Schemi di statistica numerica

STATISTICA

ELEMENTI BASE DELLA PROBABILITÀ

Dato un esperimento, l'insieme di tutti i possibili risultati si definisce come spazio dei campioni (S).

Gli esperimenti possono essere effettuati:

• con o senza ordinamento dei risultati
• con o senza remissione

Si definisce come evento un insieme di risultati, sottoinsieme dello spazio dei campioni (A ⊆ S).

È possibile definire delle operazioni tra gli eventi come: A ∪ B, A ∩ B, A - B.

Esempio

• Lancio di 2 monete => S = {TT, CC, TC, CT}
• Evento A: esce almeno 1 T => A = {TT, TC, CT}
• Evento B: escono 2 T => B = {TT}
• Evento C: A ∪ B => C = {TT, TC, CT}
• Evento D: A ∩ B => D = {TT}

Due eventi si dicono disgiunti se tutti i risultati sono diversi.

Dato un esperimento e il suo spazio dei campioni si definisce come probabilità una funzione che assegna ad ogni evento A un numero P(A), che misura la possibilità che si verifichi l'evento A.

P: S(A) → R[0,1] ⊆ È in %

dove S(A) è l'insieme di tutti i possibili eventi.

La probabilità soddisfa i seguenti assiomi:

1. P(A) > 0 ∀A
2. P(S) = 1
3. Se A₁, A₂, ..., A_n sono disgiunti vale: P(A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ A_n) = Σ_i=1ⁿ P(A_i)

Detto A^c l'insieme complementare di A, e detti A e B due eventi, valgono le seguenti proprietà:

1. P(A^c) = 1 - P(A)
2. P(∅) = 0
3. Se A ⊆ B allora P(A) < P(B)
4. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Il modello Equally Likely Model (ELM) calcola la probabilità di un evento come:

P(A) = ^{casi favorevoli}/_{casi totali}

Dato un esperimento, il numero totale di risultati che posso avere cambia in base all'ordinamento e alla rimissione.

Insieme ordinato

• Tot. risultati con rimissione: n^k
• Tot. risultati senza rimissione: n(n-1)...(n-k+1)

Insieme non ordinato

• Con rimissione: ^{(n + k - 1)! / (n - 1)! k!}
• Senza rimissione: ^{n!/(k! (n - k)!)}

Dato un esperimento e 2 eventi A e B occorre fare la somma delle probabilità degli eventi se è prevista una disgiunzione (parola chiave "o"). Gli eventi possono essere compatibili o incompatibili:

Eventi incompatibili:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Lanciando un dado qual'è la probabilità di ottenere un 5 o un 6

P(A ∪ B) = ¹/₆ + ¹/₆ = ¹/₃

P(A ∩ B) = 0

Eventi compatibili:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Lanciando un dado qual'è la probabilità di ottenere un numero pari o un numero divisibile per 3?

Pari: = ³/₆

Divisibile: = ²/₆

P(A ∪ B) = ³/₆ + ²/₆ - ¹/₆ = ²/₃

di eventi che accadono nell'unità di tempo , allora la PMF sarebbe:

g_X(x) = e^-λ λ^x / x! X = 0, 1...

Se avessimo invece X_t = numero di eventi che accadano nell'intervallo [0, t] allora la PMF è:

g_X(x) = e^-λt (λt)^x / x! X = 0, 1...

Supponiamo che da un benzinaio arrivino in media 25 auto all'ora,

sia X₃ = n° auto tra le 9 e le 10; qual è la probabilità che

arrivino 10 auto tra le 9 e le 10? Qual è la probabilità che

arrivino tra i 20 e i 30 clienti tra le 9 e le 10?

g_X(10) = e^-25 25¹⁰ / 10! = 0,0003

P(20 < X < 30) ⟹ g_X(30) - g_X(20)

Distribuzioni Continue

Definiamo variabile aleatoria continua una variabile casuale il

cui supporto coincide con un intervallo di numeri reali.

Si definisce funzione di densità di probabilità (PDF) f_X associata

a X la funzione:

f_X(x): S_X ➝ R tale che

P(X ∈ A) = ∫_A f_X(x) dx = ∫_c^d f_X(x)

in cui abbiamo che S_X è un intervallo [a, b].

Valgono le seguenti proprietà:

• f_X(x) ≥ 0 ∀ x ∈ S_X
• ∫_SX f_X(x) = 1

Si definisce anche la funzione di ripartizione (CDF):

F_X(t) = P(X < t) -∞ < t < ∞

Statistica Ordinata

Per statistica ordinata si intende una statistica fatta dopo aver ordinato i dati in ordine non decrescente.

Il quantile di ordine p, 0 < p < 1, indicato con q_p, è un valore che indica che circa il 100p% dei dati è minore di q_p.

Quantili più utilizzati sono: 25%, 50% e 75% (quartili).

Se ho una serie di valori nell'intervallo [18, 30] e so che q_0,1 = 22,3 vuol dire il 10% dei valori sono minori di 22,3.

Misure della diffusione di dati:

• Varianza e deviazione standard:

Varianza campionaria: s² = Σⁿ_i=1(x_i - x̄)² / n-1

• Range interquartile:

IQR = q_0,75 - q_0,25

Quartile divide in 4 parti uguali

Deviazione Assoluta della Media (MAD):

Dopo aver calcolato la mediana x̄ si calcolano le deviazioni assolute della mediana |x₁-x̄|, |x₂-x̄|, ..., |x_n-x̄|, quindi si calcola la mediana di questi valori moltiplicata per un coefficiente c.

Misure della forma:

Misura della simmetria:

g₁ = 1/n . Σⁿ_i=1 (x_i - x̄)³/s³

Se g₁ > 0 la distribuzione è considerata asimmetrica a destra, se g₁ < 0 la distribuzione è considerata asimmetrica a sinistra, se g₁ ≈ 0 è simmetrica.

In generale si definisce asimmetrica quando: |g₁| > 2√6/n^ε

Nel caso in cui la popolazione non avesse distribuzione normale è possibile usare il teorema del limite centrale per calcolare l'intervallo di confidenza. Se n è sufficientemente grande, per il teorema, la variabile aleatoria X̄ della media campionaria ha approssimazione una distribuzione normale. Quindi l'intervallo di confidenza si calcola sempre come:

(X̄ - z_α/2 σ^-/√n ; X̄ + z_α/2 σ^-/√n)

Test di ipotesi

In un test di ipotesi occorre decidere tra due asserzioni contraddittorie riguardo un parametro, quale sia quella corretta.

Procedura per un test di ipotesi:

1. Considero un SRS(n)
2. Formulo un'ipotesi nulla H₀
3. Formulo un'ipotesi alternativa H₁
4. Calcolo una statistica
5. Confronto il valore della statistica calcolata con quello dell'ipotesi nulla e calcolo un valore detto p-value
6. Interpreto il p-value e decido se l'ipotesi nulla è da rigettare o no

Il p-value determina se rispetto ad una popolazione di valori, l'insieme campionato sia significativamente rappresentativo, ovvero se i valori siano più o meno aderenti all'ipotesi H₀ formulata.

Normalmente un valore di p-value maggiore di 0,05 indica che l'ipotesi campionata è nulla: la probabilità di trovare un valore della media campionaria più estremo di quello osservato è del 5%.

Quindi abbiamo che se:

• p-value <= α ⟶ rifiutiamo l'ipotesi nulla
• p-value > α ⟶ non rifiutiamo l'ipotesi nulla