β ϑ β β β

 

= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅

u u s tan sin y cos s ta n sin y cos

' ' ' ' ' '

 

G O G z G

,1 ,1 ,1 ,1 ,

1

( ) ϑ

= + − ⋅ =

v v x x

G O G z ,

1 G ,1

,1 ,1 ,1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

β β β ϑ β β β

 

= − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅

' ' ' ' ' '

u u s tan sin y cos s tan si n y cos

 

,2 ,2 ,2 ,2 ,2

G O G z G

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v x x

,2 ,2 ,2 ,2 ,2

G

G O z G

Applicando l’equazione dei Lavori Virtuali si ottiene:

α α

− ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ +

P u P v F v F u F v P u

S B S B tir C cop D cop D S E

,1 0 ,1 . . 0 . ,2 (2.89)

( ) ( )

α α α

+ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ =

P v W u W v W u W v 0

0 S ,2 E 1 G ,1 0 1 G ,1 2 G ,2 0 2 G ,2

126

) ( )

(

( )

β β β α

− ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ +

⋅ ⋅ + ⋅

 

P s tan sin y cos P x F x

' ' '

 

,1 0 ,1 .

S B S B tir C

( )

)

) (

( β β β α

− ⋅ + ⋅ ⋅ +

⋅ ⋅ + ⋅

 

F s tan ' sin ' y cos ' F x

 

. 0 .

cop cop D

D

( ) ( ) ( )

β β β α (2.90)

− ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ +

 

P s tan sin y cos P x

' ' '

 

,2 0 ,2

S S E

E

( ) ( ) ( ) ( )

β β β α

 

− ⋅ + ⋅ ⋅ +

⋅ ⋅ + ⋅

s tan sin y cos

W ' ' ' W x

 

1 0 1

G ,

1 G ,1

( ) ( ) ( ) ( )

β β β α

 

− ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =

s t an ' sin ' y cos ' W x 0

W  

2 G ,2 0 2 G , 2

( ) ( ) ( )

β β β

⋅ ⋅ + ⋅

⋅ + ⋅

 

P F x

s tan sin y cos

' ' '

 

α +

= B

S tir C

,1 .

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

0 P x F x P x W x W x

S B cop D S E G G

,1 . ,2 1 ,1 2 ,2

)

(

( )

( )

β β β

⋅ ⋅ + ⋅

⋅  

sin y cos

F s tan ' ' '

 

+ +

D

cop . ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

W x W x

P x F x P x

S E G G

S B cop D

,1 . ,2 1 ,1 2 ,2

( )

( ) ( )

β β β

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

 

P s tan sin y c

o

s

' ' '

 

+ +

S E

,2

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

x F x P x W x W x

P ,1 . ,2 1 ,1 2 ,2

S B cop D S E G G

( ) ( ) ( )

β β β

 

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

' ' '

W s tan sin y cos

 

+ +

1 ,

1

G

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

P x F x P x W x W x

,1 . ,2 1 ,1 2 ,2

S B cop D S E G G

( ) ( ) ( )

β β β

 

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

' ' '

W s tan s in y co s

 

+ 2 , 2

G

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ (2.91)

P x F x P x W x W x

,1 . ,2 1 ,1 2 ,2

S B cop D S E G G

L’equazione appena formulata può essere rielaborata in maniera più compatta (indicando

con n il numero di piani coinvolti nel cinematismo):

n

∑ ( ) ( ) ( )

β β β + ⋅

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ +

 

' ' '

P s tan sin y cos F x

  .

S k k tir C

,

α = +

=

1

k

0 n n

∑ ∑

⋅ + ⋅ + ⋅

x F x x

P W

. . ,

S k i

k cop cop G i

,

= =

1 1

k i

( ) ( ) ( )

β β β

 

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

' ' '

F s tan sin y cos

  (2.92)

+ +

cop cop

. .

n n

∑ ∑

⋅ + ⋅ + ⋅

x F x x

P W

. . ,

S k k cop c

op i G i

,

= =

1 1

k i

n

∑ ( ) ( ) ( )

β β β

 

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ os

' ' '

W s tan sin y c

 

i G i

,

+ =

1

i n n

∑ ∑

⋅ + ⋅ + ⋅

P x F x W x

, . . ,

S k k cop cop i G i

= =

1 1

k i

127

3. Valutazione della dissipazione energetica nei meccanismi cinematici

3.1. Integrazione della componente attritiva nell’analisi limite d’equilibrio

L’utilizzo dell’analisi limite d’equilibrio con approccio cinematico fornisce risultati spesso cautelativi

rispetto alla realtà comportando alcuni svantaggi, tra cui l’impossibilità di tener in considerazione la

dissipazione energetica e di valutare la riserva di capacità resistente residua dopo l’insorgere delle

prime fessurazioni.

Nonostante la muratura abbia una resistenza a trazione praticamente nulla, vanificando quindi una

possibile ipotesi di dispersione energetica per formazione di cerniere plastiche, si può comunque

considerare una certa dissipazione dovuta alle forze d’attrito che si attivano lungo le lesioni durante

i meccanismi [23].

La presenza dell’attrito introduce sicuramente una maggior aleatorietà sul modello di calcolo,

che deriva principalmente dalle incertezze sulla valutazione della sua effettiva resistenza lungo

all’analisi di un blocco rigido (di lunghezza L [m],

le lesioni: lo studio viene, quindi, ricondotto

altezza h [m], spessore t [m]) appoggiato su un piano orizzontale, sottoposto ad una tensione

normale costante e ad una forza di taglio baricentrica, F :

a

Figura 68 – Blocco rigido sottoposto ad un’azione tagliante d’attrito baricentrica

La forza d’attrito che si sviluppa lungo la superficie di contatto, ovvero il valore minimo di F oltre il

a

quale il blocco è soggetto ad un moto di scorrimento (condizione limite di equilibrio), è

proporzionale alle tensioni di compressione agente, σ [MPa]:

Ed

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

σ ϕ γ ϕ

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

   

F L h tan L h s tan

   

a Ed (3.1)

[ ]

( ) γ

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

F L h s f W f N

a 128

Introducendo la componente dissipativa all’interno del modello di calcolo è possibile affinare i

risultati ottenuti con l’analisi limite mediante l’approccio cinematico, nella quale la capacità di una

parete sollecitata fuori dal proprio piano viene sottostimata a favore di sicurezza. In questa fase,

quindi, è intenzione dell’autore valutare l’incremento del moltiplicatore di collasso in relazione al

lavoro svolto dalle forze d’attrito; le ipotesi preliminari di riferimento sono le seguenti:

Le lesioni si attivano lungo i giunti fra i blocchi, ovvero si esclude una crisi dovuta alla frattura

• di questi stessi. Ne deriva uno stato fessurativo che segue la scalettatura naturale fra gli

elementi costituenti la parete;

L’attrito è valutato mediante un dominio alla Coulomb, in cui lo sforzo normale risulta

• costante sulle lesioni;

Lo spostamento lungo i giunti verticali (privi di pressione) non genera alcuna resistenza, in

• quanto l’attrito dipende dal peso della muratura gravante sulla lesione e si sviluppa solo in

funzione di spostamenti lungo i giunti orizzontali.

Dall’ultima delle ipotesi formulate si deduce che in quei meccanismi cinematici in cui tutti i punti

sarà nullo.

lungo le lesioni sono interessati da soli spostamenti verticali, l’incremento di α 0

a). b)

c). d)

Figura 69 – Spostamenti nei meccanismi di ribaltamento semplice (a), ribaltamento semplice di una

parete semi-ammorsata (b), flessione verticale (c) e ribaltamento composto (d)

129

Nella Figura 69 si può evidenziare come nel caso di ribaltamento semplice (a) la lesione risulta

perfettamente verticale, pertanto le resistenze attritive sono nulle; a differenza di quanto appena

enunciato, nel ribaltamento semplice di una parete semi-ammorsata (b) si prevede un cuneo di

distacco di forma irregolare, per cui i diatoni di ammorsamento generano delle tensioni tangenziali

per effetto dello scorrimento relativo. Analoghe considerazioni emergono dalla rappresentazioni in

merito al meccanismo di flessione verticale (c), in cui gli spostamenti lungo i giunti orizzontali sono

praticamente nulli, e al meccanismo di ribaltamento composto (d), ove la morfologia della lesione

risulta chiaramente associabile ad una dissipazione energetica.

130

3.1.1. Ribaltamento semplice di una parete monolitica ad un piano, con forze di attrito

Nei casi di ribaltamento semplice, in riferimento a quanto enunciato nel paragrafo precedente, è

possibile quantificare l’entità delle resistenze legate all’attrito delle sole pareti semi-ammorsate:

risulta chiaro come queste siano strettamente correlate al numero di diatoni di collegamento in

grado di trasmettere gli sforzi tangenziali di contatto.

Figura 70 – Schema statico di una parete monolitica ad un piano, soggetta ad un

meccanismo cinematico di ribaltamento semplice (includendo le azioni

legate alla dissipazione energetica d’attrito)

Il modello di ribaltamento semplice, adeguatamente rielaborato rispetto a quello proposto nel

§ 2.2.3, è caratterizzato dalle seguenti azioni di progetto:

W [N] = peso proprio del maschio murario in esame;

• P [N] = peso del solaio agente sulla parete;

• S

F [N] = componente verticale della spinta di archi o volte sulla parete;

• V

F [N] = componente orizzontale della spinta di archi o volte sulla parete;

• H

F [N] = valore massimo dell’azione di un eventuale tirante;

• tir.

F [N] = spinta statica trasmessa dalla copertura;

• cop.

F [N] = forza d’attrito relativa agli n diatoni di collegamento (con A corrispondente all’area

• a D

di contatto dei diatoni e σ indicante la tensione di compressione agente sulla parete):

Ed ( )

σ

= ⋅ ⋅ ⋅

 

F n A f

 

a Ed D

131

Nello schema di cui sopra è possibile mettere in evidenza un vincolo esterno alla traslazione alla

base (punto O), attorno al quale si verificherà una rotazione rigida di tutto il pannello murario.

Pertanto, applicando le condizioni di vincolo si ha:

=

u 0

O =

v 0

O

Gli spostamenti dei punti di applicazione delle forze, generati per effetto della rotazione virtuale

= 1°, sono riassunti di seguito:

unitaria intorno all’asse z, ϑ z ( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

A O A z A

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

A O A z A

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

B O z

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

B O B z B

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

C O C z C

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v s s

C O z

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u y y

G O G z G

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v x x

G O G z G

h

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h

J O J z 3

= 0

v J

Come visto finora, si applica il principio dei Lavori Virtuali:

( )

( )

α α

− ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ +

F F u F v P F u P v F u (3.2)

0 V H A V A 0 S cop . B S B tir . C

)

( α ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

− − + 0

W u W v F u

G J

0 G a ( )

( )

α α

⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ +

F F h F d P F h P d F h

0 0 . .

V H A V A S cop S B tir C (3.3)

h

( )

α

+ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ =

W y W x F 0

0 G G a 3 h

− ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

F h F d F h P d F h W x F

H A V A cop . S B tir . C G a 3

α (3.4)

= ⋅ + ⋅ + ⋅

0 F h P h W y

V A S G

132

Le resistenze dovute all’attrito, come introdotto poc’anzi, sono proporzionali allo sforzo normale

che agisce sui giunti orizzontali dei diatoni, sui quali si verificano gli scorrimenti; di conseguenza, il

numero di collegamenti trasversali e la distanza reciproca sono sicuramente variabili influenzanti

l’entità del moltiplicatore risultante. 133

3.1.2. Ribaltamento composto di un cuneo diagonale coinvolgente un piano, con forze di

attrito

Figura 71 – Schema statico di un cuneo diagonale coinvolgente un piano, soggetto

ad un meccanismo cinematico di ribaltamento composto (includendo le

azioni legate alla dissipazione energetica d’attrito)

Analogamente a quanto visto nel caso di studio precedente, si introduce la forza d’attrito all’interno

dello schema statico di riferimento:

W [N] = peso proprio del maschio murario in esame;

• W [N] = peso proprio del cuneo di distacco;

• 0

P [N] = peso del solaio agente sulla parete;

• S

P [N] = carico verticale relativo al solaio agente sul cuneo di distacco (calcolato in base

• S,0

all’area d’influenza);

F [N] = componente verticale della spinta di archi o volte sulla parete;

• V

F [N] = componente orizzontale della spinta di archi o volte sulla parete;

• H

F [N] = valore massimo dell’azione di un eventuale tirante;

• tir.

F [N] = spinta statica trasmessa dalla copertura;

• cop.

