Matematica 2 - Appunti programma

BASI E DIMENSIONI

Vettori linearmente indipendenti: dei vettori sono linearmente

 indipendenti se k v + k v + …… + k v = 0 K = K = …



1 1 2 2 n n 1 2

Se i valori di K sono diversi

da zero i vettori sono

linearmente dipendenti

La base di un k-spazio vettoriale si forma se i vettori sono

 linearmente indipendenti e lo Span {V , ….. , V } = V (ogni vettore è

k 1 n

combinazione lineare di V) se ho 2 basi di V con lo stesso numero di



elementi le posso indicare con m=n

Dimensione di un k-spazio vettoriale (dim V): numero di elementi di

 K

una base di V se ha una base finita, allora ha dimensioni finite (tutte



quelle del corso)

Base canonica: ogni vettore ha tutti gli elementi a zero a parte l'i-esimo

elemento. In ogni spazio vettoriale K esiste sempre una base canonica

n

Una trasformazione lineare (o applicazione lineare) di 2 k-spazi vettoriali

 è una funzione T:VW tale che per ogni V, W appartenenti a V e ogni K

appartenente a K (es da 1 a 5 pag 32-35)

T(V+W) = T(V) + T(W)

o T(kV) = kT(v)

o Isomorfismo: se è una trasformazione lineare e biettiva



La matrice associata a una trasformazione lineare rispetto alle basi

o A e B è M(A,B,T) = [C (T(V )) |….| C (T(V ))] A è la partenza e B



B 1 B n

l’arrivo matrice M (es 6-8 pag 36)

 nxm

TRASFORMAZIONI LINEARI

(es pag 32-34)

Matrice associata alla trasformazione lineare T rispetto alle basi A e B:

 (es pag 36) (es pag 37)

CAMBIAMENTO DI BASE

Se ho uno spazio vettoriale V e due basi A e A’, scriviamo una matrice

 detta matrice del cambiamento di base P = M(A, A’, id ) (es pag 39-41)

 V

Due matrici A e B si dicono equivalenti se esistono una matrice P ∈

 M (K) e Q ∈ M (K) invertibili tale che B = P * A * Q (es pag 41-42)

mxm nxn

AUTOVALORI E AUTOVETTORI

Data una matrice quadrata A di ordine n, un autovettore è un vettore V

 non nullo tale che A * = λ * per qualunque λ, la quale prende il

V́ V́

nome di autovalore associato all’autovettore

Se λ è un autovalore di A det (λ * I - A) = 0 (I è la matrice identità)

  n n

Polinomio caratteristico: polinomio dello stesso grado della matrice

 correlata PA(x) = det (X * I - A) λ è una radice del polinomio

 

n

caratteristico PA (λ) = 0 (es pag 44)



Un autovalore di λ ha molteplicità algebrica k se (x-y) appare k volte

 nel polinomio caratteristico PA (x) (numero di volte in cui appare un

valore di λ)

Ogni matrice nel campo complesso possiede n autovalori complessi

 L’insieme (A) degli autovalori di A prende il nome di spettro di A il

  

raggio spettrale ρ(A) = max |λ| con λ (A)

 

Una matrice è singolare (det A = 0) se possiede un autovalore di valore

 zero

L’insieme V degli autovettori associati a λ prende il nome di autospazio

 λ

associato

La dimensione dell’autospazio associato a λ è chiamata molteplicità

 geometrica (es pag 47)

Se λ è un autovalore di A, allora 1 molteplicità geometrica

 

o molteplicità algebrica

(es trovare gli autovettori pag 48-50)

Autovalori e autovettori dell’inversa della matrice:

 Autovalori e autovettori della potenza della matrice:

 Autovalori e autovettori di matrici con forme particolari:

 Tipi di matrici:

 Simmetrica: se A = A T

o Antisimmetrica: se A = -A T

o Hermitiana: se A = A autovalori tutti reali

t 

o Definita positiva se A > 0 (solo se tutti gli autovalori

t

 x x

sono positivi)

Semi-definita positiva se A ≥ 0

t

 x x

Anti-hermitiana: se A = -A t

o Unitaria: se A x A = A x A = I A = A

t t t -1



o n

T indica la trasposta

t indica la trasposta coniugata, ossia la matrice ottenuta

effettuando la trasposta e scambiando ogni valore con il

suo complesso coniugato

MATRICI SIMILI E DIAGONALIZZAZIONE

Due matrici sono simili se esiste S ∈ GLn (K) tale che B = SAS (gruppo

-1

 lineare generale) S è invertibile (det S 0) hanno lo stesso

  

determinante e gli stessi autovalori

Una matrice diagonalizzabile è una matrice quadrata simile a una

 matrice diagonale ed è diagonalizzabile quando esiste una matrice

invertibile P tale che PD = AP, dove D è una matrice diagonale dello

stesso ordine di A. Inoltre, deve ammettere anche n autovettori

linearmente indipendenti

Vettori che corrispondono ad autovalori distinti sono linearmente

 indipendenti

Una matrice A è diagonalizzabile solo se per ogni autovalore, la

 moltiplicazione geometrica è uguale alla moltiplicazione algebrica (es

diagonalizzazione pag 57-58)

Tutti gli autovettori di A devono essere ortonormali

Una matrice si dice normale se commuta con la propria trasposta

 coniugata A A = AA

t t

Una matrice è unitariamente diagonalizzabile solo se è normale

 (es pag 60-

61)

GRUPPI

Insieme G di numeri munito di un’operazione binaria interna *: G x G ->

 G soddisfa 3 proprietà:



