Primo parziale Metodi statistici

Variabile Aleatoria Indicatore (Bernoulliana)

Definizione: È una variabile aleatoria (V.C.) che assegna il valore 1 se l'esito

di un esperimento casuale è "Successo" (con probabilità p ) e il valore 0 se

l'esito è "Insuccesso" (con probabilità 1−p ).

Variabile Aleatoria Binomiale

Definizione: Si ripete n volte una prova casuale sotto le stesse condizioni. La

probabilità di successo P(A)=p è costante e le n prove sono indipendenti

tra loro. La V.C. Binomiale X conta il numero di volte che si presenta l'evento

A (successo) nelle n prove.

Concetto: Conta il numero di successi (X) che ottieni in un numero fisso di

prove (n).

È la somma di n variabili di Bernoulli indipendenti. (Es. il numero di gol in 3

tiri è la somma di 3 prove di Bernoulli: Tiro1 + Tiro2 + Tiro3)

Variabile Aleatoria di Poisson

Definizione: È una V.C. che conta il numero di accadimenti di un fenomeno in

un dato intervallo temporale o spaziale. C'è un flusso di eventi nel

tempo/spazio. La parola chiave è "media"

Significato di λ: λ è il numero medio di accadimenti nell'intervallo.

Proprietà di Riproduttività somma di due Poisson indipendenti è ancora una

Poisson

Se X 1 ​ 1 ​

) e X 2 ​ 2 ​

) sono indipendenti , allora la loro somma X=X

∼P(λ ∼P(λ

1 ​

+X 2 ​

segue ancora una distribuzione di Poisson: X∼P(λ 1 ​

+λ 2 ​

).

Proprietà di Proporzionalità La media λ è proporzionale all'intervallo

Se il numero medio di accadimenti in un intervallo Δt è λ (cioè X∼P(λ) ), allora

in un intervallo kΔt, il numero di accadimenti segue una X∼P(kλ). C'è

proporzionalità tra il numero medio di accadimenti e l'intervallo

Variabile Aleatoria Geometrica

Definizione: È una V.C. che conta il numero di prove necessarie per

ottenere il primo successo. Si assume che le prove siano indipendenti

(esperimento Bernoulliano ) e che la probabilità di successo p sia costante.

L'esperimento si ferma al primo successo.

Il numero di prove n non è fisso, domanda chiave è: "Quanto tempo devo

aspettare per il primo successo?"

Variabile Aleatoria Binomiale Negativa

È la generalizzazione della Geometrica

Definizione: In un contesto di prove Bernoulliane indipendenti (Successo con

probabilità p, Insuccesso con 1−p ), la V.C. Y conta il numero di prove

necessarie per ottenere r successi (con r≥1 ). L'esperimento si arresta

all'ottenime