[N] = forza d’attrito relativa al cuneo di distacco illustrato:

F

• a ( )

β γ

 

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2

F s h tan f

 

a 134

Per quanto concerne le condizioni di vincolo dei meccanismi di ribaltamento composto, sappiamo

che queste sono del tutto identiche a quelle proposte per il ribaltamento semplice, per cui:

=

u 0

O =

v 0

O

Applicando una rotazione virtuale unitaria ϑ = 1°, si ripete la valutazione degli spostamenti:

z

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

A O A z A

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

A O A z A

)

( ϑ

= − ⋅ =

u u h h

B O z

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

B O B z B

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

C O C z C

)

( ϑ

= + ⋅ =

v v s s

C O z

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u y y

G O G z G

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v x x

G O G z G

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u y y

G O G z G

,0 ,0 ,0

)

( ϑ

= + ⋅ =

v v x x

G O G z G

,0 ,0 ,0

h

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h

J O J z 3

= 0

v J ( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

L O z

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

L O L z L

Di conseguenza, lo sviluppo dell’equazione dei Lavori Virtuali ha la seguente forma:

( )

( )

α α

− ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ +

F F u F v P F u P v

0 V H A V A 0 S cop . B S B

( ) ( )

α α (3.5)

+ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ +

F u W u W v W u W v F u

tir . C 0 G G 0 0 G ,0 0 G ,0 a J

( )

α

− ⋅ ⋅ − ⋅ =

P u P v 0

0 S ,0 L S ,0 L 135 )

(

( )

α α

⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ +

F F h F d P F h P d F h

V H A V A S cop S B tir C

0 0 . . )

(

h

)

(

( )

α α α (3.6)

+ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ − + ⋅ ⋅ +

F

W y W x W y W x P h

G G G G S

a

0 0 0 ,0 0 ,0 0 ,0

3

− ⋅ =

P d 0

S L

,0 − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

F h F d F h P d F h W x

α +

H A V A cop S B tir C G

. .

)

(

⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅

0 F h P P h W y W y

V A S S G G

,0 0 ,0 (3.7)

h

⋅ + + ⋅

F

W x P d

a

G S L

0 ,0 ,0

3

+ )

(

⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅

F h P P h W y W y

V A S S G G

,0 0 ,0

Si può facilmente notare come la funzione che definisce l’azione F non ammetta minimi relativi, in

a

quanto sempre crescente; questo risultato, dimostrabile sia a livello grafico che analitico, è

facilmente intuibile anche dal punto di vista fisico: la configurazione che minimizza il lavoro delle

azioni ribaltanti corrisponde ad un angolo di fessurazione nullo (lesione verticale), β = 0°, cioè al

caso in cui il ribaltamento avvenga puramente fuori piano, senza il coinvolgimento di porzioni di

pareti di controvento (non più ribaltamento composto).

Grafico 1 – Andamento crescente della funzione tangente nell'intervallo 0°≤ β ≤ 90°

136

Adimensionalizzando l’espressione relativa all’attrito rispetto ai parametri rappresentanti le

caratteristiche geometriche e materiche del generico maschio murario in esame, si ottiene:

F ]

[

)

( β (3.8)

=

a tan adim.

γ

⋅ ⋅ ⋅

2

s h f

Derivando questa stessa rispetto all’angolo di fessurazione se ne dimostra l’andamento crescente

per qualsiasi valore di β: d d

( ) ( )

( )

β β β β (3.9)

=+ ⇒ ≥ ∀

2

tan tan tan

1 0,

β β

d d

Da questa osservazione si può dedurre che un simile modello può essere utilizzato solo a posteriori,

avendo rilevato la configurazione geometrica del cinematismo, o a priori, soltanto dopo aver

verificato con indagini semi-distruttive le caratteristiche costruttive delle pareti considerate.

Ancora una volta, si ribadisce il ruolo fondamentale della conoscenza dello stato di fatto nel

processo di interpretazione critica dei possibili meccanismi di collasso fuori piano: prima di

affrontare una qualsiasi analisi, finalizzata ad un giudizio sulle capacità strutturali di un edificio

storico in muratura, è necessario effettuare un attento rilievo geometrico, materico, dei dettagli

costruttivi e del quadro fessurativo. 137

3.1.3. Ribaltamento composto di un cuneo diagonale a doppia diagonale ad un piano, con

resistenze di attrito

Figura 72 – Schema statico di un cuneo a doppia diagonale coinvolgente un piano,

soggetto ad un meccanismo cinematico di ribaltamento composto (includendo

le azioni legate alla dissipazione energetica d’attrito)

In maniera analoga a quanto eseguito finora, si procede con l’analisi delle sollecitazioni evidenziate

in Figura 72:

W [N] = peso proprio del maschio murario in esame;

• W [N] = peso proprio del cuneo di distacco;

• 0

P [N] = peso del solaio agente sulla parete;

• S

F [N] = componente verticale della spinta di archi o volte sulla parete;

• V

F [N] = componente orizzontale della spinta di archi o volte sulla parete;

• H

F [N] = forza di attrito relativa al cuneo di distacco illustrato.

• a

In questo caso la forza d’attrito F è espressa per mezzo della somma tra le forze d’attrito parziali

a , F e F ), in modo da facilitare la definizione degli

relative alle due lesioni inclinate (F a,1 a,2 a,3

spostamenti dei rispettivi punti di applicazione.

= + +

F F F F

a a ,1 a ,2 a ,3

138

Figura 73 – Porzione di parete relativa alla forza d’attrito F a,1

Figura 74 – Porzione di parete relativa alla forza d’attrito F a,2

Figura 75 – Porzione di parete relativa alla forza d’attrito F a,3

139

Per cui:

F [N] = forza d’attrito relativa alla porzione 1 rappresentata in Figura 73:

• a,1 ( )

β

 

2

h tan γ

= ⋅ ⋅ ⋅

1

 

F s f

a ,1 2

 

F [N] = forza d’attrito relativa alla porzione 2 rappresentata in Figura 74:

• a,2 ( )

β γ

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

 

F h tan h s f

 

a ,2 1 2

F [N] = forza d’attrito relativa alla porzione 3 rappresentata in Figura 75:

• a,3 ( )

β

⋅ ⋅

 

h tan h γ

= ⋅ ⋅ ⋅

1 2

 

F s f

a ,3  

2

Gli spostamenti conseguenti alla rotazione unitaria rispetto all’asse z risultano i seguenti:

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

A O A z A

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

A O A z A

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

B O z

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

B O B z B

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u y y

G O G z G

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v x x

G O G z G

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u y y

G ,0 O G ,0 z G ,0

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v x x

G ,0 O G ,0 z G ,0

( ) h

ϑ

= − ⋅ =

− 1

u u h

,1 ,1

J O J z 3

= 0

v ,1

J ( ) h

ϑ

= − ⋅ =

− − 2

u u h h

,2 ,2 1

J O J z 2

= 0

v ,2

J ⋅

( ) 2 h

ϑ

= − ⋅ =

− − 2

u u h h

,3 ,3 1

J O J z 3

=

v 0

J ,3 140 ( )

)

(

)

( α α α

− ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ +

F F u F v P u P v W u (3.10)

V H A V A S B S B G

0 0 0

( )

α ⋅ + ⋅ =

+

− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅

W v W u W v F u F u F u 0

a J a J

G a J

G G ,0 0 ,0 1 ,2 ,2 ,3 ,3

0 0 ,1 ,

( ) ( ) ( )

α α α

⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ +

F F h F d P h P d W y

V H A V A S S B G

0 0 0

 

h h

)

( α (3.11)

⋅ ⋅

− ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ − − + +

1 2

 

x F h

F

W x W y W

G G G a a 2

0 0 ,0 0 ,0 1

,1 ,  

3 2

 

h

2

− + =

2

 

F h 0

a ,3 1

 

3 h

− ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ 1

F h F d P d W x W x F

0 ,0 ,1

a

H A V A S B G G 3

α +

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

0 F h P h W y W y

0 , 0

V A S G G (3.12)

   

h 2 h

+ + +

⋅ ⋅

2 2

   

h h

F F

, 1 1

2 ,3

a a

   

2 3

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

F h P h W W y

y 0 ,0

V A S G G

141

3.1.4. Ribaltamento del cantonale, con resistenze di attrito

Figura 76 – Schema statico di un cantonale soggetto ad un meccanismo cinematico di ribaltamento

(includendo le azioni legate alla dissipazione energetica d’attrito)

Data la complessità del problema, principalmente legata al numero di parametri in gioco e alle

proiezioni di questi stessi nel piano di ribaltamento, si ritiene opportuno riassumerli come segue (in

riferimento a quanto illustrato in Figura 76):

[N] = peso proprio del cuneo di distacco;

W

• 0

P [N] = peso della copertura in testa alla m-esima parete;

• S,m

F [N] = componente verticale della spinta di archi o volte esercitata su una delle due pareti

• V

convergenti nello spigolo;

F [N] = componente orizzontale della spinta di archi o volte esercitata su una delle due

• H

pareti convergenti nello spigolo;

F ’ [N] = proiezione nella direzione del ribaltamento della componente verticale della spinta

• H

di archi o volte esercitata su una delle due pareti convergenti nello spigolo:

 

2

= ⋅  

F ' F  

H H 2

 

F [N] = valore massimo dell’azione di un eventuale tirante sulla m-esima parete

• tir,m

convergente nello spigolo; 142

F ’ [N] = proiezione dell’azione massima di un eventuale tirante sulla m-esima parete

• tir,m

convergente nello spigolo:  

2

= ⋅  

F F

'  

tir m tir m

, , 2

 

F [N] = spinta statica trasmessa dal puntone della copertura a padiglione sul cantonale

• cop.

nella direzione del ribaltamento;

F [N] = forza d’attrito relativa al cuneo di distacco illustrato:

• a = ⋅

F f W

a 0

In funzione della rotazione virtuale unitaria ϑ = 1° è possibile determinare gli spostamenti dei punti

z

d’interesse: ( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

A O A z A

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

A O A z A

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

B O z

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

B O B z B

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

C O C z C

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

C O C z C

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u y y

G ,0 O G ,0 z G ,0

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v x x

G ,0 O G ,0 z G ,0

h

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h

J O J z 3

= 0

v J )

( ϑ

= − ⋅ =

u u h h

R O z

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

R O R z R

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h h

S O z

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

S O S z S

143

La conseguente equazione dei Lavori Virtuali risulta come segue:

( )

( )

α α

− ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ +

F F u F v F u F v

'

0 V H A V A 0 cop . B cop . B

( ) ( )

( )

α α (3.13)

+ + ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ +

F ' F ' u W u W v F u P u

tir ,1 tir ,2 C 0 0 G ,0 0 G ,0 a J 0 S ,1 R

( )

α

− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ =

P v P u P v 0

S i R S S S S

, 0 ,2 ,2 ( )

( )

α α α α

⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ +

F F ' h F d F P P h

0 V H A V A 0 cop . 0 S ,1 0 S ,2

( ) h ( )

α (3.14)

− ⋅ − + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ +

F d F ' F ' h F W y W x

cop . B tir ,1 tir ,2 C a 0 0 G ,0 0 G ,0

3

− ⋅ − ⋅ =

0

P d P d

S ,1 R S ,2 S ( )

− ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅

F h F d F d F F h W x

' '

α +

H A V A cop B tir tir C G

. ,1 ,2 0 ,0

( )

⋅ + + + ⋅ + ⋅

0 F h F P P h W y

V A cop . S ,1 S ,2 0 G ,0 (3.15)

h

⋅ + ⋅ + ⋅

F P d P d

a S , i R S ,2 S

3

+ ( )

⋅ + + + ⋅ + ⋅

F h F P P h W y

V A cop S S G

. ,1 ,2 0 ,0

144

3.2. Valutazione della componente attritiva mediante l’introduzione di coefficienti

correttivi

Al fine di poter valutare meglio l’importanza dell’effetto attritivo nei vari meccanismi cinematici, si

osserva come il suo contributo stabilizzante è determinabile anche attraverso un metodo

[adim.], utili a

semplificato: esso si basa sull’integrazione di una serie di coefficienti correttivi, F f

tener in considerazione la componente dissipativa nell’analisi limite, la quale risulta funzione di

alcune delle connotazioni che caratterizzano l’edificio oggetto di analisi, tra cui:

Tipologia di meccanismo cinematico;

• Dimensioni della parete sollecitata fuori dal proprio piano medio;

• Forma del cuneo;

• Tessitura muraria;

• Materiali impiegati (quindi l’inclinazione della lesione e il fattore di attrito).

• Figura 77 – Rappresentazione dei parametri geometrici dai quali

dipende l’entità della dissipazione per attrito

145

dove: L [m] = lunghezza della parete muraria di riferimento (o distanza tra due pareti di

• controvento);

h [m] = altezza della parete muraria di riferimento;

• h [m] = altezza della porzione muraria inferiore (rispetto alla quota relativa alla cerniera

• 1

plastica);

h [m] = altezza della porzione muraria superiore (rispetto alla quota relativa alla cerniera

• 2

plastica).

A tal proposito, la dott.ssa Marino è stata in grado di analizzare la risposta di una serie di pannelli

murari soggetti a diversi cinematismi [23]: variando alcune delle caratteristiche elencate di cui

sopra, ma soprattutto confrontando i risultati ottenuti con quelli valutati in assenza di attrito, sono

stati ricavati i suddetti fattori amplificativi.

Il fattore F (friction amplification factor), per ogni meccanismo cinematico, si definisce come segue:

f a * [ ]

µ (3.16)

= 0,

F adim.

f a *

0

dove: * [adim.] = valore di accelerazione spettrale di attivazione del meccanismo in esame,

a

• 0,μ

considerando la dissipazione energetica dovuta alle forze d’attrito;

a * [adim.] = valore di accelerazione spettrale di attivazione del meccanismo in esame,

• 0

trascurando l’attrito.

