Schemi Statistica I

Statistica I

• Descrittiva

Somma:

Media (aritmetica):

Proprietà:

• S_(aX) = aS(X)
• M_(aX) = aM(X)
• Somma di una costante:

Somma di una costante:

Scorporazione di una somma (differenza) di termini:

Somma di una trasformazione lineare:

Prodotto di sommatorie:

Varianza

Varianza: media (connotata) degli scarti quadratici:

Deviazione standard o scarto quadratico medio: radice della varianza:

Devianza: somma degli scarti quadratici:

Proprietà:

La varianza spesso si calcola come differenza di medie

σ^2(X) = Π(X^2) - [Π(X)]^2

dove

X e Y discreti:

M(X)=

• ∑_i x_i:
• x_i; s.s. ciascun valore
• ∑_i x_i:
• ∑ f_i discreti frequ. assolute
• ∑_i x_j:
• ∑_j f_ij discreti frequ. relative

X e Y continui (classi irpesentabili):

Covarianza e coefficiente di correlazione lineare

Covarianza: media (conderata) del prodotto degli scost:

Cov(X, Y) = Π(X - M(X))[Y - M(Y)])

• ∑_i=1ⁿ (X - M(X))(Y - M(Y)):
• selez. simpoio
• ∑_i=1ⁿ (X_i - M(X))(Y_i - M(Y)) n_i:
• dis. doppie frequ. assolute

• ∑_i=1ⁿ (x_i - M(x))(y_i - M(y)) f_ij:
• dis. doppie frequ. relative

Codevianza: somma dei prodotti degli scost:

Cov_{(X, Y)} = S[(X - M(X))(Y - M(Y))]

Cov (X, Y) = n Cov (X, Y)

Proprietà:

• U: ax+b
• Cov(U, V) = a.c. Cov(X, Y)
• V: cy+d
• Cov(a(x) + b, y) = a.c. Cov(X, Y)²

Le covarianze spesso si calcolano come differenza di medie

Cov(X, Y) = Π(X, Y) - M(X)M(Y)

dove

se X e Y discreti:

• ∑_i x_i:
• s.s. ciascun valore
• ∑_i x_i:
• ∑_j f_ij: per le fta, doppie frenz. relative

se X e Y continui (classi irpesentabili), sostituisci X_i, e Y_i con il valore centrale delle classi.

Estrazioni di palline: schemi

Possono avere frutto a 2ⁿ schemi:

Popolazione dicotomica N = palline nell'urna M = rossi nell'urna N-M = bianchi nell'urna n = numero di estrazioni

Estrazione con replicazione

Si dice di estrazione con replicazione (contraddistinto/minimizzato) se dopo ogni estrazione si registra il risultato e la pallina viene rimessa nell'urna.

Si dice di estrazione senza replicazione (contraddistinto/minimizzato) se dopo ogni estrazione si registra il risultato e la pallina non viene rimessa nell'urna.

Si distingue in ordinato e non ordinato a seconda che il diverso ordinamento degli oggetti all'interno di un'unione produca composti diversi.

Schema riepilogativo del numero totale di campioni di dimensione n estraibili da una popolazione di dimensione N.

Lo schema di estrazione con replicazione produce prove indipendenti Lo schema di estrazione senza replicazione produce prove dipendenti

Il problema è: data una popolazione o un'urna (senza la premessa iniziale). Si estrae un campeilo dimensione n. Qual è la probabilità che il campione estratto contenga x successi?

Scheda binomiale P(A)=^(N)C_x (^XC_N)^x (^N-MC_N)^n-x

Derivano nelle applicazioni seguenti: il rapporto M/N = p elementi = (^NC_x)p^x(1-p)^n-x

Costello

MODA della Binomiale

• SE (n+1)p È INTERO → f BIVONALE CON MODE: (n-1)p, (n+1)p
• SE (n+1)p NON È INTERO → f UNIVONALE CON MODA: [(n+1)p] parte intera di (n+1)p

Distribuzione Ipergeometrica

Rispetto "n" sono campione statistico di una popolazione finita di dimensione _N.

Estratta senza reinserzione.

Riguarda per definizioni

delle probabilità di "X" successi nel campione quando ci sono "M" successi nella popolazione.

Formula Ipergeometrica: p(X) = ^{(_X) (_N-M)} / _(N) = ^{M_X (N-M) (n-x)} / _{X! (M-x)! (n-x)! (N-M-n+x)! n! (N, n!)}

• N = dimensione della popolazione
• M = numero di successi nella popolazione
• n = dimensione del campione
• X = numero di successi nel campione

La variabile casuale ipergeometrica può assumere valori interi tali che

max [0, n-(N-M)] ≤ x ≤ min [n, M]

Media (valore atteso dell'ipergeometrica): E(X) = n.p

Varianza (dell'ipergeometrica): σ²(x) = n.p.q _(N-n) / (N-1)

fettore di correzione per popolazioni finite

Approssimazione: SE LA POPOLAZIONE È GRANDE E LA DIMENSIONE DEL CAMPIONE È PICCOLA, LA DISTRIBUZIONE BINOMIALE È UNA BUONA APPROSSIMAZIONE DELLA DISTRIBUZIONE IPERGEOMETRICA

Regole pratiche: N > 10,000, n < 1%.

Variabili Casuali Continue

Una variabile eleatoria continua è una variabile che può assumere qualunque valore in un intervallo.

Una variabile casuale X definita in un intervallo (x_0, x_n) è detta continua se esiste una funzione g(x) detta funzione di densità di probabilità, tale che:

1) g(x) ≥ 0

2) L'area sottesa alla funzione di probabilità g(x) su tutto l'intervallo (x_0, x_n) di valori ammissibili di X vale 1

  ∫_{x_0}^x_ng(x) dx = 1

3) La probabilità che X assuma valori in un intervallo è l'area sottesa alla f. di densità suci intervallo.

P(a < x < b) = ∫_a^bg(x) dx   dove (a, b) ∈ (x_0, x_n)

Se a = b allora

P(a < x < a) = P(x = a) = ∫_a^ag(x) dx = 0

Nel continuo P(x = a) = 0

Funzione di Ripartizione F(x) per una variabile aleatoria continua X esprime la probabilità che X non superi il valore x

F(x) = P(X ≤ x)

Siano a e b due possibili valori di X, con a < b, la probabilità che X assuma valori tra a e b è

P(a < x < b) = F(b) - F(a)