Sterzatura cinematica

P P

​ ​

Dimostrazione per assurdo:

Sotto l’ipotesi che esista , allora deve esistere anche la sua differenziazione

f (x , y , α, φ) = 0

P P

​ ​

∂ f ∂ f ∂ f ∂ f .

0

dx + dy + dφ =

dα +

P P

​ ​ ​ ​ ​ ​

∂ x ∂ y ∂ α ∂ φ

P P

​ ​

Introducendo l’eq. di vincolo si ottiene: .

∂ f ∂ f ∂ f ∂ f

( cos + sin + )dφ + dα =

R α R α 0

​ ​ ​ ​

∂ x ∂ y ∂ φ ∂ α

P P

​ ​

Data l’arbitrarietà di

 e  e l’indipendenza l’una dall’altra allora  è nulla e quindi anche

∂ f ∂ f ∂ f

dα dφ R α R α

( cos + sin +

​ ​ ​

∂ α ∂ x ∂ y

P P

​ ​

 sarà nulla.

∂ f )

​

∂ φ

Quindi

 non dipende da  → devono essere nulle anche  e  e quindi  non dipende neanche da  e .

∂ f ∂ f

f α f x y

P P

​ ​ ​ ​

∂ x ∂ y

P P

​ ​

Per rispettare l’equazione sarà nulla anche , quindi  non dipende neanche da .

∂ f f φ

​

∂ φ

Il legame finito non esiste! Quindi tale vincolo di puro rotolamento è anolonomo che al finito non esiste.

Caso di una ruota appoggiata con piano medio inclinato rispetto al suolo

Parametri che individuano la configurazione (5) → , , , , 

x y α φ β

P P

​ ​

 non influenza le equazioni di  perchè il punto a terra ha velocità assoluta nulla → possono essere

β dP

scelti arbitrariamente ,  e .

dα dφ dβ

All’infinitesimo il vincolo può essere rappresentato da una coppia sferica (toglie 3 gdl e ne lascia 3); al

finito scompaiono i 2 vincoli anolonomi

(= vincoli del caso precedente) ed occorrono 5 parametri per definire la configurazione di corpo rigido

della ruota → lo spazio delle configurazioni ha dimensione 5. ⎧dx = Rdφ cos α

P ​ 

⎨ dy = Rdφ sin α

P

​ ​

​

⎩ dβ indipendente

Sterzatura cinematica 3

Esempi applicativi

1. Bicicletta: formata da 4 corpi rigidi

Vincoli:

- 3 x coppie rotoidali (vincoli olonomi, permette solo la

rotazione lungo un asse = 5 gdl impediti);

- 2 x coppie sferiche di contatto tra ruote e suolo (vincoli

anolonomi, permette solo la rotazione lungo qualsiasi asse =

3 gdl impediti (traslazioni) ).

Numero di gradi di libertà*: 

l = 6 ∗ 4 − 5 ∗ 3 − 3 ∗ 2 = 3

*[si utilizza la formula di Grubler: numero di gdl = (n° di gdl nel piano=6)*(n° corpi rigidi) - (n° di vincoli)*

(n° di gradi di libertà eliminati)]

Dimensione dello spazio della configurazione:

Occorrono 5 parametri per la sola ruota posteriore + monto telaio sospeso + forcella anteriore + ruota

anteriore e sceglierne l’angolo di inclinazione (aggiungo un parametro), infine violo il telaio a stare in

appoggio sulla ruota anteriore (aggiungo un parametro).

 parametri per la configurazione.

