Forza elastica

−ωA

da v(0) = sin φ = 0 si ottiene φ = 0

da x(0) = A cos φ = x si ottiene A = x :

0 0

x(t) = x cos ωt

0

• x(t = 0) = 0, v(t = 0) = v 0 −π/2

da x(0) = A cos φ = 0 si ottiene φ =

−ωA

da v(0) = sin φ = v si ottiene A =

0

v /ω, da cui infine:

0 v 0

x(t) = sin ωt

ω

−

(si è usato cos(θ π/2) = sin θ)

Moto armonico e moto circolare uniforme

La proiezione su di un asse del moto circolare uniforme su di una

circonferenza di raggio A a velocità angolare ω descrive un moto

armonico

Il moto circolare uniforme su di un piano può essere descritto dal vettore ~r (t):

~r (t) = (x(t), y(t)) = (A cos(ωt + φ), A sin(ωt + φ))

E’ immediato verificare che valgono tutte le proprietà del moto circolare uniforme:

p 2

2 2

θ(t) = ωt + φ, r = x (t) + y (t) = A, v = ωr (tangenziale), a = ω r (centripeta).

Esempio: molla orizzontale

Una massa m = 2 kg attaccata a una molla oscilla

con ampiezza A = 10 cm. A t = 0 la velocità è

massima, e vale v = +2 m/s. Quanto valgono ω e

la costante della molla k ? Qual è la legge del moto?

2m/s

v max −1

= = 20s .

v = ωA =⇒ ω =

max A 10cm

r k −1

2 2

·

ω = =⇒ k = m ω = 2kg(20s ) = 800N/m

m −Aω

x(t) = A cos(ωt + φ), v(t) = sin(ωt + φ) π

−Aω −v −1, −

Dato che v(0) = sin φ = sin φ, deve valere sin φ = ovvero φ = :

max 2

π

−

x(t) = A cos(ωt ) =⇒ x(t) = A sin(ωt)

2

Notare che servono due condizioni per determinare le due costanti A e φ: per esempio,

ampiezza, velocità a t = 0; o posizione e velocità a t = 0.

Moto armonico sotto forza costante

Cosa succede in presenza di forza elastica e di una forza costante?

Esempio: molla verticale con massa attaccata, in posizione y (t).

1

−ky −

La condizione di equilibrio ci dà P = 0 (P = mg è

0 −P/k.

la forza peso) ovvero la massa scende a quota y =

0

L’equazione del moto:

2

d y (t)

1 −ky −

m = (t) P

1

2

dt −

con un cambio di variabile y = y y ritorna identica

2 1 0

a quella del moto armonico semplice. Il centro delle

−P/k.

oscillazioni è solo traslato di Vale per ogni forza

costante. Esercizio: forze elastiche

◦

Nel sistema in figura, α = 45 , k = 20 N/m, m = 1

kg e M = 1.2 kg. In assenza di attriti, trascurando

la massa della fune inestensibile e la massa e la

lunghezza a riposo della molla, si determini:

• l’allungamento della molla per il quale il sistema è

in condizioni di equilibrio.

All’istante t = 0, quando la massa M si trova in x = 0 con v = 0, il sistema viene

0 0

lasciato libero di oscillare. Determinare:

• l’equazione del moto per M ;

• la soluzione completa per x(t);

• il periodo dell’oscillazione intorno alla posizione di equilibrio;

• la tensione della fune.

Forze in sistemi di riferimento non inerziali

SM

Se il sistema di riferimento (non

inerziale) è in moto rettilineo, con

accelerazione ~a , rispetto al sistema di

t SL:

riferimento (inerziale)

0

~a = ~a + ~a

t

Se il moto relativo è di rotazione con

velocità angolare ω

~ :

0 0

2

− ×

~a = ~a ω ~r + 2~

ω ~v

⊥ ~

Nel sistema inerziale, vale la legge di Newton m~a = F .

Nel sistema non inerziale, come si applica la legge di Newton?

Forze apparenti

~ ~ ~ ~ ~

0 0 0 0 0

SM

Nel sistema possiamo scrivere: m~a = F + F + F , dove F e F sono forze

t c t c

apparenti. In particolare, ~ 0

• −m~a SM

per moto relativo rettilineo , F = , dove ~a è l’accelerazione di rispetto

t t

t

SL

a ~ ~

0 0 0

2

• −2~ ×~v

Per moto relativo rotatorio, F = ω ~r è nota come forza centrifuga, F = ω

⊥

t c

è nota come forza di Coriolis

Anche in un sistema non inerziale vale la legge di Newton, ma oltre alle forze “fisiche”,

~

derivanti da interazioni fra particelle (qui indicate da F ) si debbono considerare forze

~ ~

0 0

“apparenti” (qui indicate da F e F ) che derivano dalla non-inerzialità del sistema di

t c

riferimento.