Passaggi e note importanti - Fondamenti di Automatica

ISTEMA SEMPLICEMENTE STABILE

Si indica un autovalore generico dato da: + .

Se tutti gli autovalori di A hanno parte reale negativa o nulla ( e vi è almeno un autovalore a

≤ 0, ∀),

parte reale nulla, tutti gli esponenziali sono limitati nel tempo ma quelli associati agli autovalori a

parte reale nulla non convergono a zero:

⟿ Rimangono costanti per = 0

⟿ Oscillano permanentemente se (perché non c’è smorzamento: )

≠ 0

Quindi il sistema è stabile, ma non asintoticamente in quanto in questi casi è sempre possibile individuare

almeno una condizione iniziale per cui il moto libero del sistema non converge, in norma, a zero, fermo

restando che tutti i moti liberi sono limitati nel tempo.

2.3 T

RACCIA DI UNA MATRICE

La traccia di una matrice è la somma degli elementi della diagonale principale e coincide con la somma

degli autovalori. Quindi, per le proprietà del cambiamento di base, la traccia di una matrice deve rimanere

la stessa. Questo perché il cambiamento di base è un’operazione che non fa variare gli autovalori del

sistema.

Si noti che se la traccia della matrice è positiva significa che certamente il sistema è instabile poiché esiste

almeno un autovalore positivo. 6

2.4 D

ETERMINARE LA STABILITÀ DI UN SISTEMA

Gli autovalori della matrice A sono le soluzioni del polinomio caratteristico.

Condizione necessaria affinché il polinomio sia stabile è che tutti i coefficienti devono essere e

≠ 0

concordi in segno.

Tale condizione risulta anche sufficiente per sistemi di ordine ≤ .

Se il sistema è di ordine superiore è necessario applicare il criterio di Routh ↓.

In sostanza le prime due righe sono costruite nel seguente modo:

La prima riga si costruisce con i coefficienti in posizione dispari (contando a partire dal coefficiente

★ del termine di grado massimo)

La seconda riga si costruisce con i coefficienti in posizione pari

★

Di seguito vengono trattati gli elementi delle righe successive.

Ogni elemento e costituito dal determinante della matrice che si crea accostando:

• La prima colonna costituita da:

Il primo elemento della riga che sta due righe sopra rispetto a quella considerata ( )

o −2,

Il primo elemento della riga appena sopra quella appena considerata ( )

o −1,

• La seconda colonna corrisponde alla colonna costituita dagli elementi delle due righe

precedenti che si trovano nella posizione appena a destra rispetto all’elemento che stiamo

determinando

Tale determinante viene diviso per l’opposto del primo elemento della riga appena precedente.

Una volta scritta la matrice, e appena inizio a trovare solo elementi nulli mi fermo.

Il sistema è stabile se tutti gli elementi della prima colonna sono concordi in segno e ≠ .

3 R AGGIUNGIBILITÀ E OSSERVABILITÀ

3.1 S

TATO NON OSSERVABILE 7

3.2 O

SSERVABILITÀ E STABILITÀ

Nel caso della raggiungibilità, una parte non raggiungibile e instabile si notava anche sull’uscita. In questo

caso invece, la parte non osservabile non ha effetti sull’uscita e quindi potremmo affermare che non ci

interessa stabilizzare la parte non osservabile. In altre parole, la stabilità della parte osservabile è

sufficiente per avere stabilità BIBO. Tuttavia, anche se a livello matematico non ci sono problemi, vale che

nella realtà l’instabilità ha spesso conseguenze gravi sul sistema fisico stesso.

3.3 S

TATI INDISTINGUIBILI E NON OSSERVABILI

Due stati sono indistinguibili se l’uscita del sistema è la stessa. Quindi guardando l’uscita non si è in grado

di dire da quale dei due stati si è partiti.

In altre parole la differenza dei due stati non è osservabile. Questo non vuol dire che i due stati siano

entrambi inosservabili.

Uno stato si dice non osservabile se è indistinguibile dallo stato iniziale che coincide con il vettore nullo.

L’insieme di tutti gli stati non osservabili viene detto insieme di non osservabilità del sistema e si denota con

.

Quando si riduce al solo elemento zero il sistema si dice (completamente) osservabile.

3.4 T ̅

ROVARE STATO INIZIALE CHE PRODUCA LA STESSA USCITA LIBERA DI

Devo trovare uno stato indistinguibile rispetto a . Questo vuol dire che la loro differenza deve stare nel

2

sottospazio di non osservabilità.

Trovo il sottospazio di non osservabilità come l’immagine del (o dei) vettore che deve essere ortogonale a

tutti i vettori di .

Scelgo un vettore generico di e lo chiamo .

̅ − =

2

̅ = +

2

3.5 R

AGGIUNGIBILITÀ E PIÙ INGRESSI

Nel caso più generale la matrice B, quella contente i coefficienti degli ingressi, ha righe (quante sono le

equazioni del sistema) ed colonne (numero di ingressi ) che entrano nel sistema.

Può essere che il sistema sia completamente raggiungibile per alcuni ingressi e può anche essere che per

alcuni di essi non lo sia completamente.