Pertanto, in mancanza di analisi più approfondite, è possibile ricorrere all’espressione del

moltiplicatore di collasso dei carichi orizzontali di riferimento (associata al meccanismo cinematico

corrispondente, vedi paragrafo 2.2) opportunamente amplificata del suddetto fattore di frizione:

[ ]

α α (3.17)

= ⋅ F a dim.

µ

0, 0 f

dove: α [adim.] = moltiplicatore di collasso dei carichi orizzontali del meccanismo in esame,

• 0,μ

considerando la dissipazione energetica dovuta alle forze d’attrito;

α [adim.] = moltiplicatore di collasso dei carichi orizzontali del meccanismo in esame,

• 0

calcolato trascurando l’attrito. 146

sono riportati di seguito in più tabelle in funzione dei diversi cinematismi e di tutte le altre

I fattori F f

variabili descritte in precedenza: β = 5° β = 10° β = 15° β 20°

≤ ≤ 1,13 1,21 1,26 1,28

0, 40 f 0,50

≤ ≤ 1,16 1,26 1,32 1,35

0,50 0, 60

f

≤ ≤ 1,19 1,30 1,38 1,41

0, 60 f 0, 70

≥ 1,23 1,37 1,45 1,50

f 0, 70

Tabella 3 – Valori di F per meccanismi di ribaltamento composto a cuneo singolo [23]

f β = 5° β = 10° β = 15° β 20°

≤ ≤ 1,07 1,14 1,20 1,25

0, 40 f 0,50

≤ ≤ 1,09 1,18 1,25 1,32

0,50 f 0, 60

≤ ≤ 1,11 1,21 1,30 1,38

0, 60 f 0, 70

≥ 1,12 1,24 1,35 1,45

f 0, 70

Tabella 4 – Valori di F per meccanismi di ribaltamento composto a cuneo doppio [23]

f

Nel caso di ribaltamento composto a cuneo doppio, se il rapporto tra le altezze delle porzioni

/h 0,30, allora i valori elencati in Tabella 4 devono essere moltiplicati

murarie dovesse risultare h ≤

1 2

per un ulteriore fattore amplificativo pari a 1,05.

β = 5° β = 10° β = 15° β 20°

≤ ≤ - 1,41 1,44 1,52

0, 40 f 0,50

≤ ≤ - 1,54 1,65 1,70

0,50 f 0, 60

≤ ≤ - 1,65 1,75 1,84

0, 60 f 0, 70

≥ - 1,68 1,78 1,88

f 0, 70

Tabella 5 – Valori di F per meccanismi di ribaltamento del cantonale [23]

f 1 diatono ogni m 1,5 diatoni ogni m

≤ ≤ 1,30 1,40

0, 40 f 0,50

≤ ≤ 1,35 1,45

0,50 f 0, 60

≤ ≤ 1,40 1,50

0, 60 f 0, 70

≥ 1,45 1,55

f 0, 70

Tabella 6 – Valori di F per meccanismi di ribaltamento semplice di pareti semi-ammorsate [23]

f 147

Per ognuno di questi meccanismi cinematici, si prevede un’ulteriore amplificazione secondo un

fattore moltiplicativo pari a 1,05 se il rapporto tra le dimensioni della parete in esame dovesse

risultare L/h > 1.

Indipendentemente dal cinematismo fuori piano considerato, a giudizio dell’autore trascurare

l’apporto legato all’attrito potrebbe portare ad una sottostima del moltiplicatore di collasso

considerevole: mediamente, esso rappresenta circa il 25 % del contributo stabilizzante totale. In

particolare, l’errore nel trascurare questo termine:

È tanto più grande quanto più snelli risultano i blocchi costituenti la parete (a cui si associa

• la variabilità del valore dell’angolo di fessurazione, β);

È tanto più grande quanto più è contenuta la lunghezza della parete investita dall’azione di

• taglio (o la distanza tra le pareti di controvento).

148

4. Metodi di verifica

Una volta quantificato il moltiplicatore di collasso, α , è necessario valutare la sicurezza della

0

struttura mediante due possibili procedure:

Analisi cinematica lineare, in cui si confronta l’accelerazione spettrale di attivazione del

• meccanismo (correlata al moltiplicatore di collasso), a *, con quella di picco relativa alla

0

domanda sismica, a (verifica soddisfatta se a *> a );

S 0 S

Analisi statica non lineare, dove si valuta la capacità di spostamento ultimo della struttura

• soggetta ad un meccanismo locale, d *, rispetto alla domanda di spostamento richiesta dal

U

).

sisma, Δd(T S

In entrambi i casi i parametri di accelerazione e spostamento sono determinati associando alla

struttura reale un oscillatore equivalente (sistema a un grado di libertà). Nei paragrafi seguenti sarà

possibile approfondire al meglio tali procedimenti analitici, in modo da poterli mettere a confronto

in maniera critica.

4.1. Analisi cinematica lineare

Per ogni tipologia di costruzione è prevista una vita nominale, V , ovvero il numero di anni nel quale

N

la struttura, purché soggetta a manutenzione ordinaria, deve poter essere impiegata per lo scopo

previsto: ad esempio per opere strutturali ordinarie la vita nominale risulta pari a 50 anni. Nel caso

di sollecitazioni telluriche, in relazione alle conseguenze di una interruzione di operatività o di un

eventuale collasso, le costruzioni sono suddivise in classi d’uso, le quali risultano legate

principalmente al grado di affollamento previsto e al ruolo socio-economico di riferimento; a

[8].

ciascuna di queste classi viene associato un coefficiente d’uso, C

U

Classe d’uso: Descrizione: C

U

Classe I Costruzioni con presenza solo occasionale di persone. 0,7

Costruzioni il cui uso prevede normali affollamenti, prive di

contenuti pericolosi per l’ambiente, senza funzioni pubbliche o

Classe II 1,0

sociali essenziali o industri con attività non pericolose per

l’ambiente.

Costruzioni il cui uso prevede affollamenti significativi o industrie

Classe III 1,5

con attività pericolose per l’ambiente.

Costruzioni con funzioni pubbliche o strategiche importanti,

industrie con attività particolarmente pericolose per l’ambiente

Classe IV 2,0

(anche con riferimento alla gestione della protezione civile in caso di

calamità).

Tabella 7 – Definizione delle classi d’uso e rispettivi coefficienti d’uso [8]

Il prodotto tra la vita nominale ed il coefficiente d’uso è definito come periodo di riferimento, V :

R

[ ] (4.1)

= ⋅

V V C anni

R N U

149

Nei confronti delle azioni sismiche, gli stati limite presi in considerazione in questa sede sono:

Stato Limite di Danno (SLD – Stato Limite di Esercizio): a seguito del terremoto la costruzione

• nel suo complesso (inclusi quindi gli elementi strutturali e non strutturali) subisce danni tali

da non mettere a rischio gli utenti e da non compromettere significativamente la capacità di

resistenza e di rigidezza nei confronti delle azioni verticali e orizzontali, conservando

l’immediata agibilità [8];

Stato Limite di salvaguardia della Vita (SLV – Stato Limite Ultimo): a seguito del fenomeno

• sismico la costruzione subisce rotture e crolli dei componenti non strutturali ed impiantistici,

nonché significativi danni dei componenti strutturali cui si associa un’ingente perdita di

rigidezza nei confronti delle azioni orizzontali; contestualmente, è possibile registrare una

conservazione parziale di resistenza e rigidezza nei confronti delle azioni verticali ed un

margine di sicurezza nei confronti del collasso per azioni sismiche orizzontali [8].

Per ognuno dei suddetti stati limite viene associata una probabilità di eccedenza nel periodo di

riferimento: Stato Limite: P V,R

SLD 63 %

SLV 10 %

Tabella 8 – Probabilità di eccedenza associate agli Stati Limite considerati

In ultimo, si definisce il periodo di ritorno, T , il quale caratterizza la pericolosità sismica del caso di

R

studio in esame: V [ ] (4.2)

= − R

T n n

i

a

R (1 )

l n P ,

V R

Ai fini della definizione dell’azione sismica si rende necessaria la valutazione dei parametri appena

descritti, in modo da poterli associare alle caratteristiche sismiche della località geografica in esame

(vedi “Mappa di Pericolosità Sismica del Territorio Nazionale” emanata dall’Istituto Nazionale di

Geofisica e Vulcanologia o foglio di calcolo “Azioni Sismiche - Spettri di Risposta ver. 1.03” pubblicato

dal Consiglio Superiore dei Lavori Pubblici): l’accelerazione orizzontale di picco in condizioni di

campo libero su sito di riferimento rigido con superficie topografica orizzontale, a , è infatti correlata

g

alla sopracitata probabilità di superamento. Si sottolinea l’impiego di un altro coefficiente legato

alla pericolosità del sito, il fattore di amplificazione dello spettro in accelerazione orizzontale, F .

0

Per determinare la domanda sismica è altresì utile caratterizzare dal punto di vista geotecnico il

volume significativo di terreno su cui sorge il fabbricato: attraverso la valutazione strumentale della

velocità di propagazione delle onde di taglio entro i primi 30 m di profondità (V ), infatti, è

S,30

possibile classificare il sottosuolo, in riferimento alle categorie previste nella tabella 3.2.II delle

NTC 2008. 150

A ciascuna di essa è possibile accostare un’espressione analitica con cui determinare il corrispettivo

:

coefficiente di amplificazione stratigrafica S

S

Categoria: Descrizione: V S

S,30 S

A Terreni molto rigidi o ammassi rocciosi > 800 m/s 1, 00

Depositi di terreni a grana grossa molto a

− ⋅ ⋅

B addensati, terreni a grana fina molto 360 ÷ 800 m/s g

F

1, 40 0, 40 0 g

consistenti o rocce tenere

Depositi di terreni a grana grossa a

− ⋅ ⋅

C mediamente addensati o terreni a grana fina 180 ÷ 360 m/s g

F

1, 70 0, 60 0 g

mediamente consistenti

Depositi di terreni a grana grossa a

− ⋅ ⋅

D scarsamente addensati o di terreni a grana < 180 m/s g

F

2, 40 1,50 0 g

fina scarsamente consistenti

Terreni dei sottosuoli di tipo C o D per a

− ⋅ ⋅

E - g

F

2, 00 1,10

spessore non superiore a 20 m 0 g

Terreni con almeno 8 m a grana fina di bassa

S consistenza o che includono almeno 3 m di - -

1 torba/argille altamente organiche

S Depositi di terreni suscettibili di liquefazione - -

2 Tabella 9 – Definizione delle categorie di sottosuolo e relativi coefficienti

di amplificazione stratigrafica [8]

In modo analogo si richiede la predisposizione di alcune analisi delle caratteristiche topografiche del

sito, in ragione dei contenuti della tabella 3.2.IV delle NTC 2008; anche in questo caso è possibile

associarvi il valore del corrispettivo coefficiente di amplificazione topografica, S :

T

Categoria Caratteristiche della superficie topografica: S T

topografica: Superficie pianeggiante, pendii e rilievi isolati con inclinazione media

T 1,0

1 φ 15°

T Pendii con inclinazione media φ > 15° 1,2

2 Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base ed

T 1,2

3 inclinazione media 15° φ 30°

≤ ≤

Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base ed

T 1,4

4 inclinazione media φ > 30°

Tabella 10 – Definizione delle categorie topografiche e relativi coefficienti

di amplificazione topografica [8]

151

4.1.1. Stato Limite di Danno:

Nel caso di meccanismi locali, lo Stato Limite di Danno corrisponde all’insorgere di fessurazioni che

non interessano l’intera struttura, ma solo una sua parte; è per tale ragione che in presenza di edifici

esistenti in muratura, pur essendo auspicabile il soddisfacimento di questo Stato Limite, la sua

verifica non è richiesta.

Allo SLD, l’accelerazione di picco della domanda sismica (alla quota del terreno) risulta:

 

)

( m

)

( (4.3)

= = ⋅ ⋅

S a P

a z S

0  

S S T g V R

,  

2

s

Nel caso in cui il meccanismo locale dovesse interessare una porzione della costruzione posta ad

una certa quota superiore a quella del suolo, è necessario mettere in evidenza un incremento

dell’accelerazione di picco:  

m

( ) ( ) ( )

ψ δ (4.4)

= ⋅ ⋅

a z S T z  

S e  

2

1 s

dove: S (T ) [m/s ] = ordinata corrispondente al primo periodo di vibrazione della struttura, T , nel

2

• e 1 1

diagramma relativo allo spettro di risposta elastico;

[s] = periodo fondamentale di vibrazione dell’elemento strutturale secondario (può essere

T

• 1

considerato nullo nel caso il pannello rispetti i limiti geometrici riportati nella tabella 7.8.II

delle NTC 2008): M

π (4.5)

= ⋅

T 2

1 k

Ψ(z) [adim.] = coefficiente correttivo per tenere in considerazione la variabilità di a in

• S

funzione della quota altimetrica della porzione muraria in esame, z:

z

( )

ψ (4.6)

=

z h

T

h [m] = altezza della struttura rispetto al piano di fondazione;

• T

δ [adim.] = fattore di partecipazione modale. In assenza di valutazioni più accurate è possibile

• assumerlo pari a: ⋅ N

3

δ (4.7)

= ⋅ +

N

(2 1)

dove N indica il numero di piani dell’edificio.

