Momenti di ordine k

Y

definizione cioè risolvendo l’integrale, ovviamente è una procedura possibile

ma può richiedere un certo lavoro perché richiede prima il calcolo della f (y)

Y

che abbiamo già visto e poi, una volta calcolato f (y) richiede il calcolo di un

Y

ulteriore integrale per ottenere il valore atteso di y.

Esiste una scorciatoia fornita dal seguente teorema:

Teorema

Data la variabile casuale X e la funzione di variabile casuale Y=g(X), il valore

atteso di Y lo si calcola come: E[Y]=E[g(x)]=

Vediamo alcune conseguenze di questo teorema:

·4 Prendiamo il momento di ordine 2 che per definizione è g(x)=

se ora vedo come se fosse la funzione e

pensando al teorema precedente, questa appena scritta è la formula

che mi permette di calcolare attraverso la scorciatoia il valore atteso di

dunque quindi posso reinterpretare le

definizioni dei momenti vedendole come la formula scorciatoia che mi

dà il valore atteso di una funzione di variabile casuale, tali funzioni di x

sono nel caso dei momenti, nel caso considerato visto che c’era

allora abbiamo E[ ]. Proprio per questo viene chiamato valore

quadratico medio perché è la media del quadrato della variabile

casuale.

Questo vale per tutti i momenti quindi e un punto

importante che stiamo vedendo è che attraverso questa proprietà

dell’operatore di aspettazione noi siamo in grado di trattare tutti i

momenti come se fossero delle medie, quindi se ho il momento di

ordine 3, io posso dire che tale momento di ordine 3 è il valore atteso

di .

Studiando le proprietà dell’operatore di aspettazione saremo in grado

di gestire i momenti di ogni ordine perché i momenti si riscrivono come

valori attesi di una opportuna potenza della variabile casuale X

Vediamo un esempio: sia Y=aX+b quindi una Y che dipende in maniera

lineare da X (in realtà dipende in maniera affine poiché sarebbe lineare se

fosse Y=aX), allora E[Y]=a*E[X]+b, in altri termini possiamo dire che

l’operatore di aspettazione E[.] è lineare

Dimostrazione:

Dato che g(x)=ax+b, allora E[Y]=E[aX+b]=

In maniera analoga di può dimostrare che il valore atteso della somma di due

funzioni di X è pari alla somma dei valori attesi cioè: E[g (x)+g (x)]=E[g (X)]

1 2 1

+E[g (X)] e questa è un’ulteriore conferma della natura lineare dell’operatore

2

di aspettazione.

VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD

Consideriamo il momento centrale del secondo ordine che è definito come:

è detta varianza della variabile casuale e si indica

con Var[X] oppure . La costante positiva è detta deviazione

standard. La deviazione standard in molti contesti è particolarmente utile

perché ha le stesse dimensioni della variabile casuale che stiamo studiando,

quindi se la variabile casuale è una grandezza che si esprime in metri,

anch’essa sarà in metri mentre la varianza è dimensionalmente un quadrato,

quindi a volte è difficile interpretare i risultati in termini di varianza.

Potremmo pensare di abbandonare la varianza e ragionare usando solo la

deviazione standard ma questo non si fa perché la varianza gode di proprietà

più semplici quando la si deve adoperare e si studiano funzioni di variabile

casuale e così via; quindi si usa la varianza ma quando poi si fa riferimento a

un problema fisico o ingegneristico è spesso raccomandabile esprimere i

risultati ottenuti in termine di deviazione standard perché sono più facilmente

interpretabili anche dimensionalmente

INTERPRETAZIONE DELLA VARIANZA

La varianza, per come è definita, può essere interpretata come il momento di

inerzia attorno al baricentro (x=m ) della distribuzione di massa, il momento

1

di inerzia serve a studiare le proprietà del movimento rotatorio intorno al

baricentro, il momento di inerzia è molto grande se la massa è lontana dal

baricentro, quindi se ci sono delle masse molto periferiche. Per quanto

riguarda le densità di probabilità, questo fatto vuol dire che se io ho due

densità di probabilità come le seguenti:

Nel primo caso abbiamo una densità di probabilità stretta attorno a m , nel

X

secondo caso invece abbiamo una densità di probabilità più larga rispetto a

m , quando la densità di massa è concentrata intorno al baricentro allora la

X

varianza sarà più piccola, quando invece la massa è dispersa più lontano dal

baricentro m la varianza sarà più grande. In questi grafici le croci potrebbero

X

rappresentare uno scatterplot unidimensionale, quindi se io vado a

raccogliere dei dati, eseguendo quindi delle realizzazioni della variabile

casuale, queste croci rappresentano i numeri che potrei ottenere, la cosa che

si nota è che se la varianza è piccola allora questi numeri sono addensati

attorno al baricentro, se invece la varianza è grande è possibile anche che le

realizzazioni producano dei numeri abbastanza distanti dai baricentri. La

varianza è quindi una misura della dispersione della densità intorno al suo

valor medio, se la densità è concentrata allora la varianza è piccola, se invece

la densità è molto dispersa avremo una varianza grande.