Esempi slide 61-63

L’ordine di un gruppo è il numero di elementi

 Tavola di moltiplicazione di un gruppo finito:

 Proprietà fondamentali dei gruppi:

 L’elemento neutro è unico

o Ogni elemento ha un unico inverso

o Valgono le leggi di semplificazione:

o ab = ac b = c

  Semplificabile solo se il valore uguale si trova sempre

ba = ca b = c

  a destra o a sinistra

Se la tavola di moltiplicazione è simmetrica, il gruppo è abeliano

 Teorema sudoku: in un gruppo finito, ogni elemento compare una sola

 volta in ogni riga e in ogni colonna della tavola di moltiplicazione se un



valore compare 2 volte non si è in presenza di un gruppo

(es slide 66)

SOTTOGRUPPI



 (es pag 67-68)

 Teorema di Lagrange: se G è un gruppo finito e H G, allora |H| divide

 

|G|

 (es pag 69)

(es pag 70)

GENERATORI DI UN GRUPPO

Il sottogruppo di G generato da S è il più piccolo sottogruppo

 contenente S denotato con <S> nel caso in cui <S> = G, gli elementi



di S si dicono generatori di G

Un gruppo è ciclico se è generato da un solo elemento, cioè se esiste x

 ∈ G tale che <x> = G

Può avere generatori diversi (es: -1 e 1)

o (es pag 71-72)

GRUPPI DI SIMMETRIE DEL PIANO

ISm() Sym()

 

ISm() è un gruppo delle isometrie del piano gli elementi sono

  

tutti: Traslazioni di un vettore V ∈ 

o Rotazioni di angolo intorno a un punto P ∈ indicate con R

  

o Riflessioni rispetto a una retta r indicate con (h orizzontale e v

 

o verticale)

Glissoriflessioni: composizione di traslazione e riflessione

o

T è una “figura” in (cioè un sottoinsime)

 

S ISm()



o T (es pag 75-78)

Se nel prodotto riga-colonna la riga vale R(0), il risultato è il valore

o della colonna

Nel prodotto riga-colonna tra 2 rotazioni si sommano gli angoli di

o rotazione

Il prodotto tra 2 riflessioni uguali dà R(0)

o Nella composizione di 2 riflessioni si applica prima la seconda e poi

o la prima al prodotto

Per il rettangolo sono escluse R(90), R(270), e

 

o d1 d2

Nel parallelepipedo sono esclusi R(90), R(270) e tutte le 

o

GRUPPI DIEDRALI

Il gruppo diedrale Dn è il gruppo delle simmetrie di un polinomio regolare

 con n lati, T=Pn



(es pag 79) 3

GRUPPI DI SIMMETRIE IN R

Isometrie in r :

3

 Notazione di Schoenflies:

 E: elemento neutro

o C : rotazione di angolo 2/n (l’asse con n più grande è l’asse

o n

principale)

Riflessioni:

o : riflessione rispetto ad un piano perpendicolare all’asse

  h

principale (piano orizzontale)

: riflessione ad un piano contenente l’asse principale (piano

  v

verticale)

: riflessione ad un piano diedrale

  d

i: inversione

o S : rotoriflessione * Cn

 

o n

Gruppo i simmetrie di una molecola: (es pag 82-86)

 Molecola d’acqua: (gruppo C )

o 2v

E: identità / elemento neutro

 C : rotazione di 180°

 2

: riflessione verticale al piano

  

v 1

: riflessione verticale al piano

  

v’ 2

Molecola di ammoniaca: (gruppo C )

o 3v

E: identità / elemento neutro

 C : rotazione di 120°

 3

C : rotazione di 240°

32



OMORFISMO DI GRUPPI :

 (es pag 87-89) (es pag 89-

 91) Dire che 2 gruppi sono isomorfi stabilisce una corrispondenza 1

o a 1 tra gli elementi dei gruppi gruppi con le stesse proprietà



Elementi coniugati: 2 elementi a, b ∈ G sono coniugati se esiste c ∈

 G tale che b = cac a = c bc

-1 -1

 (es pag

 93-94)

Una classe di coniugio non è un sottogruppo

o

TEORIA DELLE RAPPRESENTAZIONI

Parte 1 (da 95 a 102) (es pag 95-96)

 Una rappresentazione di dimensione 1 è definita rappresentazione banale

 sempre irriducibile



È possibile determinare le matrici associate ad un gruppo sia in R che in

2

 R (pag 97-102)

3

 Parte 2 (da 103 a 111) (es pag

104)

Teoremi sulle rappresentazioni:

 Simboli di Mulliken:



 (es pag 107) Somma elementi

sulla diagonale

principale

 (es pag 108)

(es pag 110-111) Se il valore fosse

diverso da 6

sarebbe riducibile

(es pag 111)

Parte 3 (da 112 a 119)

(es pag 113-119)

APPROSSIMAZIONE DI DATI E FUNZIONI

Parte 1 (da 120 a 128)

Prima di approssimare è necessario individuare la classe F = {f (x)}

 n n

delle funzioni approssimanti classi più usate pag 121-124



Polinomi di grado n

o Polinomi trigonometrici di grado n e frequenza w

o Funzioni razionali utili per funzioni con singolarità



o Funzioni polinomiali a tratti

o Funzione spline di ordine n

o Somma esponenziali di ordine n

o

Una volta individuata la classe ci sono 3 metodi principali per individuare

 un elemento f ∈ F pag 124-125



n n

Interpolazione

o Minimi quadrati

o Minimax

o no studio



Interpolazione polinomiale (formula di Newton):

