Random surfer model

Concetti di probabilità condizionata nell'universo dei condizionatori

R) che vive nell'universo dei condizionatori rispetto ad R, cioè stiamo parlando di probabilità definite in uno spazio probabilistico che è uno spazio condizionato. Invece di fare un doppio condizionamento, quindi scrivere i|n(t)=j|R, che non esiste nel mondo del condizionamento perché non esiste il condizionamento del condizionamento, una volta entrati nella clausola del condizionamento mettiamo assieme tutte le condizionanti e n(t)=j, R è l'evento congiunto ed è tutto ciò che condiziona questa probabilità condizionata.

Se ipotizzassimo di dare per scontato di muoverci nell'universo condizionato, quindi cancellando R, abbiamo un'espressione della probabilità totale del tutto simile a quella che già conosciamo. In realtà, R non si ritira in disparte; noi viviamo nell'universo condizionato rispetto ad R quindi semplicemente lo inseriamo come condizione.

Ruolo del condizionamento e probabilità

Notiamo che nella quantità il condizionamento non gioca alcun ruolo perché mi sto chiedendo quale sia la probabilità che il mio navigatore fosse nel j-esimo sito al passo t se poi ha estratto R in quel passo lì per poter andare avanti. Ma notiamo che l'estrazione di R non ha alcun legame particolare con la probabilità di n(t)=j, cioè è indipendente. Possiamo quindi scrivere =P(n(t)=j).

Ora dobbiamo capire cosa vale P(n(t+1)=i|n(t)=j, R). Questo si ottiene facilmente ricordando che la scelta in questo caso è di scegliere un arco in uscita in maniera equiprobabile. Al denominatore devo fare la somma di tutti gli archi in uscita e al numeratore avrò 1 o 0 a seconda che ci sia o meno un arco in uscita. In alcuni casi, semplicemente quando sono in j non ho alcuna possibilità di arrivare in i, quindi quelli sono termini che non vanno considerati. Avrò una possibilità di andare da j in i quando L=1,ji qundi avremo:

Definizione della matrice A

• Matrice A t.c.
• Il vettore colonna degli 1=[1, 1, …, 1]

A questo punto si vede che, a questo punto, vogliamo passare da una notazione scalare a una vettoriale, quindi scriveremo le equazioni per x1, x2, …, xn e mettendole assieme otterremo x(t+1)=A*x(t)+[(1-p)/N]*matrice degli 1.

Introduzione della matrice V

Si può ulteriormente semplificare introducendo una matrice V fatta tutta di 1. Essa ha una proprietà t.c. Quindi moltiplicando V per x ottengo il vettore di tutti 1. Questo è possibile perché sono le probabilità al passo t di stare nei diversi siti, quindi se faccio la somma di tutti i siti possibili per i che va da 1 ad N trovo l'evento certo e la relativa probabilità vale 1. Quindi ora possiamo scrivere x(t+1)=pAx(t)+ Vx(t)=(pA+ V)x(t), quindi un'espressione molto semplice.

Osservazioni sul modello

Il modello appena trovato appartiene alla categoria delle catene di Markov. Si può dimostrare per tutte le ipotesi fatte. Nel nostro esempio, questo è il vettore della probabilità di regime di trovarsi nei 5 nodi. Quindi mi dice dopo molto tempo che funziona il mio modello del random surfer; quindi, da molto tempo che il mio navigatore sul web fa surf da una pagina all'altra. Se io chiudo gli occhi e li riapro, ho una probabilità del 17% di stare nel sito 1, del 16% nel sito 2, del 32% nel sito 3 e così via.

Il modello considerato è molto semplificato tanto che ci verrebbe da domandarci se realmente potrebbe servire a qualcosa. Un'idea esiste: si potrebbero usare le probabilità di regime come strumento per costruire una specie di classifica tra le pagine web. Quindi una pagina web con un maggiore in qualche nodo è una pagina più interessante perché il significato di è quello di contenere le probabilità di regime e quindi se una certa pagina web ha un grande quindi per una ragione o per un'altra è più facile che un random surfer vada a finire lì dentro. Potrebbero esserci molte ragioni per cui ciò accade, ad esempio possono essere ragioni di tipo pubblicitario nel senso che quella pagina è linkata da molte altre pagine e nel mio errare sul web alla fine continuo a tornare attraverso quel nodo.

Fare una classifica del web potrebbe essere la base di un motore di ricerca. Io potrei in qualche modo raccogliere tutte le pagine pertinenti alla ricerca che sto facendo, però poi, quando ho trovato migliaia di pagine, resta il problema...