È comunque possibile mettere in atto una retroazione dello stato del sistema (vedi qui).

3.6 S

OTTOSPAZIO DI RAGGIUNGIBILITÀ

è l’insieme di tutti gli stati raggiungibili, ossia tali che ad un certo istante di tempo.

()

∃(): = ̅

Se coincide con , ossia tutto lo spazio di stato, allora il sistema è completamente raggiungibile.

3.7 S

OTTOSPAZIO DI OSSERVABILITÀ

Uno stato si dice non osservabile se tutta l’evoluzione libera del sistema, a partire da tale stato iniziale,

̅

sta dentro il sottospazio ortogonale a .

8

3.8 K ALMAN PER LA RAGGIUNGIBILITÀ

Devo fare un cambiamento di base (vedi qui per le formule del cambiamento di base) e in particolare devo

trovare la matrice che mi consente di farlo.

−1

1. Scelgo vettori di , con dimensione di

2. Scelgo vettori di , con dimensione di

3. Costruisco accostando, in colonna, prima i vettori di e poi i vettori di .

−1

4. Calcolo e applico le formule del cambiamento di base per ottenere le nuove matrici

3.9 K ’

ALMAN PER L OSSERVABILITÀ

I passaggi sono gli stessi della raggiungibilità, scegliendo vettori da e da . Quello che cambia è il

risultato finale.

3.10 D

IMOSTRAZIONE CHE È SOTTOSPAZIO

(La stessa cosa vale anche per , )

,

Bisogna dimostrare che l’insieme è chiuso rispetto alla somma e al prodotto. Ossia se considero un

elemento dello spazio allora anche appartiene ancora allo spazio e lo stesso vale per un vettore dato

dalla combinazione lineare di due o più vettori appartenenti al sottospazio stesso.

1. Considero uno stato non osservabile.

̅̅̅

1

è la sua evoluzione libera che è identicamente nulla e rimane tale anche se

() = ()

̅̅̅

1

moltiplicata per una costante ∈ .

2. Considero un secondo stato . Verifico che la somma dei due stati è ancora non osservabile.

̅̅̅

∈

2 grazie al fatto che i due stati sono non osservabili.

() = ()(

̅̅̅ + ̅̅̅)

= ()

̅̅̅ + ()

̅̅̅ = 0,

1 2 1 2

3.11 E

SERCIZIO DA SAPERE

Per il punto 1.3 è sufficiente scrivere il sistema in forma canonica di Kalman dal quale elimino in quanto

non contribuisce a determinare l’uscita y del sistema. In questo modo si ottiene un sistema del primo

ordine con lo stesso comportamento ingresso uscita. 9

4 L INEARIZZAZIONE

4.1 C OME LINEARIZZARE

Data una :

̅

1. Cerco l’equilibrio (possono essere più di uno) relativo alla fornita. Per faro pongo a zero tutte le e

̅ ̇

trovo le corrispondenti.

̅

2. In caso di più equilibri trovati ne scelgo uno e linearizzo il sistema attorno ad esso

3. Per le equazioni di stato:

4. Per la trasformazione di uscita:

Nota: lo stesso sistema non lineare da luogo a diversi sistemi linearizzati, in base all’equilibrio attorno al

quale si linearizza.

4.2 S ’

TABILITÀ DELL EQUILIBRIO

Nel caso dei sistemi lineari, se c’è stabilità, questa è sempre in grande e quindi si può dire che il sistema è

stabile. Nel caso dei sistemi non lineari non vale la stessa cosa. Per i sistemi NL si parla di equilibrio stabile.

• ⇒

Se il sistema lineare è asintoticamente stabile il movimento di equilibrio del sistema NL è

asintoticamente stabile.

• ⇒

Se il sistema lineare ha almeno un autovalore con l’equilibrio del sistema NL è instabile.

> 0

• ⇒

Se il sistema lineare ha tutti autovalori con e qualche autovalore nullo non è possibile

< 0

concludere niente riguardo all’equilibrio, ci si trova in una situazione di incertezza.

4.3 S

TABILITÀ GRAFICAMENTE

Se il sistema NL è di ordine 1, ossia se è costituito da una sola variabile di stato, e se è facilmente

̇

rappresentabile, allora è possibile evitare di passare dal sistema linearizzato.

1. Disegno l’andamento di nel piano, in cui l’asse orizzontale rappresenta i valori di mentre quello

̇ ,

verticale rappresenta i corrispondenti valori assunti da ̇

2. Segno i punti di equilibrio del sistema, ossia i punti in cui il grafico attraversa la l’asse delle ascisse

3. Classifico i punti trovati. Mi sposto negli intorni sinistro e destro di ciascun punto di equilibrio:

a. Se nell’intorno sinistro del punto la funzione assume valori positivi significa che se perturbo

la condizione iniziale verso sinistra ritorno comunque in tale punto di equilibrio

b. Se nell’intorno destro del punto la derivata è negativa vale la stessa considerazione del

punto a e quindi se perturbo il sistema ritorno comunque all’equilibrio.

Se almeno una delle due condizioni non vale significa che non mi trovo in un punto di equilibrio

stabile.

Ad esempio, nel caso di