152

Come introdotto brevemente nel paragrafo precedente, questo valore deve risultare inferiore

*

rispetto all’accelerazione spettrale di attivazione del meccanismo dell’oscillatore equivalente, a 0

(in riferimento al punto C8A.4.2.2 della Circolare Applicativa delle NTC 2008, [7]):

α ⋅  

g m (4.8)

≤ = =

0

a a *  

0

S  

2

e FC s

*

dove: α [adim.] = moltiplicatore di collasso dei carichi orizzontali (vedi paragrafo 2.2);

• 0

g = 9,81 m/s = accelerazione gravitazionale;

2

• e* [adim.] = frazione di massa partecipante della struttura (in riferimento al punto C8A.4.2.2

• della Circolare Applicativa delle NTC 2008, [7]): ⋅ *

g m (4.9)

=

*

e n

∑ P ,

V i

=

1

i

m* [N·s /m] = massa partecipante (in riferimento al punto C8A.4.2.2 della Circolare

2

• Applicativa delle NTC 2008, [7]): 2

 

+

n m

∑ ⋅

 

P u

V k k

,

 

= (4.10)

= k 1

m

* +

n m

⋅ ⋅ 2

g P u

V k k

,

=

k 1

P [N] = i-esima forza peso agente sulla porzione di muratura considerata;

• V,k

u [m] = spostamento virtuale in direzione orizzontale del k-esimo punto di applicazione delle

• i

suddette forze peso;

n+m [adim.] = numero di forze peso che generano, per effetto dell’azione sismica, forze

• orizzontali sugli elementi coinvolti nel meccanismo cinematico;

FC [adim.] = fattore di confidenza che tiene conto del livello di conoscenza della costruzione

• (in riferimento al punto C8A.1.A.4 della Circolare Applicativa delle NTC 2008, [7]).

153

4.1.2. Stato Limite di Salvaguardia della Vita

Allo Stato Limite di salvaguardia della Vita viene introdotto nel modello di calcolo il fattore di

struttura, q, ovvero quel parametro con cui si tiene conto in maniera semplificata della capacità

dissipativa post-elastica della struttura, della sua sovra-resistenza e dell’incremento del suo periodo

proprio a seguito della plasticizzazione. Pertanto, l’accelerazione di picco della domanda sismica

(alla quota del terreno) risulta: ( )

⋅ ⋅  

S S a P m

( ) (4.11)

= = S T g V , R

a z 0  

S  

2

q s

In modo analogo a quanto trattato poc’anzi nel paragrafo 2.3.1.1 (Stato Limite di Danno), si riporta

la definizione di accelerazione di picco relativa ad una porzione muraria posta ad una quota diversa

da quella del terreno: ( ) ( )

ψ δ

⋅ ⋅  

S T z m

( ) (4.12)

= e 1

a z  

S  

2

q s

Anche qui, la verifica risulta soddisfatta se: α ⋅  

g m (4.13)

≤ = 0

a

a *  

S 0  

2

FC

e s

*

In entrambi gli Stati Limite considerati si evidenzia come, nel caso in cui la verifica non dovesse

fornire un esito positivo, sarebbe necessario consolidare la porzione muraria di riferimento

mediante dei tiranti metallici, in modo da innalzare il valore del moltiplicatore dei carichi e di

conseguenza l’accelerazione spettrale. 154

4.2. Analisi statica non lineare

In questo procedimento alternativo è necessario determinare la curva di capacità del sistema reale,

ovvero un grafico in cui si mostra l’andamento del moltiplicatore di collasso dei carichi orizzontali,

quindi l’azione che attiva il cinematismo, al variare dello spostamento di un punto di controllo

appartenente alla struttura: è possibile mettere in evidenza l’andamento decrescente di tale

funzione, dato che al progredire dello stato di deformazione del sistema si associa un decadimento

. La capacità di fronteggiare un’azione esterna da parte della struttura è strettamente

del valore di α 0

correlata alla rigidezza della stessa, la quale a sua volta dipende essenzialmente dalle caratteristiche

geometriche e meccaniche dei suoi elementi.

In presenza di forze costanti, per la costruzione di tale diagramma, è necessario determinare il valore

del moltiplicatore di collasso nella configurazione indeformata (rotazione del sistema, ϑ = 0°) e in

z

una qualsiasi deformata (ad esempio, ϑ = ϑ , tale per cui il moltiplicatore risulta nullo), in quanto

z u

l’andamento della funzione risulta lineare. Mediante l’ausilio di un semplice foglio di calcolo è

possibile determinare l’entità di ϑ [24] a cui poter associare il valore di spostamento ultimo del

u

punto di controllo prescelto, d :

k,0

   

n n n n n

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

( ) ( )

ϑ ϑ

⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ =

P R W R F R sin P R W R cos

   

, , ,

S k k i i tir m m u S k k i i u

   

= = = = =

1 1 1 1 1

k i i k i

n n n

∑ ∑ ∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

= ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅

     

P R cos sin W R cos sin F R cos

     

, ,

S k k k k i i i i tir m m i

= =

1 1 1

k i i

(4.14)

ϑ

⇒ u ( )

ϑ

⇒ =

d h sin

k u

,0 0

dove: R , R , R [m] = raggio congiungente il punto di applicazione della forza considerata e l’origine

• k i m

del sistema di riferimento: (4.15)

= +

2 2

R u v

k k k

ϕ , ϕ , ϕ [deg] = angolo compreso tra il raggio congiungente e l’orizzontale:

• k i m  

u

ϕ (4.16)

=  

k

arc.tan

k  

v

k

h [m] = altezza corrispondente al punto di controllo prescelto.

• 0

L’andamento di tale funzione, graficamente rappresentata da un segmento in grado di unire i due

punti appena descritti, assume la seguente forma:

 

d [ ]

( ) ( )

α α (4.17)

= ° ⋅ −

 

k

d 0 1 adim.

0 k 0  

d

 

k ,0

155

Figura 78 – Curva di capacità di un sistema reale

Al contrario, se le forze non dovessero essere costanti, la funzione risulterà lineare a tratti e sarà

perciò necessario definire un maggior numero di punti (vedi Figura 81 e Figura 82).

Successivamente si procede con il passaggio dal sistema reale a quello spettrale equivalente,

secondo un corrispettivo grafico in cui si riportano gli spostamenti spettrali d* sulle ascisse e le

accelerazioni spettrali a*: )

(

α ⋅  

d g m

( ) (4.18)

= 0 k

a d

*  

k

0  

2

e FC s

*

n

∑ ⋅ 2

P u

V , i i [ ]

( ) (4.19)

= ⋅ =

1

k

d * d d m

k k n

⋅ ⋅

u P u

0 V , i i

=

k 1

dove: [m] = spostamento virtuale del punto di controllo (solitamente corrisponde alla sommità

u

• 0

della parete in esame);

u [m] =spostamento virtuale del punto di applicazione della i-esima forza verticale.

• i      

m

d d

* *

) ( )

( (4.20)

⇒ = ⋅ − = ⋅ −

   

a d a a * 1

* 0 1

* *  

0  

2

  

 d d s

*

* 0

0

156

Figura 79 – Curva di capacità del sistema spettrale associato

Una volta identificata la curva di capacità del sistema spettrale, è possibile procedere alla verifica

del meccanismo previa definizione di alcune quantità.

*, è pari al minimo tra il 40 % dello spostamento ultimo

La capacità di spostamento, d u

(corrispondente ad accelerazione spettrale a*= 0), d *, e lo spostamento corrispondente ad

0

eventuali situazioni localmente incompatibili con la stabilità degli elementi della costruzione (ad

esempio sfilamento di travi), d *:

C [ ] [ ] (4.21)

= ⋅

* 0, 4 * ; d *

d min d m

0 C

u oppure se d * = 0

C [ ] (4.22)

= ⋅

d d * m

* 0

, 4

u 0

Lo spostamento spettrale, d *, risulta a sua volta pari al 40 % della capacità di spostamento appena

S

definito: [ ] (4.23)

= ⋅

d d m

* 0, 4 *

S u

L’accelerazione spettrale corrispondente si ricava dall’espressione (4.20):

   

*

d m (4.24)

= ⋅ − S

 

* * 1

a a  

S 0  

2

 

*

d s

0

157

Figura 80 – Identificazione grafica della capacità di spostamento e

del relativo spostamento spettrale

Il periodo dell’oscillatore equivalente è funzione di questi ultimi due parametri:

d * [ ]

π (4.25)

= ⋅ S

T 2 s

S a *

S

In base al valore ottenuto è possibile determinare lo spettro di risposta elastico in spostamento delle

componenti orizzontali, S , necessario alla definizione della domanda di spostamento richiesta dal

De

). Come avviene nell’analisi cinematica lineare, si distinguono gli elementi appoggiati

sisma, Δd(T S

sul terreno rispetto a quelli posti ad una certa quota superiore a quella del suolo stesso. Nel primo

caso: 2

 

T [ ]

( ) (4.26)

= ⋅ S

 

S m

S T π

De e S  

2 [ ]

( ) (4.27)

∆ =

=

d T , z 0 S m

S De

dove: S (T ) [m/s ] = risposta in accelerazione corrispondente al periodo dell’oscillatore

2

• e S

equivalente (spettro di risposta elastico).

Nel secondo caso, invece, si considera lo spettro di risposta in spostamento del moto alla quota della

porzione di edificio interessata dal cinematismo: 2

 

T [ ]

( ) (4.28)

= ⋅ S

 

S m

S T π

De e S  

2

158 2

 

T

 

S

 

T ]

[

( )

( ) ψ δ (4.29)

∆ = ⋅ ⋅ ⋅ 1 m

d T S z

, z

S De 2

 

T T

− + ⋅

 

S S

, 0 2

0

1

 

T T

1 1

La verifica allo Stato Limite di Danno mediante analisi statica non lineare può essere tralasciata; per

quanto concerne quella allo Stato Limite di salvaguardia della Vita, invece, si richiede il confronto

tra la capacità di spostamento, d *, con la domanda di spostamento richiesta dal sisma, Δd(T ):

u S

( ) (4.30)

≥ ∆

d d T

*

u s

Se tale disequazione non dovesse risultare verificata è possibile disporre dei tiranti metallici al fine

di incrementare il moltiplicatore di collasso: in questi casi si ricerca un comportamento duttile da

parte della soluzione in esame, ovvero si assume che la rottura avvenga per plasticizzazione della

barra; pertanto, è possibile che la capacità di spostamento non corrisponda al 40 % dello

spostamento per cui si annulla l’accelerazione spettrale (crisi della muratura), bensì alla massima

(crisi del tirante metallico). “Questa è pari al 10 % della

deformabilità plastica della catena, Δl P

lunghezza della barra, l , tale valore è utilizzato per la deformazione massima dell’acciaio nel calcolo

R

agli Stati Limite di sezioni in calcestruzzo armato” [25]. [ ] (4.31)

∆ = ⋅

l l m

0, 01

P R

n

∑ ⋅ 2

P u

,

V k k [ ]

( ) (4.32)

∆ =∆ ⋅ =

1

k

d * l l m

P P n

⋅ ⋅

u P u

,

k V k k

=

1

k

Come enunciato in precedenza, la curva di capacità reale non presenterà più il precedente

andamento lineare, ma piuttosto quello lineare a tratti:

Figura 82 – Curva di capacità di un sistema reale

Figura 81 – Curva di capacità di un sistema reale consolidato, giunto a rottura per meccanismo

consolidato, giunto a rottura per massima cinematico (senza alcuna rottura del tirante)

plasticizzazione della barra 159

Il procedimento di dimensionamento dei tiranti proposto da M. Vinci [25] pone come obiettivo

quello di contenere l’entità del periodo relativo all’oscillatore associato, quindi della domanda di

spostamento. Per attuare tale risoluzione si procede per via grafica, rappresentando la curva di

capacità della struttura non consolidata e quella ADSR (Attack Decay Sustain Release), la quale è

correlata allo spettro elastico di spostamento.

Figura 83 – Risoluzione grafica mediante l’utilizzo della curva ADSR

Sia la domanda di spostamento pari a d *. “È sufficiente intercettare in corrispondenza di tale ascissa

u

la curva ADSR nel punto C. Il punto di intersezione tra il segmento e la retta verticale passante

OC

* fornisce l’ordinata a *, ovvero l’accelerazione spettrale di attivazione del

per l’ascissa d

s s

meccanismo minima che la curva di capacità deve assumere affinché il sistema dia esito positivo alla

verifica” [25]. Invertendo l’equazione (4.18), ne deriva un moltiplicatore dei carichi:

⋅ ⋅

a e FC

* * [ ]

α (4.33)

= 0 adim.

0, C g

Esplicitando il valore di quest’ultimo secondo l’equazione che lo definisce (vedi paragrafi relativi ai

diversi meccanismi cinematici) risulta, infine, possibile quantificare il valore dell’azione F con

tir,min

cui dimensionare il tirante. 160

4.3. Case study

Di seguito si riporta un caso di studio utile ad esemplificare le procedure appena illustrate con dei

dati numerici significativi. In particolare si analizzano le condizioni di collasso di un edificio risalente

al 1982, ad uso di civile abitazione sito nel Comune di Montesano sulla Marcellana (SA): il fabbricato

in questione si sviluppa in altezza su due livelli ed è organizzato planimetricamente ed

altimetricamente in un corpo compatto e di forma regolare; la struttura muraria è realizzata con dei

blocchi di laterizio di media qualità, mentre gli orizzontamenti sono costituiti da solai in legno a

doppia orditura e copertura lignea non spingente a travi orizzontali.