TOT = 5 + 1 + 1 = 7

Altro metodo: il meccanismo a 3 gdl + 2 vincolo anolonomi da contatto al suolo per ruota = 

3 + 2 ∗ 2 = 7

2. Rimorchio a due ruote

Vincoli:

- 2 x coppie rotoidali delle ruote (vincoli olonomi, permette solo la rotazione lungo un asse = 5 gdl

impediti);

- 2 x coppie sferiche di contatto tra ruote e suolo (vincoli anolonomi, permette solo la rotazione lungo

qualsiasi asse = 3 gdl impediti (traslazioni) );

- 1 x puntone che permette solo lo strisciamento con il suolo (non possono estrare nel terreno = 1 gdl

impedito);

Numero di gradi di libertà:  ma è un risultato insoddisfacente. Il

l = 6 ∗ 3 − 5 ∗ 2 − 3 ∗ 2 − 1 ∗ 1 = 1

risultato va corretto tenendo conto delle iperstaticità (= ripetizione dei vincoli ( )):  → quindi

i l − i = 1 l =

 gdl.

1 + i = 1 + 1 = 2

Il vincolo ripetuto è dato dal fatto che le ruote sono connesse dal telaio ed è impossibile lo spostamento in

direzione ortogonale all’avanzamento di una ruota rispetto all’altra, questo è un vicolo anolonomo di una

ruota che è bisogna tener conto solo per una delle due ruote.

NB: andrebbe bene  nel caso di un montaggio scorretto perché in questo caso il telaio è costretto a

l = 1

ruotare intorno ad un punto (= 1 gdl di rotazione).

Dimensione dello spazio della configurazione:

per  e dati 3 vincoli anolonomi (2+1) → 

l = 2 2 + 3 = 5

oppure

 + 2 vincoli anolonomi per ruota → 

l = 1 2 ∗ 2 + 1 = 5

Sterzatura cinematica 4

3. Triciclo

Vincoli:

- 3 x coppie rotoidali delle ruote + 1 x coppia rotoidale dello sterzo;

- 3 x coppie sferiche di contatto tra ruote e suolo.

Numero di gradi di libertà:  dove  e quindi .

l − i = 6 ∗ 5 − 5 ∗ 4 − 3 ∗ 3 = 1 i = 1 l = 2

Dimensione dello spazio della configurazione:

Se al finito

 occorre aggiungere i vincoli anolonomi essenziali: ovvero i 4 parametri di

l = 2 2 + 2 + 2 + 1 = 7

configurazione di una ruota su un piano (1) + 2 x rotazione delle altre due ruote (2, 3) + parametro dello

sterzo.

Condizione di sterzatura cinematica di un veicolo

Si considera un veicolo a 4 ruote, con ruote sterzanti anteriori,

percorre una curva a sinistra.

Si trascurano gli effetti e la presenza di sospensioni.

Le ruote sono soggette a condizione di puro rotolamento.

La velocità di avanzamento del punto di contatto con il suolo (punto a

terra ideale) viene considerata immaginando tale punto solidale al

telaio del veicolo. Tale velocità sarà parallela al piano medio della

relativa ruota.

L’asse di sterzo è considerato perpendicolare alla direzione della

velocità.

Scelto l'angolo di sterzatura  della ruota sterzante interna alla curva, allora  non può essere uguale a

δ δ

1 2

​ ​

, altrimenti si avrebbe strisciamento.

δ 1 ​

Velocità assoluta = velocità di trascinamento + velocità relativa → 

v = v + v = v − Rω

a t r t

​ ​ ​ ​

- Velocità di trascinamento del punto a terra : velocità che avrebbe quel punto appartenente alla ruota se

congelato rispetto al telaio = velocità del centro ruota

- Velocità relativa: velocità a terra del punto appartenente alla ruota relativamente al telaio

 : passo del veicolo

l  : distanza fra gli assi di sterzo delle ruote anteriori

a  : raggio curva

R

Angoli di sterzo per ruote anteriori in puro rotolamento:

a a

l R − l R +

​ ​

2 2

tan δ = cot δ = tan δ = cot δ =

⇒ ⇒

1 1 2 2

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

a a

R − l R + l

​ ​

2 2

Sterzatura cinematica 5

a

CONDIZIONE DI ACKERMANN 

⟹ cot δ − cot δ =

2 1

​ ​ ​

l

= condizione di sterzatura cinematica, indipendente da  e applicata agli assali

R

δ − δ

i e

PERCENTUALE DI ACKERMANN 

​ ​

⟹ p = 100 ∗ ​

δ − δ

i, cinematico e

​ ​

 → ruota interna;  → ruota esterna 

[i e ]

