Schemi Statistica I

Statistica I

• Descriptiva: Somma: S(x) = _{i = 1}ⁿ ∑ x_i = x₁ + x₂ + ... + x_n
• Media (aritmetica): M(x) = 1/n _{i = 1}ⁿ ∑ x_i = 1/n (x₁ + x₂ + ... + x_n)

Proprietà:

• Si può portare fuori la costante:
  • S(a·X) = a S(X)
  • M(a·X) = a M(X)
• Somma di una costante:
  • S(b) = n·b
  • M(b) = b
• Scomposizione di una somma (differenza) di termini:
  • S(X + Y) = S(X) + S(Y)
  • M(X + Y) = M(X) + M(Y)
• Somma di una trasformazione lineare:
  • S(a·X + b) = a S(X) + n·b
  • M(a·X + b) = a M(X) + b

Prodotto di sommatorie

• (_{i = 1}ⁿ ∑ X_i) ⋅ (_{j = 1}^m ∑ Y_j) = _{i = 1}ⁿ _{j = 1}^m ∑ X_i Y_j = (_{i = 1}^m ∑ Y_j) (_{i = 1}ⁿ ∑ X_i)

Varianza

• Varianza: media (aritmetica) degli scarti quadratici:σ²(X) = M([X - M(X)]²)
• Deviazione standard o scarto quadratico medio: radice della varianzaσ(X) = √(σ²(X) = √(M([X - M(X)]²))
• Devianza: somma degli scarti quadratici:nσ²(X) = S([X - M(X)]²) = _{i = 1}ⁿ ∑ (X_i - M(X))²
• Proprietà:
  • σ²(a·X + b) = a² σ²(X)
  • σ(a·X + b) = |a| σ(X)

Statistica I

• Descriptiva
• Somma: \(S(x) : \sum_{i=1}^{n} x_i = x_1 + x_2 + \ldots + x_n\)
• Media (aritmetica): \(M(x) : \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{1}{n} (x_1 + x_2 + \ldots + x_n)\)

Proprietà

• Si può portare fuori la costante
• \(S(a \cdot X) = a \cdot S(X)\)
• \(M(a \cdot X) = a \cdot M(X)\)
• Somma di una costante
• \(S(b) = n \cdot b\)
• \(M(b) = b\)
• Scomposizione di una somma (differenza) di termini
• \(S(x+y) = S(x) + S(y)\)
• \(M(x+y) = M(x) + M(y)\)
• Somma di una trasformazione lineare
• \(S(a \cdot X + b) = a \cdot S(X) + n \cdot b\)
• \(M(a \cdot X + b) = a \cdot M(X) + b\)

Prodotto di sommatorie

• \(\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) \left( \sum_{j=1}^{m} Y_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} X_i \cdot Y_j\)

Varianza

Varianza: media (aritmetica) degli scarti quadratici:

• \(\sigma^2(x) = M([X - M(X)]^2)\)

Deviazione standard o scarto quadratico medio: radice della varianza

• \(\sigma(x) = \sqrt{\sigma^2(x)} = \sqrt{M([X - M(X)]^2)}\)

Devianza: somma degli scarti quadratici

• \(n \sigma^2(x) = S([X_i - M(X)]^2) = \sum_{i=1}^{n} (X_i - M(X))^2\)

Proprietà

• \(\sigma^2 (a \cdot X + b) = a^2 \cdot \sigma^2(X)\)
• \(\sigma (a \cdot X + b) = |a| \sigma (X)\)

la varianza propri e vista come differenza di medie

C σ²(X) = Π(X²) - Π²(X)

una

SE X E DISCRETO :

1/n _i=1 X_i; - successione

H(X) = | Σ f_i; X_i - distribuzioni freq. assolute

Σ f_i X_i; - distribuzione freq. relative

SE X E CONTINUA (classi intervalli) S sostituisce X_i con il valore centrale di classe, C; X_i; +X_i; +1/2

COVARIANZA E COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE

COVARIANZA: media (centrata) dei prodotti degli scart

Cov(X,Y) = H | (X - H(X))(Y - H(Y))

| 1/n Σ (X_i - H(X))(Y_i - H(Y))

| successioni doppie

| 1/Π Σ (X_i - H(X))(Y_i - H(Y)) n_i;

| dist. doppie freq. assolute

| Σ (X_i - H(X))(Y_i - H(Y)) p_i q_i;

| dist. doppie freq. relative

CODEVANZA: somma del prodotto degli scart

Co

(X, Y) = Σ ((X - H(X))(Y - H(Y))

Cod (X, Y) = n Cov(X,Y)

PROP

iET

A :

U = X + b

V = c Y +d

| Cov (U, V) = a.c. Cov (X, Y)

| Cov (aX + b, Y) = a.c. Cov(X,Y)

la covarianza propria e visti come differenze di medie

Cov(X, Y) = M((X - H(X))(Y - H(Y))

una

SE X e Y discreti:

1/n Σ X_{i Yi;} - successioni doppie

H (X) = | Σ X_i p_i - per le dist. doppie freq. ass.

Σ X_i p_i - per le dist. doppie freq. rela