La zona di riferimento, a livello nazionale, è una delle più critiche dal punto di vista della pericolosità

sismica: dopo esser stata colpita da un violento fenomeno tellurico nel 1980, si sono registrati danni

di grave entità a numerosi fabbricati; pertanto, a scopo preventivo, è intenzione dell’autore

approfondire le condizioni di dissesto di questo immobile, nonché verificarne la capacità resistente

(in riferimento alle normative vigenti).

Dall’analisi del quadro fessurativo si osserva che il comportamento del sistema murario è

caratterizzato da inefficaci vincoli di collegamento tra le murature ortogonali, nonché tra gli

orizzontamenti e le pareti stesse: si può, quindi, evidenziare una tendenza a manifestare fenomeni

di instabilità dovute ad azioni ortogonali al proprio piano; viste le caratteristiche costruttive si

procede con la valutazione di un eventuale meccanismo di ribaltamento semplice (esteso ad

entrambi i livelli del fabbricato) in corrispondenza della facciata ovest.

Figura 84 – Piante strutturali del piano terreno (in alto),

del piano primo (in basso) e sezione strutturale A-A

161

4.3.1. Calcolo del moltiplicatore di collasso

Di seguito viene proposta l’analisi di carichi in funzione delle caratteristiche costruttive e

tecnologiche rilevate in situ:

Pannelli murari:

γ = 18,00 kN/m Peso specifico dei pannelli murari

2

W

L = 6,00 m Lunghezza della parete in esame

s = 0,38 m Spessore della parete in esame (piano terreno)

1

s = 0,38 m Spessore della parete in esame (piano primo)

2

d = 0,25 m Distanza orizzontale dalla cerniera O al punti di applicazione di P

B S,1

d = 0,25 m Distanza orizzontale dalla cerniera O al punti di applicazione di P

E S,2

h = 3,50 m Altezza della parete in esame (piano terreno)

1

h = 3,50 m Altezza della parete in esame (piano primo)

2

W = 163,55 kN Peso proprio della parete (piano terreno)

1,EQ

W = 143,64 kN Peso proprio della parete (piano primo)

2

Soletta in legno:

γ = 4,80 kN/m Peso specifico della soletta su piano terreno

2

S,1

A = 21,00 m Area d’influenza del solaio su piano terreno

2

S,1

P = 100,80 kN Peso trasmesso dal solaio su piano terreno

S,1

Copertura in legno:

γ = 3,50 kN/m Peso specifico del solaio di copertura

2

S,2

A = 21,00 m Area d’influenza del solaio di copertura

2

S,1

P = 73,5 kN Peso trasmesso del solaio di copertura

S,1

Esaminando rapidamente la pianta riportata in Figura 85, si evince come la parete non risulti “piena”

ma dotata di un’apertura in corrispondenza del piano terreno; per tale ragione è stato necessario

considerare un peso proprio equivalente, W , in ragione del carico relativo al serramento in legno

1,EQ

e dell’effettiva superficie muraria. 162

Figura 85 – Schema statico della parete a due piani in esame, soggetta

ad un meccanismo cinematico di ribaltamento semplice

163 = 1°, al fine di quantificare gli

Anche in questo caso si impone una rotazione virtuale unitaria, ϑ z

spostamenti di tutti i punti di applicazione delle forze evidenziate in Figura 85:

)

( ϑ

= − ⋅ =

u u h h

B O z

1 1

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

B O B z B

( ) ϑ

= − + ⋅ =

− −

u u h h h h

E O 1 2 z 1 2

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

E O E z E

( ) h

ϑ

= − ⋅ =

− 1

u u y

G O G z

,1 ,1 2

( ) s

ϑ

= + ⋅ = 1

v v x

G O G z

,1 ,1 2

( ) h

ϑ

= − ⋅ =

− − 2

u u y h

G O G z

,2 ,2 1 2

( ) s

ϑ

= + ⋅ = 2

v v x

G O G z

,2 ,2 2

Applicando l’equazione dei Lavori Virtuali si ha:

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

P d P d W s W s

α =

S B S E

,1 ,2 1 1 2 2 0, 0534

 

0 h h

⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ +

1 2

 

P h P h h W W h

( )

S S

,1 1 ,2 1 2 1 2 1

 

2 2

164

4.3.2. Case study – Analisi cinematica lineare (SLD)

Per l’immobile di riferimento si definiscono le seguenti caratteristiche:

Classe d’uso II;

• Coefficiente d’uso, C = 1,0;

• U

Vita nominale, V = 50 anni;

• N = 50 anni;

Periodo di riferimento, V

• R

Categoria di sottosuolo B;

• Categoria topografica T .

• 1

Inoltre, in riferimento ad una probabilità di eccedenza allo Stato Limite di Danno (P = 63 %):

V,R

= 50 anni.

Periodo di ritorno, T

• R

Con l’ausilio del foglio di calcolo “Azioni Sismiche - Spettri di Risposta ver. 1.03” pubblicato dal

Consiglio Superiore dei Lavori Pubblici è stato possibile definire lo spettro di risposta elastico relativo

allo Stato Limite di Danno:

Figura 86 – Screenshot del foglio di calcolo “Azioni Sismiche - Spettri di Risposta ver. 1.03”

in cui si evidenziano i parametri di progetto allo SLD

165

Figura 87 – Punti caratterizzanti lo spettro di risposta elastico di progetto allo SLD

Una volta definiti i principali parametri di quest’ultimo è possibile procedere con l’analisi cinematica

lineare allo SLD.

L’accelerazione di picco della domanda sismica viene determinata alla quota del terreno e risulta:

( ) m

( )

= = ⋅ ⋅ =

a z 0 S S a P 1, 01

S S T g V R

, 2

s

166

A questo punto si determinano i parametri di massa partecipante e frazione di massa partecipante,

al fine di poter quantificare l’accelerazione spettrale di attivazione del meccanismo:

2

 

+

n m

∑ ⋅

 

P u ⋅

V k k

, 2

  kN s

=

= =

k 1

m

* 39,90

+

n m

∑ m

⋅ ⋅ 2

g P u

V k k

,

=

k 1 ⋅ m

g *

= =

e

* 81,30 %

n

∑ P

V i

,

=

i 1

α ⋅ g m

= =

0

a * 0, 48

0 2

e * FC s

dove: α = 0,0534 (in base alla risoluzione analitica proposta al § 4.3.1);

• 0

g = 9,81 m/s ;

2

• FC = 1,35.

Si consideri ora la (4.8) per la verifica allo Stato Limite di Danno:

m m

= ≥ =

a 1, 01 a * 0, 48

S 0

2 2

s s

La verifica non risulta ottemperata. 167

4.3.3. Case study – Analisi cinematica lineare (SLV)

In maniera del tutto analoga si ripete il procedimento di verifica per lo Stato Limite di salvaguardia

della Vita, facendo attenzione ad introdurre nel modello di calcolo il fattore di struttura, q, ovvero

quel parametro con cui si tiene conto in maniera semplificata della capacità dissipativa post-elastica

della struttura, della sua sovra-resistenza e dell’incremento del suo periodo proprio a seguito della

plasticizzazione.

Essendo P = 10 % la probabilità di superamento associata allo Stato Limite di riferimento:

V,R

Periodo di ritorno, T = 475 anni.

• R

Figura 88 – Screenshot del foglio di calcolo “Azioni Sismiche - Spettri di Risposta ver. 1.03”

in cui si evidenziano i parametri di progetto allo SLV

168

Figura 89 – Punti caratterizzanti lo spettro di risposta elastico di progetto allo SLV

L’accelerazione di picco della domanda sismica, in funzione di un fattore di struttura pari a q = 3,

risulta: ( )

⋅ ⋅

S S a P m

( )

= = =

,

S T g V R

0 1, 08

a z

S 2

q s

169

Si riporta la definizione di accelerazione spettrale di attivazione del meccanismo cinematico:

2

 

+

n m

∑ ⋅

 

P u ⋅

V k k

, 2

  kN s

=

= =

k 1

m

* 39,90

+

n m

∑ m

⋅ ⋅ 2

g P u

V k k

,

=

k 1 ⋅

g *

m

= =

* 81,30 %

e n

∑ P ,

V i

=

1

i α ⋅ g m

= =

0

a * 0, 48

0 2

e FC s

*

I risultati conseguiti mostrano chiaramente come anche allo Stato Limite di salvaguardia della Vita

, sia superiore all’accelerazione spettrale che attiva

l’accelerazione di picco della domanda sismica, a

S

il meccanismo cinematico, a * (ovvero la verifica non è soddisfatta):

0 m m

= ≥ =

a a

1, 08 * 0, 48

0

S 2 2

s s

Visti i risultati negativi allo SLD e allo SLV, è necessario progettare un intervento di consolidamento

strutturale adeguato: si prevede un tirante metallico per ogni piano, dimensionato a partire

dall’accelerazione di picco più gravosa, ovvero quella messa in evidenza allo SLV.

Sia α il moltiplicatore di collasso minimo affinché l’analisi cinematica lineare risulti verificata:

0,C ⋅ ⋅

a e FC

*

α ≥ =

S 0,1208

C

0, g

A questo punto non rimane che invertire l’espressione che definisce il moltiplicatore stesso, vedi

(4.34), facendo attenzione a considerare anche le azioni trasmesse dai tiranti ai piani:

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

P d F h P d F h W s W s

α (4.34)

= S ,1 B tir .1 C S ,2 E tir .2 F 1 1 2 2

 

0, C h h

⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ +

1 2

 

( )

P h P h h W W h

S ,1 1 S ,2 1 2 1 2 1

 

2 2

( )

( ) ( )

α α

⋅ + ⋅ ≥ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + +

F h F h P h P d P h h

tir C tir F C S S B C S

.1 .2 0, ,1 1 ,1 0, ,2 1 2 (4.35)

)

( ) (

α α

− ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅

P d W y W x W y W x

S E C G G C G G

,2 0, 1 ,1 1 ,1 0, 2 ,2 2 ,2

Le variabili di progetto quindi sono quattro: le azioni di trazione da indurre nelle catene e le

rispettive posizioni. Al fine di evitare ogni possibile problema di punzonamento locale in

corrispondenza degli ancoraggi, si intende installare le chiavarde di fissaggio ad un’altezza di

h = 3,00 m per il piano terreno, h = 6,50 m per il piano primo; inoltre, si ritiene opportuno imporre

C F

che F = F = F .

tir,1 tir,2 tir. 170

Figura 90 – Schema statico della parete a due piani di riferimento,

in presenza dei tiranti metallici ai piani

171

Ne consegue: ( ) ( ) ( )

α α

⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅

P h P d P h h P d

≥ +

0, C S ,1 1 S ,1 B 0, C S ,2 1 2 S ,2 E

F +

tir ,min h h

C F (4.36)

( ) ( )

α α

⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅

W y W x W y W x

+ 0, C 1 G ,1 1 G ,1 0, C 2 G ,2 2 G ,2

+

h h

C F

≥ ⇒ =

F kN F kN

13,53 14, 00

tir tir

,min .

Iterando il procedimento di analisi allo SLV si può facilmente pronosticare un esito positivo:

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

P d F h P d F h W s W s

α =

S ,1 B tir . C S ,2 E tir . F 1 1 2 2

' 0,1232

 

0 h h

( )

⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ +

1 2

 

P h P h h W W h

S ,1 1 S ,2 1 2 1 2 1

 

2 2

α ⋅

' g m

= =

0

* 1,10

a ⋅

0 2

*

e FC s

m m

= ≤ =

a a

1, 08 * 1,10

S 0

2 2

s s

Si noti come tale risultato confermerebbe anche la verifica allo SLD, essendo:

m m

( )

= ≤ =

a SLD a

1, 01 * 1,10

S 0

2 2

s s

172

4.3.4. Case study – Analisi statica non lineare

Nell’analisi statica lineare è necessario determinare la curva di capacità del sistema reale; essendo

lo schema statico caratterizzato dalla presenza di sole forze costanti, per la costruzione di tale

diagramma sono richiesti due soli punti: si consideri, ad esempio, uno relativo alla configurazione

indeformata (rotazione del sistema, ϑ = 0°) ed uno in condizioni di crisi incipienti (ϑ = ϑ , tale per

z z u

cui il moltiplicatore risulta nullo). ( )

α ° =

0 0, 0534

0

Mediante l’ausilio di un semplice foglio di calcolo è possibile determinare l’entità di ϑ a cui poter

u

, del punto di controllo prescelto:

associare il valore di spostamento ultimo, d k,0

( ) ( )

ϑ ϑ

   

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =

P R P R W R W R sin P R P R W R W R cos

   

S ,1 B S ,2 E 1 G ,1 2 G ,2 u S ,1 B S ,2 E 1 G ,1 2 G ,2 u

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ϕ ϕ ϕ ϕ

= ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅ ⋅ −

   

P R P R cos sin W R W R cos sin

   

S ,1 B S ,2 E k k 1 G ,1 2 G ,2 i i

ϑ

⇒ = °

3, 0939

u ( )

ϑ

⇒ =

⋅ =

sin 0,38

d h m

k u

,0 0

dove: = h + h = 7,00 m.

h

• 0 1 2 = + =

2 2

R h d 3,51 m

B B

1  

h

ϕ

= = °

 

1

arc.tan 85,9144

B  

d B

( )

= + + =

2 2

R h h d 7, 01 m

E 1 2 E

 

+

h h

ϕ

= = °

 

1 2

arc.tan 87,9546

E  

d E

2 2

   

h s

= + =

1 1

    1, 76

R m

G ,1    

2 2

 

h

ϕ

= = °

 

1 83,8036

arc.tan

G ,1  

s

1 173

2 2

   

h s

= + + =

2 2

   

R h m

5, 25

G ,2 1

   

2 2

 

h

+ 2

h

 

1

ϕ 2

= = °

 

arc.tan 87,9273

G ,2 s

 

2

 

L’unione dei due punti trovati permette di tracciare la seguente funzione:

 

d [ ]

)

) (

(

α α

= ° ⋅ −

 

k

d adim.