Osservazioni:

·5 Se prendiamo la formula che definisce la varianza ovvero: Var[X]=

potremo considerare il termine come se

fosse una funzione g(x)= ma sappiamo che è

la nostra scorciatoia per calcolare il valore atteso di una funzione di

variabile casuale, quindi possiamo scrivere che Var[X]=

. [Questa può essere

una sorta di dimostrazione]

Abbiamo di nuovo trovato che tramite la media del primo ordine

riusciamo a studiare anche i momenti centrali, avevamo già visto che

questo accadeva per i momenti ma la varianza è un momento centrale

ma come abbiamo appena visto anche la varianza si lascia scrivere

come l’aspettazione di una funzione della variabile casuale X.

Andiamo ora, come nel caso della media, a vedere come si può stimare

la varianza: immaginiamo di aver raccolto delle osservazioni e di voler

avere un’idea di qual è la varianza della densità di probabilità che le ha

generate, posso usare la seguente formula: dove

è la media campionaria, notiamo che prima della sommatoria non

ho 1/n ma 1/(n-1), in questo momento non riusciamo a dare

spiegazione di questo coefficiente perché dobbiamo ancora svolgere

alcuni argomenti prima di capire perché si usa n-1 e non n.

Consideriamo un esempio: Siano i dati 8, 12, 15, 17, 18 allora avremo

che

·6 Esiste una relazione che lega tra di loro il momento del primo ordine e i

due momenti del secondo ordine, il momento non centrale del secondo

ordine che si chiama valore quadratico medio e il momento centrale

del secondo ordine che si chiama varianza, la varianza è uguale al

valore quadratico medio meno la media al quadrato, cioè:

2 2

Var[X]=E[X ]-E[X] cioè

Dimostrazione: 2 2 12 2 12 12

Var[X]=E[(X-m ) ]=E[X -2 m X+ m ]=E[X ]-2 m E[X]+ m = m -2 m +

1 1 1 2

12 12 2 2

m = m - m =E[X ]-E[X]

2

·7 Se dovessimo calcolare la varianza di una trasformazione affine (quella

che di solito viene definita come lineare) otteniamo che questa è

2

uguale a: Var[aX+b]=a Var[X], il che ci fa vedere che l’operatore

varianza non è lineare

Dimostrazione: 2

Se Y=aX+b allora sappiamo che Var[Y]=E[(Y-E[Y]) ] quindi =E[(aX+b-

2 2 2 2 2 2 2

E[aX+b]) ]=E[(aX+b-a*E[X]-b) ]=E[a (X-E[X]) ]=a * E[(X-E[X]) ]=a *

Var[X]

Questo risultato ci stupisce perché ci sembra strano che calcolando la

varianza di aX+b ci dia come risultato qualcosa che non dipende da b,

in realtà se ci pensiamo è del tutto naturale perché la varianza ha a

che fare con una dispersione attorno al valore medio e ricordiamo che

quando abbiamo una trasformazione affine, il termine b ha a che fare

solo con le traslazioni rigide della densità di probabilità, quindi se

prendo la densità di probabilità e la faccio traslare aggiungendo o

togliendo un b, la dispersione intorno al baricentro rimane esattamente

la stessa perché la varianza è in qualche modo una nozione relativa al

baricentro quindi se mi muovo rigidamente, se la densità di probabilità

era di quelle “grasse” o di quelle “strette”, rimarrà rispettivamente

“grassa” o “stretta” e la sua varianza non cambia, quindi è

perfettamente corretto che il risultato appena visto non dipenda dalla

costante b.

MEDIA E VARIANZA DI UNA FUNZIONE DI VARIABILE CASUALE: FORMULE

APPROSSIMATE

Ci interessa avere delle formule semplici anche a costo di essere

approssimate, questo può avere diverse utilità, dal punto di vista

ingegneristico infatti il fatto di essere in grado di fare dei calcoli a mente o di

avere delle approssimazioni rapide è importante soprattutto nelle fasi

esplorative, quindi quando si analizza un problema, più si è capaci di afferrare

le relazioni e egli ordini di grandezza e più si possono evitare di intraprendere

strade che non portano da nessuna parte, è quindi importante capire quali

sino le strade sensate e quali invece non lo siano, per fare questo è quindi

importante riuscire a valutare al volo le cose anche con qualche margine di

errore.

Sia Y=g(X) dove X è una variabile casuale quindi anche Y lo è e mi interessa

sapere cosa vale il valore atteso di Y e la varianza di Y.

E’ facile rispondere a questa domanda se la funzione fosse una relazione

affine quindi del tipo Y=aX+b perché in questo caso abbiamo già ricavato

formule sia per la media che per la varianza, se però non siamo in questo

caso fortunato allora il valore atteso si può trovare attraverso la nostra

scorciatoia, la situazione è invece meno buona per la varianza perché non

esiste una formula paragonabile e sembra proprio che per la varianza ci

tocchi passare attraverso la densità di Y, quindi a partire dalla densità di X e

dalla funzione g mi calcolo la densità di Y e avendo questa densità vado a

calcolare la varianza che richiede anche il calcolo di un integrale.

Se cerchiamo delle formule approssimate e facili da calcolare vorremmo

trovare una strada ancora più veloce di quella appena detta, per avere delle

formule approssimate però ci vogliono delle ipotesi, l’ipotesi qualitativa che

facciamo è che la probabilità che la X esca da un intorno del suo valore

atteso, cioè che quando estr