 % se  e rispetta la Condizione di Ackermann;

p = 100 δ = δ

i, cin i

​ ​

 se  ;

p = 0 δ = δ

i e

​ ​

può essere che

 → Condizione di Anti-Ackermann

p < 0

CASO DI STERZATURA INTEGRALE =

STERZATURA CINEMATICA PER + ASSALI

Ruote anteriori sterzanti + Ruote posteriori contro

sterzanti

NB: la carreggiata minima per poter curvare

un veicolo si riduce se vi sono più ruote

sterzanti

A) Caso di sterzo bloccato 

l − i = 6 ∗ 5 − 5 ∗ 4 − 3 ∗ 4 = −2

(5 membri mobili, 4 coppie rotoidali, 4 coppie sferiche)

Ripetizione di vincolo  :

i = 3

1 x vincolo anolonomo si strisciamento assale posteriore;

1 x vincolo sull’angolo di sterzatura di una ruota anteriore

(imposto dall’altro angolo);

1 x contatto simultaneo di 4 ruote al suolo (ripetizione di vincolo

olonomo).

→ 

l = −2 + 3 = 1

Lo spazio della configurazione ha dimensione 

D = 1 + 6 = 7

( 1 = grado di libertà del sistema; 6 = vincoli anolonomi [ 2 vincoli anolonomi per ruota - vincolo ripetuti per

coppia di ruote dovuto al bloccaggio dello sterzo (4*2) - (2*1)]

Sterzatura cinematica 6

B) Caso di sterzo variabile 

l − i = 6 ∗ 8 − 5 ∗ 6 − 3 ∗ 4 − 3 ∗ 2 = 0

(8 membri mobili, 6 coppie rotoidali, 4 coppie sferiche ruota-suolo, 2 coppie sferiche tirante)

Ripetizione di vincolo 

i = 3 :

1 x vincolo anolonomo si strisciamento assale posteriore;

1 x vincolo sull’angolo di sterzatura di una ruota anteriore

(imposto dall’altro angolo);

1 x contatto simultaneo di 4 ruote al suolo (ripetizione di

vincolo olonomo).

→ 

l = 3

[avanzamento, angolo di sterzo, rotazione sul proprio asse del tirante (= labilità interna)]

Lo spazio della configurazione ha dimensione 

D = 3 + 6 = 9

(3 = gdl sistema; 6 vincoli anolonomi non ripetuti, oppure, 3 x posizioni pianale + 1 x angolo portamozzi-

pianale + 1 x posizione angolare del tirante rispetto al portamozzi + 4 x angoli rotazione ruote)

Meccanismi di sterzo

Soluzione semplice

= collegamento delle ruote sterzanti con assale rigido (per

rispettare C. di A.)

si tratta di una soluzione scomoda i ingombrante, ma

cinematicamente corretta.

Meccanismo di Bourlet

= si tratta di un meccanismo piano, non utilizzato a causa delle

asole di scorrimento che spesso provocano inceppamenti

GDL solo sterzo: 

l = 3 ∗ 3 − 2 ∗ 3 − 1 ∗ 2 = 1

[3 corpi mobili, 2 coppie rotoidali + 1 coppia prismatica, 2 asole]

Sterzo:

- occorre far traslare l’asta orizzontale

vincolata dalla coppia prismatica (per es. di

una lunghezza

 verso sinistra);

x

- controllare che, fissato un certo

, gli angoli  e  soddisfino la condizione

x δ δ

1 2

​ ​

di Ackermann.

Sterzatura cinematica 7

Relazione tra 

e 

:

δ δ

1 2

​ ​

A B A C B C cot δ − x

−

1 1 1 1 1 1 0

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

= =