0 1

k

0 0  

d

 

k ,0

Figura 91 – Curva di capacità del sistema strutturale di progetto

A questo punto si costruisce la curva rappresentante la capacità spettrale del sistema equivalente,

la cui espressione analitica ha la seguente forma:

     

d d m

* *

( ) ( )

= = ⋅ − = ⋅ −

   

a d a d a

* * * * 0 1 * 1  

0  

2

  

 d d s

* *

0 0

174

Figura 92 – Curva di capacità del sistema spettrale associato di progetto

dove: n

∑ ⋅ 2

P u

V i i

,

( )

= = ⋅ =

k 1

* *

d d d d

k k

0 ,0 ,0 n

⋅ ⋅

u P u

V i i

0 ,

=

k 1 2 2

   

h h

⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ +

2 2 1 2

   

( )

P h P h h W W h

S ,1 1 S ,2 1 2 1 2 1

   

2 2

=

⋅ =

d * d 0, 27 m

 

0 k ,0  

h h

( )

+ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ +

1 2

 

h h P h P ( h h ) W W h

 

1 2 ,1 1 ,2 1 2 1 2 1

S S  

 

2 2

( )

α ° ⋅

0 g m

( )

= = = =

0

a * a * d * 0 0, 48

0 2

e * FC s

Una volta definita la curva, è possibile calcolare le grandezze necessarie alla risoluzione del

problema: = ⋅ =

d * 0, 4 d * 0,11 m

u 0

= ⋅ =

d * 0, 4 d * 0, 043 m

S u

 

d * m

= ⋅ − =

S

 

* * 1 0, 41

a a

S 0 2

 

*

d s

0

175

Figura 93 – Identificazione grafica della capacità di spostamento

e del relativo spostamento spettrale

Il periodo dell’oscillatore equivalente si determina attraverso la (4.25):

d *

π

= ⋅ =

S

T s

2 2, 03

S a *

S

Questo valore è determinante per la definizione dello spettro di risposta elastico in spostamento

, relativo ad un elemento appoggiato sul terreno (z = 0), e della

delle componenti orizzontali, S De

corrispettiva domanda di spostamento richiesta dal sisma, Δd(T ):

S

2

 

T

)

(

= ⋅ =

S

 

S S T m

0, 27

π

De e S  

2

( )

∆ =

==

d T z S m

, 0 0, 27

S De

Come già evidenziato nel paragrafo 4.2, l’analisi statica non lineare allo Stato Limite di Danno può

essere tralasciata; per quanto concerne quella allo Stato Limite di salvaguardia della Vita, invece, si

esegue la verifica secondo (4.30): ( )

= ≤ ∆ =

d m d T m

* 0,11 0, 27

u S

Poiché la capacità di spostamento, d *, è inferiore alla domanda di spostamento richiesta dal sisma,

u

Δd(T ), si è ritenuto opportuno installare un tirante metallico in corrispondenza di ogni livello della

S

parete. Anche in questo caso, quindi, è necessario valutare l’apporto resistente legato alla presenza

di tali elementi di ritegno; in base a quanto descritto al punto 4.2, si definisce lo spostamento

spettrale minimo, d *, affinché l’analisi statica non lineare dia un esito positivo:

u,C )

( = ⋅ =

=

∆ = d d m

0, 4 * 0,11

d * d T 0, 27 m S C u C

, ,

u , C S 176

Figura 94 – Identificazione grafica della capacità di spostamento

e del relativo spostamento spettrale

In base al procedimento grafico descritto al paragrafo 4.2 si determina il valore di accelerazione

spettrale: m

=

* 1, 28

a ,

S C 2

s

Sia α il moltiplicatore di collasso associato ad a *:

0,C S,C

⋅ ⋅

a * e * FC

α ≥ =

S , C 0,1432

0, C g

In maniera del tutto analoga a quanto visto in corrispondenza nella verifica precedente, non rimane

che invertire l’espressione che definisce il moltiplicatore stesso; facendo riferimento alle equazioni

(4.34) e (4.35) ed alle medesime scelte progettuali descritte in precedenza ne consegue:

≥ ⇒ =

F 18, 02 kN F 18,50 kN

tir ,min tir .

177

Ripetendo le diverse fasi dell’analisi allo SLV si può facilmente pronosticare un esito positivo:

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

P d F h P d F h W s W s

α =

S ,1 B tir . C S ,2 E tir . F 1 1 2 2

' 0,1458

 

0 h h

( )

⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ +

1 2

 

P h P h h W W h

S ,1 1 S ,2 1 2 1 2 1

 

2 2

Introducendo nuove variabili nello schema statico è necessario ripetere il calcolo dell’angolo ϑ a

u

cui poter associare il valore di spostamento ultimo, d , del punto di controllo prescelto:

k,0

( ) ( )

ϑ

 

⋅ + ⋅ − ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ +

P R P R F R R W R W R sin

 

S ,1 B S ,2 E tir . C F 1 G ,1 2 G ,2 u

( ) ( ) ( )

ϑ ϕ ϕ

 

− ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − +

 

P R P R W R W R cos P R cos sin

 

 

S ,1 B S ,2 E 1 G ,1 2 G ,2 u S ,1 B B B

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )    

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ +

+ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ −

 

P R cos sin W R cos sin W R cos sin

  

  

S ,2 E E E 1 G ,1 G ,1 G ,1 2 G ,2 G ,2 G ,2

( ) ( )

ϕ ϕ

+ ⋅ ⋅ + ⋅

 

F R cos R cos

 

tir . C C F F ϑ

⇒ = °

8,5944

u ( )

ϑ

⇒ =

⋅ =

d h sin m

1, 05

k u

,0 0

dove: = h + h = 7,00 m.

h

• 0 1 2 = + =

2 2

R h d 3,51 m

B B

1  

h

ϕ

= = °

 

1

arc.tan 85,9144

B  

d B

= + =

2 2

R h d m

3, 02

C C C

 

h

ϕ

= = °

 

C

arc.tan 82, 7810

C  

d C

( )

= + + =

2 2 7, 01

R h h d m

1 2

E E

 

+

h h

ϕ

= = °

 

1 2 86, 6542

arc.tan

E  

d E

= + =

2 2

R h d m

6,51

F F F

 

h

ϕ

= = °

 

F

arc.tan 82, 7810

F  

d F 178

2 2

   

h s

= + =

1 1

    1, 76

R m

,1

G    

2 2

 

h

ϕ

= = °

 

1 83,8036

arc.tan

G ,1  

s

1 2 2

   

h s

= + + =

2 2

   

R h m

5, 25

G ,1 1

   

2 2

 

h

+ 2

h

 

1

ϕ 2

= = °

 

arc.tan 87,9273

G ,1 s

 

2

 

Di nuovo, si costruisce curva di capacità del sistema spettrale associata al valore di moltiplicatore

la

di collasso appena definito, α ’:

0 n

∑ ⋅ 2

P u

V i i

,

( )

= = ⋅ =

k 1

d d d d

* * k k

0 ,0 ,0 n

⋅ ⋅

u P u

k V i i

,

=

k 1 2 2

   

h h

( )

⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ +

2

2 1 2

   

P h P h h W W h

S S

,1 1 ,2 1 2 1 2 1

   

2 2

=

⋅ =

d * d 0, 73 m

 

k

0 ,0  

h h

)

( ) (

+ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ +

1 2

 

h h P h P h h W W h

 

1 2 S ,1 1 S ,2 1 2 1 2 1

 

 

2 2

( )

α ° ⋅

0 g m

( )

= = = =

0

a * a * d * 0 1,30

0 2

*

e FC s

Ne consegue: = ⋅ =

d * 0, 4 d * 0, 29 m

u 0

= ⋅ =

d * 0, 4 d * 0,12 m

S u

 

*

d m

= ⋅ − =

S

 

* * 1 1, 09

a a

0

S 2

 

*

d s

0

Il periodo dell’oscillatore equivalente è funzione delle grandezze appena definite:

d *

π

= ⋅ =

S

T 2 2, 06 s

S a *

S

179

Quindi: 2

 

T

( )

= ⋅ =

S

  0, 26

S S T m

π

De e S  

2

( )

∆ =

==

d T , z 0 S 0, 26 m

S De

Pertanto, si dimostra come in seguito ad un intervento di consolidamento strutturale di questo tipo

sia stato possibile incrementare la capacità della parete nei confronti delle azioni sismiche di

progetto: ( )

= ≤ ∆ =

d m d T m

* 0, 29 0, 26

u S

180

4.4. Confronto e considerazioni sulle procedure di verifica

Come evidenziato dal caso di studio proposto, le due modalità di analisi descritte finora forniscono

dei risultati che si discostano in maniera evidente fra loro (in particolare per quanto concerne i valori

minimi di trazione da trasmettere al tirante metallico, F ); di seguito si riportano alcune

tir,min

considerazioni in merito, al fine di interpretare al meglio quanto conseguito dal punto di vista

analitico.

L’analisi cinematica lineare, rispetto a quella statica non lineare, è un procedimento di verifica

maggiormente semplificato: per la determinazione dell’accelerazione spettrale di attivazione del

meccanismo (a *), infatti, si fa uso dell’oscillatore equivalente (cosa che non avviene per valutare

0

l’accelerazione di picco della domanda sismica, a , in cui la struttura di riferimento è quella reale).

s

Inoltre, lo spettro di risposta preso in esame è di tipo elastico, opportunamente scalato attraverso

il fattore di struttura, q: in pratica, si assume che l’edificio risponda al sisma rimanendo in campo

elastico lineare, ma si permette di ridurre l’accelerazione tenendo conto in maniera semplificata

della capacità dissipativa post-elastica della struttura.

Nel secondo procedimento, invece, si associa il comportamento non lineare del materiale

all’oscillatore equivalente, lasciando che siano queste caratteristiche a scalare implicitamente lo

spettro di risposta elastico. Questo passaggio garantisce una valutazione più precisa ed accurata

delle capacità dissipative, in quanto non si utilizza un coefficiente poco rappresentativo delle

caratteristiche intrinseche dell’edificio ma un diagramma bilineare appositamente costruito in base

alle proprietà meccaniche degli elementi strutturali. Questo è un aspetto particolarmente

vantaggioso, specie per i sistemi in muratura, i quali sono caratterizzati da un comportamento non

lineare molto marcato sin da bassi stati di sforzo. Tuttavia, il procedimento di verifica dei meccanismi

locali che la Circolare Applicativa delle NTC 2008 [7] propone sotto il nome di “statica non lineare”

non permette di sfruttare la capacità dissipativa associata al diagramma inelastico del materiale, in

quanto alla base del procedimento vi sono equazioni di equilibrio e non di resistenza: di fatto la

struttura viene considerata come non dissipativa (che giustifica l’alto valore dell’azione stabilizzante

dei tiranti).

Concludendo, si ritiene più opportuno adottare un’analisi di tipo cinematica lineare, poiché

l’alternativa appare una verifica ingiustificatamente severa.

181

5. Studio della geometria di fessurazione

Per cercare di comprendere a fondo i fenomeni di dissesto dovuti ad azioni di taglio, si intende

approfondire in maniera particolare lo studio della geometria di fessurazione: l’osservazione di

svariati casi di studio, in questo ambito, ha sicuramente contribuito a classificare le configurazioni

di danno più ricorrenti, nonché a sviluppare dei modelli analitici sperimentali con cui poter valutare

dettagliatamente un eventuale quadro fessurativo di un edificio in muratura.

Generalmente le lesioni mostrano un andamento inclinato, con una concentrazione evidente in

corrispondenza degli spigoli delle aperture murarie; una possibile giustificazione scientifica di tale

fenomeno è deducibile da una semplice analisi vettoriale: la combinazione della forza peso e

dell’azione di taglio genera una risultante inclinata di un angolo pari all’arco tangente del

moltiplicatore di collasso, α . In realtà non è dato conoscere a priori con certezza l’ampiezza

0

angolare della fessurazione, a meno di un’analisi approfondita del tipo di muratura: come descritto

in precedenza nelle trattazioni in merito ai diversi meccanismi cinematici, sappiamo della relazione

diretta (seppur indefinita dal punto di vista analitico) che intercorre tra l’angolo in esame e la qualità

costruttiva della parete, perciò il profilo dello strappo è da associare alle connotazioni della

muratura e non all’intensità delle azioni di progetto.

