Raccolta definizioni per la prova orale di Matematica generale

Matematica Generale PROPRIETÀ DELLA CONTINUITÀ Due classi (insiemi) non vuote di numeri reali A e B si dicono contigue se, preso un numero positivo qualunque ε, esiste sempre un numero a∈A e b∈B tale che b-a<ε. Teorema: due classi A e B non vuote di numeri reali sono contigue se esiste un numero reale r, chiamato elemento di separazione, non inferiore a qualsiasi numero ∈A e non superiore a qualsiasi numero ∈B. Si scrive: r=(A,B). CORRISPONDENZA BIUNIVOCA Si dice che due insiemi A e B non vuoti sono equipotenti (o di ugual potenza) quando sono in corrispondenza biunivoca, ovvero quando ad ogni elemento di A associamo uno e un solo elemento di B e viceversa. VALORE ASSOLUTO Il valore assoluto, o modulo, di un numero reale x è un numero reale non negativo, definito come il numero stesso se esso è positivo o nullo, il suo opposto se esso è negativo. Proprietà: - Il valore assoluto della somma/differenza di due numeri reali è minore o uguale alla somma/differenza dei valori assoluti dei singoli numeri, |a±b| ≤ |a|±|b|. - Il valore assoluto del prodotto/rapporto di due numeri è uguale al prodotto/rapporto dei valori assoluti dei singoli numeri. DISTANZA EUCLIDEA La distanza euclidea è la distanza tra due punti nello spazio. È un numero non negativo, quindi si definisce come il valore assoluto della differenza tra due numeri d(a,b)=|a-b|. Proprietà: - Non negatività d(a,b)>0 se a≠b; d(a,b)=0 se a=b. - Simmetria d(a,b)=d(b,a). - Disuguaglianza triangolare d(a,c) ≤ d(a,b)+d(b,c), b è un numero compreso tra a e c. INTERVALLO Un intervallo è un sottoinsieme dei numeri reali R formato da tutti i punti della retta compresi tra due estremi a e b. Gli estremi possono appartenere all'intervallo e possono essere infiniti. L’intervallo può essere aperto a