5.1. Modello ad archi virtuali

Per interpretare i processi di formazione delle catene cinematiche si valuta l’andamento qualitativo

dei flussi di compressione all’interno di una parete di controvento soggetta ad una sollecitazione di

taglio nel proprio piano medio: la presenza di aperture condiziona in maniera evidente il quadro

fessurativo risultante, in particolare a causa dell’insorgere di una serie di archi di scarico. L’innesco

delle lesioni, quindi, riflette il sistema di diffusione degli sforzi: se la parete in esame è soggetta ad

un’azione di compressione la fessura risulterà praticamente verticale, in asse con le aperture;

l’introduzione di una sollecitazione di taglio, invece, tende a far traslare le chiavi degli archi

resistenti, generando delle fessure inclinate in corrispondenza degli appoggi degli architravi (come

si evince dalla Figura 95).

Figura 95 – Andamento dei flussi di tensione in pareti soggette ad un’azione di compressione

semplice (sinistra) e ad una combinazione di sollecitazioni di compressione e taglio (destra) [16]

182

A questo punto, come proposto dal Cangi, si schematizza il controvento murario attraverso

un’ideale successione di archi, congruente con le rispettive caratteristiche geometriche:

“La configurazione degli archi virtuali non risponde in alcun modo alla struttura fisica della muratura,

costituita in realtà dalla sovrapposizione di filari orizzontali, pertanto lontana dalla geometria

ipotizzata. Nonostante l’apparente incongruenza, il modello si rivela particolarmente efficace nel

simulare la risposta alle azioni di taglio complanari; questo perché la formazione di macroelementi

e di cinematismi indotti dalle spinte orizzontali sono caratterizzati da un’evoluzione riconducibile alla

meccanica degli archi” [16].

Ne consegue che tale schematizzazione non ha alcuna relazione diretta con le caratteristiche

intrinseche del paramento murario (in particolare la tessitura), ma ne favorisce l’analisi del

comportamento meccanico.

Figura 96 – Rappresentazione della parete secondo il modello ad archi virtuali [16]

Si noti come la successione di archi termini alle estremità della parete di controvento con due

semiarchi: è chiaro come in corrispondenza di questi punti la risposta della struttura nei confronti

di un’azione di taglio sia del tutto differente rispetto ad un arco “interno”, in quanto si registra la

mancanza di una forza equilibrante in chiave; ne deriva un minor effetto di ritegno nei confronti del

maschio murario ad essa ortogonale ed una possibile instabilità (es. ribaltamento del maschio

murario).

L’utilizzo del modello ad archi virtuali può essere impiegato per apprezzare il cinematismo di crisi

della testata (ribaltamento composto). Il semiarco raffigurato all’estremità della parete viene

suddiviso in tre settori mediante due linee critiche: una inclinata di un’ampiezza pari all’angolo di

fessurazione (rispetto alla verticale), β, e l’altra di 45°: nel primo settore prevale la rotazione intorno

alla base, mentre il secondo subisce un cinematismo di scorrimento lungo il piano inclinato definito

dalla linea critica a 45°; l’ultima sezione di parete di controvento rimane esclusa da ogni possibile

fenomeno di dissesto. 183

Logicamente la lesione non segue mai un profilo rettilineo così netto (come indicato mediante le

linee critiche), ma in funzione della tessitura della parete presenta un andamento a gradini. La

ragione è la seguente: il meccanismo di dissesto, in prima istanza, danneggia la parte più debole del

sistema murario, ovvero i giunti di malta, nell’ipotesi che i blocchi siano più resistenti della malta.

Se invece la malta è di ottima qualità ed i blocchi hanno una resistenza limitata (ad esempio muri di

tufo/travertino e malta cementizia) è lecito pronosticare delle lesioni più nette e regolari

attraversano i blocchi stessi.

Figura 97 – Rottura delle testate del muro di controvento soggetto

ad un meccanismo di ribaltamento composto

Figura 98 – Andamento poligonale delle lesioni in direzione delle linee critiche [16]

184

La successione di archi che definisce la struttura ideale della parete permette altresì di individuare

il meccanismo resistente che si instaura in seguito ad un eventuale cedimento del terreno in

posizione centrale o d’estremità: in linea di principio, le lesioni che si vengono a formare seguono il

profilo di un arco che delimita la porzione muraria interessata dal fenomeno di distacco (effetto

arco). Figura 99 – Effetto arco dovuto a cedimenti fondali in posizione

centrale (sopra) e in posizione d’estremità (sotto) [16]

185

5.2. Determinazione dell’angolo di fessurazione

Le qualità della parete risultano di fondamentale importanza per valutare il quadro fessurativo

esistente e per prevedere un’evoluzione realistica dei meccanismi di danno; in particolare, la

tessitura è una peculiarità strettamente correlata all’angolo di fessurazione, β.

Si osserva come un muro di soli ortostati, in cui i blocchi sono disposti in senso longitudinale,

garantisce un’ampiezza angolare di fessurazione massima: questo equivale a definire un ottimo

contrasto nei confronti delle azioni di taglio complanari ed al contempo una pessima risposta in

relazione a delle sollecitazioni fuori piano; opposta considerazione per pareti di soli diatoni. Una

disposizione alternata è sicuramente la soluzione più equilibrata, poiché si assicura un buon

collegamento sia in senso trasversale che longitudinale. Nei paramenti in muratura di pietrame o

mista, invece, l’angolo di fessurazione dipende dalle dimensioni e dalla forma dei suoi costituenti,

dal tipo di tessitura adottato e dall’effetto di ingranamento longitudinale che ne consegue; la

resistenza meccanica delle pietre e del materiale legante, quindi, non influenza in alcun modo

l’entità di tale parametro. In generale, si può notare come in presenza di blocchi di piccola pezzatura

la parete risulti più vulnerabile alle azioni complanari, pertanto l’ampiezza angolare tende a ridursi.

Figura 100 – Angolo di fessurazione al variare del senso di disposizione dei blocchi

186

Figura 101 – Angolo di fessurazione di una parete in pietrame sbozzato

Figura 102 – Angolo di fessurazione di una parete in muratura mista (pietrame e laterizio)

187

5.2.1. Azioni complanari alle pareti in assenza di aperture

In aggiunta alle considerazioni puramente descrittive proposte finora, si intende introdurre un

approccio analitico sperimentale al problema al fine di poter determinare con esattezza il valore

dell’angolo di fessurazione, β. Anche in questa sede il modello geometrico è caratterizzato da una

linea di strappo perfettamente rettilinea, semplificazione necessaria ai fini di calcolo.

Rispetto ai casi di studio presentati nei paragrafi precedenti, nello schema statico proposto di

seguito (vedi Figura 103) è possibile mettere in evidenza anche un fattore relativo alla coesione

(espresso dalla resistenza caratteristica a taglio in assenza di compressione, f [MPa] ).

w,Vk,0

Figura 103 – Schema statico di una parete di controvento monolitica, soggetta

ad un meccanismo cinematico di ribaltamento composto

In riferimento a quanto riportato in Figura 103, si definiscono i seguenti parametri:

W [N] = peso proprio del maschio murario in esame:

• ( )

β

 

2

h ta n γ

= ⋅ ⋅

 

W s

2

 

188

F [N] = forza di attrito:

• a ( )

β

 

2

h tan γ

= ⋅ ⋅ ⋅

 

F s f

a 2

 

F [N] = resistenza di coesione:

• c ( )

β

⋅ ⋅ ⋅

=  

F h tan s f

  , k ,0

C w V

Il modello riportato mette in evidenza un vincolo esterno alla traslazione alla base (punto O), attorno

al quale si verificherà una rotazione rigida di tutto il pannello murario. Pertanto, applicando le

condizioni di vincolo si ha: =

u 0

O =

v 0

O

Assegnando una rotazione virtuale unitaria ϑ = 1°, si procede alla valutazione degli spostamenti di

z

tutti i punti di applicazione delle forze in gioco: h

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h

A O A z 3

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

A O A z A

h

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u h

B O B z 2

( ) ϑ

= + ⋅ =

v v d d

B O B z B

2

( ) ϑ

= − ⋅ =

u u x h

G O G z 3

1

( (

) )

ϑ β

= + ⋅ = ⋅

v v y h tan

G O G z 3

Applicando l’equazione dei Lavori Virtuali si ha:

( )

α (5.1)

⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ =

F u F u W u W v 0

0

a A C B G G

 

2 1

h h ( ) ( )

α β (5.2)

− ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

0

F F W h W h tan

 

0

a C  

3 2 3 3

189

    

 h h 1 ( )

β

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅

   

F F W h tan

 

C

a      

3 2 3

α =  

0 2

⋅ 

W h

 

3

)

( β

 

3

h tan 1 ( )

( )

γ β β

 

+ + ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

  2

  an

t

s f h tan s f

   w Vk

, ,0

2

6

 

α = )

( β

 

0 3 n

h ta γ

⋅ 

 s

3 

 ⋅

 

f

3

1 )

(

α β (5.3)

= + + w Vk

, ,0

 

f tan γ

0 

 h

2

Allo stesso modo è possibile determinare il moltiplicatore di collasso per scorrimento, α [adim.];

0,S

al posto di utilizzare il Principio dei Lavori Virtuali (o imporre l’equilibrio alla rotazione intorno al

polo O) in questo frangente si rende necessario sviluppare l’equazione di equilibrio alla traslazione:

[ ]

α (5.4)

+ = ⋅

F F W N

a C 0

( )

β

 

2

h tan ( )

γ β

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

 

 

s f h t an s f

  w ,

Vk ,0

+ 2

 

F F

α = =

a C )

( β

 

0, S 2

W h tan γ

⋅ ⋅

 

s

2

  (5.5)

2 f

α = + w ,

Vk , 0

f γ

0, S h

Si noti come la rottura per scorrimento possa verificarsi lungo un profilo qualsiasi: infatti, il

moltiplicatore di collasso per scorrimento, α , risulta indipendente dall’angolo di fessurazione, β.

0,S 190

Pertanto, esiste un’ampiezza angolare del cuneo di distacco al di sotto della quale il meccanismo di

dissesto è di tipo rotazionale (ribaltamento); al contrario, per angoli superiori a questa stessa la crisi

avviene per traslazione/scorrimento. Detto questo, uguagliando le espressioni dei due moltiplicatori

di collasso si determina l’entità di tale angolo “limite”, anche detto angolo di fessurazione, β:

α α

= S

0 0 , ⋅ ⋅

 

f f

3 2

1 ( )

β (5.6)

+ +

⋅ =

+

w Vk w Vk

, ,0 , ,0

 

f tan f

γ γ

⋅ ⋅

 

h h

2  

f [ ]

β + w Vk

, , 0

 

ar c.tan f de

g

= γ

 

h

Per adattare il modello teorico esaminato ad una configurazione strutturale più realistica si

può tener conto dell’ingranamento della muratura in testa, per cui la configurazione del

cuneo di distacco risulta modificata secondo quanto rappresentato Figura 104.

Figura 104 – Schema statico di una parete di controvento monolitica, soggetta ad un meccanismo

cinematico di ribaltamento composto (in cui il polo di rotazione risulta

arretrato rispetto al filo esterno del paramento murario)

191

La presenza di blocchi squadrati sulla testata della parete, infatti, impone l’innesco della lesione in

posizione arretrata rispetto al filo esterno, rendendo più difficoltosa l’evoluzione del cinematismo;

le spinte di

in aggiunta si potrebbero introdurre nel modello i carichi relativi ai solai di piano,

archi e volte, le azioni concentrate di eventuali tiranti. Nonostante il problema possa

apparire più articolato (la maggior complessità è da associare essenzialmente all’elevato numero

di parametri in gioco), concettualmente si applica il medesimo criterio di analisi.

Si sottolinea come negli edifici con più piani fuori terra, le possibili configurazioni di collasso

risultano moltiplicate, il che comporta un maggior grado di incertezza. Solo nelle strutture già

danneggiate, in cui è possibile evidenziare un chiaro quadro fessurativo, si riconoscono le

componenti dei cinematismi attivati i quali tendono a riproporsi sotto l’effetto delle stesse azioni.

192

5.2.2. Azioni complanari alle pareti in presenza di aperture

La risposta dei pannelli murari alle azioni sismiche complanari subisce variazioni significative in

presenza di aperture che determinano una naturale deviazione delle isostatiche di compressione.

Gli archi di scarico, formatisi spontaneamente per assecondare tale alterazione, trovano maggiori

ostacoli quando i flussi di tensione devono seguire percorsi diagonali (imposti dalle componenti

sismiche orizzontali, vedi Figura 95 illustrata nel § 5.2.2); ne consegue uno spostamento della

lesione di distacco ed un coinvolgimento di una porzione di parete più ampia.

La configurazione del meccanismo cinematico è da mettere in stretta correlazione con l’andamento

della linea critica e con il profilo geometrico delle aperture, per cui la perdita di equilibrio del cuneo

di distacco innesca fenomeni secondari che causano l’instabilità delle porzioni murarie poste

immediatamente a ridosso.

Al fine di interpretare in maniera critica il comportamento dei setti provvisti di aperture, è possibile

impiegare il suddetto modello ad archi virtuali: “si tratta di ricercare la successione di archi che

individua un potenziale meccanismo resistente, compatibile con la geometria del muro e con la

posizione dei vani” [16].

Se il vano è collocato in posizione centrale, la struttura ad archi virtuali viene alterata, ma in ogni

caso la parete permane in sicurezza.

Figura 105 – Geometria del sistema ad archi virtuali in presenza di

un’apertura posta al centro della parete

Ben diversa è la situazione che si verifica nel caso in cui il vano sia posizionato a ridosso della testata;

per valutare il comportamento della struttura, è necessario introdurre un semplice procedimento

grafico (vedi Figura 106, Figura 107, Figura 108): la costruzione del sistema di archi resistenti ha

inizio tracciando il semiarco 1, centrato in corrispondenza del filo esterno della parete, punto O, di

raggio pari al segmento . L’arco 2 risulta speculare al primo rispetto all’asse dell’apertura: se

OA 193

questo dovesse risultare continuo fino alla base della parete, significa che l’apertura è posizionata

in maniera corretta e non produce alterazioni del meccanismo resistente (come si evince dalla

Figura 106).

Lo spessore dei due archi virtuali, mediante il quale è possibile tracciare i semicerchi 3 e 4, coincide

e rappresenta un indicatore del livello di sicurezza nei confronti di eventuali

con il segmento OB

fenomeni d’instabilità: quanto più contenuta è l’estensione di tanto più è ridotta la capacità di

OB

resistere alla spinta da parte della testata del setto; pertanto, la configurazione limite è

(archi 2 e 4

rappresentata dal completo annullamento dello spessore teorico, ovvero =

OB 0

coincidenti).

Figura 106 – Geometria del sistema ad archi virtuali in presenza di un’apertura muraria in prossimità

del cantonale in configurazione stabile

Figura 107 – Geometria del sistema ad archi virtuali in presenza di un’apertura muraria in prossimità

del cantonale in configurazione limite

194

Un eventuale ulteriore spostamento o allargamento del vano murario verso l’estremità della parete

comporterebbe la traslazione dell’arco oltre la base d’appoggio, determinando una condizione di

instabilità:

“L’arco interrotto può trovare l’equilibrio solo appoggiandosi sul semiarco di estremità, già di per sé

caratterizzato da un equilibrio precario, pertanto non ci si può aspettare un buon comportamento

della struttura” [16].

Figura 108 – Geometria del sistema ad archi virtuali in presenza di un’apertura muraria in prossimità

del cantonale in configurazione instabile

In tal senso, è possibile sottolineare come la geometria dell’apertura muraria incida fortemente sulla

risultante: in particolare, vani larghi o molto alti devono essere posti

risposta strutturale

ad un’opportuna distanza dall'angolata.

Per quanto concerne l’analisi di pareti più complesse, caratterizzate da una successione più o meno

irregolare di aperture, è possibile estendere questo semplice ragionamento.

Figura 109 – Geometria del sistema ad archi virtuali in presenza

di una generica successione di aperture murarie

195

Come rappresentato in Figura 109, nel tratto centrale non viene identificata una serie di archi

resistenti compatibili con l’assetto distributivo delle aperture (a meno di situazioni particolari), ma

solamente nella zona d’estremità in cui le azioni sismiche complanari possono scaricarsi contro le

testate. Si noti come il semiarco raffigurato sul lato destro dell’immagine sia sovrapposto

all’apertura più esterna (che comunque risulterebbe oltrepassare la base d’appoggio nel caso fosse

tangente allo spigolo superiore di quest’ultima): date le dimensioni del vano in esame, quindi, si

evidenzia una possibile configurazione d’instabilità.

196

6. Valutazione dell’area di influenza di una catena

Con gli studi eseguiti dall’ing. Rocco [1] sulle pareti in muratura, si è definito un metodo di verifica

a punzonamento in corrispondenza di ciascun capochiave. La questione rimasta in sospeso riguarda

l’efficacia di ciascuna catena installata sui maschi murari: a quale distanza il confinamento esercitato

dai tiranti risulta praticamente nullo ai fini del consolidamento strutturale? L’obiettivo, quindi, è

quello di poter identificare un passo minimo delle catene affinché sia possibile sopperire agli effetti

di attenuazione, dunque ottimizzare le prestazioni strutturali in opera.

Figura 110 – Errata distribuzione delle catene con conseguente meccanismo di dissesto

interessante la zona non confinata

197

Quanto illustrato in Figura 110 testimonia come un’impropria progettazione di un simile intervento

di consolidamento potrebbe portare ad avere delle porzioni di parete scarsamente confinate, cioè

potenzialmente più deboli.

Figura 111 – Distribuzione omogenea delle catene a cui si associa un livello di

confinamento ottimale lungo l’intera lunghezza della parete

Invece, se questi presidi strutturali fossero installati ad un passo adeguato l’intero ammasso murario

risulterebbe adeguatamente consolidato, il che scongiurerebbe possibili dissesti fuori piano.

Per cercare di interpretare al meglio tali fenomeni si intende approfondire lo studio riguardante il

meccanismo di sfondamento; così come per la parete del timpano (vedi § 2.2.6.5), infatti, il rischio

è quello di subìre una spinta d’intensità elevata che comporterebbe l’instaurarsi di una condizione

di instabilità. 198

Figura 112 – Meccanismo di sfondamento secondo il Beolchini

(scorrimento diagonale dei cunei di dissesto)

Per quanto concerne il meccanismo di dissesto messo in luce dal Beolchini [21], appare doveroso

fare una precisazione: a meno di una rottura fragile dei blocchi (es. tufo/travertino), un eventuale

cinematismo di scorrimento relativo deve necessariamente svilupparsi secondo uno schema

fessurativo poligonale (che identifica le lesioni in corrispondenza dei vari letti di malta), e non

rettilineo. Figura 113 – Meccanismo di ribaltamento per effetto della rottura fragile

dei blocchi costituenti la muratura (lesione praticamente rettilinea)

199

Figura 114 – Meccanismo di ribaltamento per effetto del collasso dei

letti di malta (lesione di tipo poligonale)

In tal senso, affinché vi sia un’effettiva traslazione diagonale, è necessario che i cunei di distacco

siano in grado di vincere le resistenze d’attrito (superfici di contatto), ma soprattutto che l’energia

di rottura sia tale da garantire il superamento degli ostacoli fisici presenti nella direzione dello

scorrimento stesso, ovvero i blocchi (Figura 115).

Figura 115 – Schematizzazione del cinematismo di scorrimento nel caso di crisi

dei letti di malta (superamento degli ostacoli fisici)

200

Una volta di più, quindi, viene ribadita l’importanza di valutare con attenzione le caratteristiche di

resistenza dei costituenti della tessitura muraria, dalle quali dipende la risposta strutturale.

In ragione di alcune considerazioni energetiche, legate alla meccanica delle fessurazioni (valutazioni

preliminari di tipo qualitativo), è intenzione dell’autore discostarsi in maniera evidente da questo

tipo di cinematismo; di fatto, si ritiene più facile sbriciolare il materiale in corrispondenza della

superficie di contatto tra i due cunei di distacco, piuttosto che permettere che questi stessi scorrano

lungo il profilo scalinato creatosi per effetto della fessurazione.

Simulando il meccanismo di dissesto con un software di modellazione tridimensionale, è stato

possibile analizzare la compenetrazione reciproca dei cunei in assenza di scorrimento:

Figura 116 – Progressione del cinematismo di collasso in assenza di scorrimento

Da qui, l’ipotesi secondo cui il danneggiamento avvenga in prossimità della suddetta superficie di

contatto, generando la formazione di un ulteriore macroelemento di distacco (dimostrazione

analitica a seguire). Se i materiali dovessero risultare di ottima qualità e la tessitura muraria di buona

fattura, il cuneo potrebbe rimanere integro nonostante la separazione dal resto della parete; al

contrario, in presenza di malte poco resistenti, è probabile che si sbricioli il legante stesso, con

conseguente espulsione degli inerti. 201

Figura 117 – Distacco di un terzo cuneo in corrispondenza della lesione verticale principale

Come rappresentato in Figura 117, con il progredire del fenomeno di sfondamento i due cunei

perimetrali subiscono delle rotazioni sempre più accentuate ed al contempo il solido in posizione

centrale è espulso verso il lato interno della parete di appartenenza.

Quanto affermato poc’anzi viene dimostrato mediante valutazione degli spostamenti in

corrispondenza dell’estremo superiore della parete (punto F): si sottolinea che i risultati ottenuti

sono indipendenti dalla conformazione della parete, perciò i procedimenti proposti di seguito sono

validi anche per dissesti del timpano.

Figura 118 – Configurazione spaziale di una generica parete a falda piana

202

Figura 119 – Configurazione spaziale della parete del timpano

Si considerino le componenti spaziali del punto F nel sistema di riferimento locale [x , y , z ] relativo

1 1 1

al cuneo di distacco 1: ( )

β

= ⋅

x x cos '

F F

,1 (6.1)

=

y s

F ,1 ( )

β

= ⋅

z x sin '

F F

,1

in cui: β' [deg] = 90°- β = angolo complementare rispetto a quello di fessurazione.

Applicando una rotazione virtuale unitaria al macroelemento 1, ϑ = -1°, ne deriva:

z,1

( ) ( )

ϑ ϑ

= ⋅ − ⋅

x ' x cos y sin

F F F

,1 ,1

z z

,1 ,1 ,1

( ) ( )

( )

β ϑ ϑ

= ⋅ ⋅ − ⋅

x ' x cos ' cos s sin

F F ,1 ,1

z z

,1 ( )

β ϑ ϑ

= ⋅ ⋅ + ⋅

x ' x cos ' cos s sin

F F ,1 ,1

z z

,1 ( ) ( )

ϑ ϑ (6.2)

= ⋅ − ⋅

y ' x sin y cos

F F

F ,1 ,1

z z

,1 ,1 ,1

( ) ( )

( )

β ϑ ϑ

= ⋅ ⋅ − ⋅

y ' x cos ' sin s cos

F F z

,1 ,1

z

,1 ( )

β ϑ ϑ

=− ⋅ ⋅ + ⋅

y ' x cos ' sin s cos

F F z z

,1 ,1 ,1

( )

β

= ⋅

= x sin '

z ' z

F F

,1 ,

1 F 203

Lo spostamento del punto F è determinabile attraverso la differenza tra le coordinate

’, y ’, z ’), calcolate poc’anzi in funzione di una rotazione pari a ϑ = -1°, e le coordinate

(x

F,1 F,1 F,1 z,1

(x , y , z ), relative alla configurazione iniziale:

F,1 F,1 F,1 = −

u x x

'

F F F

,1 ,1 ,1 )

(  

β ϑ ϑ

= ⋅ ⋅ + ⋅

− 

u x cos cos s sin s

1

'  

z z

F F 1

,1 ,

,1 (6.3)

= −

v y y

'

F F F

,1 ,1 ,1 )

(

( )  

β β

ϑ ϑ

⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅

= − − 

v x cos sin s cos x cos

1

' '

z z

F F F

,1

,

1

,1 ) ( )

( β β =

= − = ⋅ − ⋅

w z z x sin x sin

' ' 0

'

F F

F F F ,

1

,1 ,1

A questo punto è necessario esprimere le tre componenti dello spostamento nel sistema di

riferimento assoluto [x, y, z]; a tale scopo si procede con una rotazione degli assi [x , y , z ] di una

1 1 1

= β' = 90°- β > 0 (vedi Figura 67).

quantità ϑ y,1 ( )

( )

β β

= ⋅ =

u u cos s cos

' '

F F ,1 ( )

β (6.4)

= = − ⋅

v v x cos '

F F F

,1 ( ) ( )

β β

= ⋅ = − ⋅

w u sin s sin

' '

F F ,1

Il macroelemento introdotto nel modello e collocato a ridosso del punto A, è identicamente

simmetrico rispetto all’asse verticale x; per rendere più immediata e comprensibile la descrizione

della sua geometria, il solido viene suddiviso in due semi-cunei.

Ognuno di questi è caratterizzato da una sezione di forma triangolare (Figura 120 e Figura 121): il

primo cateto, parallelo all’asse y, coincide con lo spessore della parete, mentre la proiezione del

( )

β

secondo sull’asse z ha un’estensione pari a . Si rende necessario far riferimento alla

= ⋅ i

w s s n '

F

proiezione poiché le facce superiori ed inferiori del macroelemento murario potrebbero risultare

inclinate sull’orizzontale rispettivamente di un’ampiezza pari a ε (eventuale inclinazione della faccia

superiore della parete) e pari a β’ (complementare dell’angolo di fessurazione).

204

Figura 120 – Sezione verticale e viste tridimensionali relative al cuneo

di distacco centrale (generica parete piana)

Figura 121 – Sezione verticale e viste tridimensionali relative al cuneo

di distacco centrale (parete del timpano)

A posteriori, nel tentativo di definire un metodo di analisi della geometria di distacco più affidabile

e consolidato, si procede con la ricerca di un punto di minimo della funzione (2.91): essa esprime

l’andamento del moltiplicatore di collasso al variare dell’ampiezza angolare β’ [deg], ovvero il

complementare dell’angolo di fessurazione, e dell’altezza dei cunei di distacco, x [m].

D

205


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295

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17.07 MB

AUTORE

orla91

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria dei sistemi edilizi (MILANO)
SSD:
A.A.: 2017-2018

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher orla91 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Consolidamento delle strutture e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano - Polimi o del prof Pisani Marco Andrea.

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